暑假5升6奥数专题长方体和正方体综合（试题）-小学数学五年级下册人教版-39877036

暑假5升6奥数专题：长方体和正方体综合（试题）小学数学五年级下册人教版一、选择题1．把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了，那么原来1个小长方体的体积是（

）。A．180 B．120 C．602．一个长方体表面积是130平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米那么这个长方体的体积是（

）立方厘米。A．100 B．110 C．180 D．3603．莆田木雕是传统艺术。如图，一块长方体木料沿高截去2厘米，变成一个正方体，表面积减少48平方厘米，原来长方体的体积是（

）。A．216立方厘米 B．72立方厘米 C．264立方厘米 D．288立方厘米4．一个长方体的长宽高都减少，它的体积减少（

）。A． B． C． D．5．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退。开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（

）。A．5 B．4 C．3 D．16．用棱长1cm的小正方体拼成如右图的大正方体，并把它的表面涂上颜色。在这个拼成的大正方体中，没有涂色的小正方体有多少块？（

）A．1块 B．2块 C．3块 D．4块二、填空题7．一根长方体木料，长2m，宽0.5m，厚2dm，把它锯成4段，表面积最少增加()dm2。8．一个底面是正方形的长方体，如果高增加1厘米，它的表面积就增加8平方厘米，如果这个长方体的高是15厘米，原来这个长方体的体积是()立方厘米。9．用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝()cm，这个长方体的体积是()cm3。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，这个正方体框架的表面积是()cm2。10．将一个表面涂色的大正方体每条棱长都平均分成4份，在沿线将它切开，一面涂色的小正方体有()个，没有涂色的小正方体有()个。11．一个长方体，如果长减少3cm，刚好变成了一个正方体，表面积比原来减少了120cm2，原来这个长方体的体积是()，表面积是()。12．一个长方体如图所示，沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，这时表面积增加了100平方厘米，这个长方体的体积是()。13．一个棱长都是整厘米数的长方体的表面积是110平方厘米，已知它的六个面中有两个面的面积是大于1平方厘米的正方形，它的体积是()立方厘米。14．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水。将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器。图中线段AB的长度是()厘米。三、解答题15．一只长方体的玻璃缸，长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块底面直径和高都是4分米的圆柱体铁块，缸里的水溢出多少升？16．如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？17．一个长方体，它的高减少5厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少100平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米？18．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？19．在一个长15分米，宽12分米，高5分米的水池中注入一半的水，然后把两条长6分米，宽3分米，高7分米的石柱立着放入池中，现在水深是多少？20．同学们，六年的小学时光即将结束，你一定学到了很多数学知识，掌握了很多本领吧！相信只要善于思考，灵活运用自己学过的知识，现在的你也能解决一些看似复杂的问题哦，一起来试试吧！小林家里有一个长方体水箱（如图1），他以每分钟25升的速度向这个水箱里注水。水箱的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将水箱隔为A、B两个部分。过了一会儿，小林发现B部分的底有一个洞，水按每分钟10升的速度往下漏。（如图2）表示从注水开始A部分水的高度变化情况，观察并思考下面的问题：

