第九讲有理数乘方

第九讲：有理数乘方【课堂引入】《无法实施的奖赏》国际象棋起源于印度。棋盘上共有8行8列构成64个格子。传说国王要奖赏国际象棋的发明者,他的大宰相西萨·班·达伊尔,问他有什么要求,这位聪明的大宰相的胃口并不是太大,他跪在国王面前说:“皇帝陛下,请在棋盘的第1个子里放上1颗麦粒,在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒,在棋盘的第3个格子里放上4麦粒,在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒数都是前格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请都赏给你的仆人吧!”国王听了很不以为然,说:“爱卿,你的要求并多呀!我一定满足你的要求!”没过一会儿,他的粮管就来报告了,“国王,不对呀!我们的整个国家的粮库的粮食都才能摆到30格,如果满足他这个要求,我们国家要全国不吃不喝种两千多年哪!”你知道为什么吗?下面让我们来计算一下1、麦粒数目：因为国际象棋的棋盘上共有64个格子,根据发明者的要求,各个格子的麦粒数应该依次是:1,2,22,23,,，，263个。因此发明者所要求的麦粒总数是:1+2+22+23+…+263=2641=18446744073709551615(粒)。这个结果太大了,太恐怖了!!2单位数目麦粒质量的计算:我称量了1000粒小麦,它们的质量约是40g,通过计算18446744073709551615粒小麦的质量大于7000亿吨!!3、与2008年全球小麦产量比较:2008/09年度全球小麦产量将达到创纪录的6.56亿吨,要种植1067年,恐怖吗?4、给载重量为30吨的大卡车拉要用23300000000辆。【同步知识梳理】1.提出问题：⑴.在小学我们已经学习过，记作，读作的平方(或的二次方)；，记作，读作的立方(或的三次方)；那么：(是正整数)呢？⑵.在小学对于字母我们只能取正数．进入中学后，我们学习了有理数，那么还可以取哪些数呢？举例说明．2.乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．，记作，读作的次幂（或的次方）.因此一般地，在中，取任意有理数，取正整数．点拨：应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．当看作的次方的结果时，也可以读作的n次幂．3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．4.计算：(1)2=(2)3=(3)4=(4)5=______(+1)2=(+2)3=(+3)4=(+4)5=______(1)横向观察：正数的任何次幂都是数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．(2)纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍，偶次幂．(3)任何一个数的偶次幂是什么数？5.计算：(1).(3)2=；(3)3=；［(3)］5=；(2).32=；，33=；，(3)5=；点拨：有理数乘方运算的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．任何一个数的偶次幂都是非负数．用符表示为：（是正整数）①.当时，；②.当时，，；③.当时，；④当是任意有理数时，.⑤6.科学记数法：⑴.口答：①.说出103，103，(10)3的底数、指数、幂．②.计算：101，102，103，104，105，106，1010左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，读的时候也是左易右难，这就使我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿等等．但是像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是300000000米／秒，中国人口大约14亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？这就要用到科学记数法．⑵.的特征：观察：，，，，，，……点拨：中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数相同，比运算结果的数位少1.练习(1)：把下面各数写成10的幂的形式．1000=，100000000=，100000000000=。练习(2)：指出下列各数是几位数．103，105，1012，10100.⑶任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幂的形式．如：100=1×100=1×102，6000=6×1000=6×103，7500=7.5×1000=7.5×103．⑷科学记数法定义根据上面例子，我们把大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，n是自然数，这种记数法叫做科学记数法．现在我们只学习绝对值大于10的数的科学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法．说它科学，因为它简单明了，易读易记易判断大小，在自然科学中经常运用．用字母表示数，则，这就是科学记数法．【课堂练习】题型一：有理数乘方的概念例1、（4）3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？变式训练：1、（）3表示的意义是（）A．（）×（）×（）B．（）×3 C．D．2、把（）×（）×（）×（）写成乘方的形式是（）A． B．（）4 C． D．（）43、关于（﹣5）4的说法正确的是（）A．﹣5是底数，4是幂 B．﹣5是底数，4是指数，625是幂 C．﹣5是底数，4是指数，﹣625是幂 D．5是底数，4是指数题型二：有理数乘方的运算例2、计算：（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．（2）①()5；②()3；③(－)4．例3、设n是自然数，则(−1)A．1或﹣1 B．0 C．﹣1 D．0或1变式训练：1、下列各式结果相等的是（）A．﹣22与（﹣2）2 B．与（）3 C．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| D．﹣12023与（﹣1）20232、下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣23与（﹣2）33、下列说法中正确的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定是互为相反数 B．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等 C．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等题型三：简单的含乘方的混合运算计算：3+22×(－)；变式训练：1、计算：8+(－3)2×(－2)；2、计算：(－3)2×[]；3、计算：72+2×(－3)2＋(－6)÷(－)2；题型四：偶次乘方的非负性例5、若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式训练：1、已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2023＝．2、对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2对于以上观点，则（）A．佳佳和音音均正确 B．佳佳正确，音音不正确 C．佳佳不正确，音音正确 D．佳佳和音音均不正确3、若a、b为整数，且|a﹣2|+（b+3）2024＝1，则ba＝．题型五：科学记数法的表示例6、用科学记数法表示下列各数：（1）3500；（2）423500；（3）325.05；（4）－1240000．（5）人体中大约有25000000000000个红细胞。（6）计算8000000×600000000。例7、判断题：（1）240000用科学记数法表示为24×104（）；（2）3.245×104＝32450000（）；－2.785×105＝－278500（）．例8、2020年12月17日，嫦娥5号经历了往返76万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球，这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功．其中76万千米用科学记数法可表示为（）A．760000米 B．7.6×108米 C．7.6×107米 D．7.6×109米变式训练：1、如图，是津巴布韦于2009年发行的一张面值为100万亿的津元，但这一张100万亿津元还抵不上1美元的价值，在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包．“100万亿”可以用科学记数法表示（）A．1×1010 B．1×1012 C．1×1013 D．1×10142、据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（）A．14280.2万大约是1.4亿 B．14280.2万大约是1.4×108 C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104 D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×1083、一天有8.64×104秒，一年如果按365天计算，一年有多少秒？(用科学记数法表示)【课堂提升】1、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过分钟．2、一根1m长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去剩下绳子的一半．如此剪下去，剪第8次后剩下的绳子的长度是（）A．m B．m C．m D．m3、下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2020个数应是（

）A． B． C． D．以上答案均不对4、请通过计算推测的个位数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【课后巩固训练】1、对于式子（4）2，正确的说法是（）4是底数，2是幂B.4是底数，2是幂4是底数，2是指数D.4是底数，2是指数2、118表示（）A.11个8相乘B.11乘以8C.8个11相乘D.8个11相加3、一个数的平方一定是（）正数B.负数C.非正数D.非负数4、计算（1）2023+（1）2024的值等于（）A.0B.1C.1D.25、如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（）正数B.负数C.非负数D.任何有理数6、若，则=_______________．7、计算1.（1）52+122（2）18÷（3）2（3）32（3）38、下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？（1）（2）（3）5.002×1049、用科学记数法表示下列各数（1）8700000（2）50600（3）1000000010、用科学记数法表示下列各数地球离太阳约有一亿五千万千米；地球上煤的储量估计为15万亿吨。月球的质量约是7340000000000000万吨。11、计算(1)100÷(－2)2－(－2)÷(－)；(2)－34÷2×(－)2．（3）12