（1）隔板的高度是（

）分米。（2）注水36分钟共漏出（

）升水。（3）小林调整了隔板高度，变为4分米，注水速度加快到每分钟30升，漏水速度不变，其他条件也不变化，需要多少分钟能使水箱A部分的水位达到8分米？

参考答案：1．C【分析】把3个相同的小长方体拼成了1个15cm高的大长方体，表面积减少了48cm2，减少的面积是小长方体的4个底面面积积，求出底面积，再乘高，求出3个长方体的体积之和，再求出一个小长方体体积即可。【详解】（立方厘米）所以原来1个小长方体的体积是60立方厘米。故答案为：C【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积和体积计算公式。2．A【分析】根据题意，要求长方体的体积，必须要知道长方体的长、宽和高，用表面积减去上下两个底面面积，可求出剩下的四个侧面面积：分别为长乘高的两个面和宽乘高的两个面，则侧面积表示为：S＝2ah＋2bh，底面周长可以表示为：（a＋b）×2，将侧面积公式变形为：S＝2h（a＋b），用四个面的面积除以底面周长可以求出长方体的高，再根据体积公式：V＝Sh求出长方体体积即可。【详解】四个侧面面积为：130－20×2＝130－40＝90（平方厘米）长方体高为：90÷18＝5（厘米）长方体体积为：20×5＝100（立方厘米）所以，该长方体体积为100立方厘米。故答案为：A【点睛】本题考查了长方体表面积和体积的计算，难度较大，主要是通过分析能求出长方体的高是解题的关键。3．D【分析】根据题意，长方体的高截去2厘米后，表面积减少48平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是2厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以2，求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上2厘米，即是原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。【详解】长方体的长、宽是：48÷4÷2＝12÷2＝6（厘米）长方体的高是：6＋2＝8（厘米）长方体的体积是：6×6×8＝36×8＝288（立方厘米）原来长方体的体积是288立方厘米。故答案为：D【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。4．D【分析】一个长方体的长宽高都减少，也就是长、宽、高各缩小到原来的1－＝，则体积缩小到原来的××＝。将原体积看成单位“1”，用1减去缩小后的体积即可得解。【详解】根据分析可知：1－＝则体积缩小到原来的：××＝缩小后的体积减少：1－＝故答案为：D【点睛】根据长方体的体积公式v＝abh和积的变化规律，积缩小的倍数等于因数缩小倍数的乘积。5．D【分析】根据正方体的特征可知，相对的面不相邻；因为骰子只能向前，不能后退，所以有四种翻转路径，分四种情况讨论。【详解】如图：路径一：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到位置②处，2点在下，则5点在上；滚动到③处，3点在下，则4点在上。路径二：骰子滚动到位置①处，1点在下，则6点在上；滚动到④处，3点在下，则4点在上；滚动到③处，2点在下，则5点在上。路径三：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到③处，4点在下，则3点在上。路径四：骰子滚动到位置⑤处，3点在下，则4点在上；滚动到④处，1点在下，则6点在上；滚动到①处，5点在下，则2点在上；滚动到②处，4点在下，则3点在上；滚动到③处，1点在下，则6点在上。所以最后朝上的可能性有3、4、5、6点，而不会出现1、2点。故答案为：D【点睛】本题考查正方体的特征，学生可以动手进行实物操作，培养学生的空间观念。6．A【分析】没有涂色的小正方体在大正方体的内部，用小正方体的总个数减去三面涂色的正方体个数（顶点上）减去两面涂色的正方体个数（棱上）减去一面涂色的正方体个数（面上）解答即可。【详解】小正方体总个数：3×3×3＝27（块）三面涂色的小正方体个数（顶点上）：8块两面涂色的小正方体个数（棱上）：12块一面涂色的小正方体个数（面上）：6块没涂色的小正方体个数：27－8－12－6＝1（块）故答案为：A【点睛】本题考查根据图形特征探索涂色的小正方体的块数与大正方体的关系。7．60【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成4段，要锯4－1＝3次；每锯一次增加2个截面，锯3次增加6个截面；要使表面积增加的最少，也就是平行与长方体的最小面锯开，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个最小截面的面积，再乘6即可。注意单位的换算：1m＝10dm。【详解】2m＝20dm0.5m＝5dm5×2＜20×2＜20×5（4－1）×2＝3×2＝6（个）5×2×6＝60（dm2）表面积最少增加60dm2。【点睛】掌握长方体切割的特点，明白要使表面积增加最少，要平行于长方体的最小面锯开。8．60【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加1厘米，表面积就增加8平方厘米，那么增加的表面积是4个以长方体底面正方形的边长为长，以增加的高度1厘米为宽的长方形面积之和，先用增加的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以增加部分的高度1厘米，就是长方体底面正方形的边长；然后根据正方形的面积公式S＝a2，求出长方体的底面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，即可求出原来长方体的体积。【详解】底面正方形的边长：8÷4÷1＝2（厘米）体积：2×2×15＝4×15＝60（立方厘米）原来这个长方体的体积是60立方厘米。【点睛】首先应明确增加部分的面积是长方体的哪一部分，由此求出长方体底面正方形的边长；然后利用长方体的体积计算公式解答。9．108600486【分析】根据题意，用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出这个铁丝的长度；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个长方体的体积。如果将这根铁丝改围成一个正方体框架，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出这个正方体框架的表面积。【详解】长方体的棱长总和：（12＋10＋5）×4＝27×4＝108（cm）长方体的体积：12×10×5＝120×5＝600（cm3）正方体的棱长：108÷12＝9（cm）正方体的表面积：9×9×6＝81×6＝486（cm2）至少需要铁丝108cm，这个长方体的体积是600cm3，这个正方体框架的表面积是486cm2。【点睛】本题考查长方体棱长总和、正方体棱长总和、长方体体积、正方体表面积公式的灵活运用，明确用同一根铁丝围成长方体或正方体框架，那么铁丝的长度等于长方体或正方体的棱长总和。10．248【分析】根据题意，将一个表面涂色的大正方体每条棱长都平均分成4份，即每条棱有4个小正方体；一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中间，除去两端各一个小正方体，每条棱上一面涂色的小正方体有（4－2）个，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，即可求出一面涂色的小正方体的个数。没有涂色的小正方体位于大正方体内部，内部每条棱上没有涂色的小正方体有（4－2）个，再根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出没有涂色的小正方体的个数。【详解】（4－2）×（4－2）×6＝2×2×6＝4×6＝24（个）（4－2）×（4－2）×（4－2）＝2×2×2＝8（个）一面涂色的小正方体有24个，没有涂色的小正方体有8个。【点睛】本题考查正方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于8个顶点处；两面涂色的小正方体位于棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于每个面的中间（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在内部。11．1300cm3/1300立方厘米720cm2/720平方厘米【分析】根据题意，长方体的长减少3cm，表面积比原来减少了120cm2，减少的表面积是前后面与上下面共4个面的面积之和，因为长方体的长减少3cm，刚好变成了一个正方体，说明长方体的宽和高相等，那么减少的4个面完全相同；用减少的表面积除以4，求出减少的一个面的面积，再除以3，即可求出原来长方体的宽和高；然后用长方体的宽或高加上3cm，即是原来长方体的长；根据长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出原来这个长方体的体积和表面积。【详解】原来长方体的宽、高：120÷4÷3＝10（cm）原来长方体的长：10＋3＝13（cm）体积：13×10×10＝1300（cm3）表面积：（13×10＋13×10＋10×10）×2＝（130＋130＋100）×2＝360×2＝720（cm2）原来这个长方体的体积是1300cm3，表面积是720cm2。【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，利用减少的表面积和长减少3cm后变成一个正方体，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。12．375立方厘米/375cm2【分析】根据题意，一个长方体沿横截面切开两次变成了三个相同的正方体，那么表面积增加了4个正方形截面的面积，用增加的表面积除以4，求出一个正方形截面的面积是100÷4＝25平方厘米；根据正方形的面积公式可知，25＝5×5，所以长方体的宽、高都是5厘米，长方体的长是5×3＝15厘米，然后根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求出这个长方体的体积。【详解】一个截面的面积：100÷4＝25（平方厘米）因为25＝5×5，所以长方体的宽、高都是5厘米；长：5×3＝15（厘米）体积：15×25＝375（立方厘米）这个长方体的体积是375立方厘米。【点睛】掌握长方体切割的特点，明确长方体切割成三个正方体，表面积增加4个正方形截面的面积，以此为突破口，求出一个截面的面积，进而求出长、宽、高，再利用长方体体积计算公式解答。13．75【分析】由于长方体中有两个面为正方形，则长、宽、高中有两条相等的棱，可设长为b，宽和高为a（a＞1），根据长方体表面积公式得：，化简整理并分解因式得：（2b＋a）a＝55，由于a、b均为整数，且b＞1，则2b＋a和a都是55的因数，2a＋b＝11，a＝5符合题意；再解方程组可得b＝3，最后根据长方体体积＝长×宽×高，将数据代入即可。【详解】解：设长为b厘米，宽和高为a厘米（b＞1）。（2b＋a）a＝55（2b＋a）a＝5×11当a＝5时，2b＋a＝112b＋5＝112b＋5－5＝11－52b＝62b÷2＝6÷2b＝3长方体体积：3×5×5＝75（立方厘米）【点睛】本题的关键是分解因数，得到长方体各边的长。14．15【分析】如图所示，把内侧棱长为20厘米的正方体容器看作上下两个长方体，流出水的体积等于上面长方体体积的一半，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出倒出水的体积，下面长方体的体积＝内侧棱长为20厘米的正方体的体积－倒出水的体积×2，AB相当于下面长方体的高，下面长方体的底面积为（20×20）厘米，最后根据“高＝长方体的体积÷底面积”求出线段AB的长度，据此解答。【详解】倒出水的体积：10×10×10＝1000（立方厘米）下面长方体的体积：20×20×20－1000×2＝8000－2000＝6000（立方厘米）线段AB的长度：6000÷（20×20）＝6000÷400＝15（厘米）所以，图中线段AB的长度是15厘米。【点睛】把大正方体分为两个小长方体，把上面长方体的体积转化为倒出水的体积的2倍，并掌握正方体和长方体的体积计算公式是解答题目的关键。15．44.24升【分析】已知长方体的玻璃缸没有装满水，无水部分是一个长6分米，宽5分米，高（4－3.8）分米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出玻璃缸无水部分的体积；已知投入的圆柱体铁块的底面直径和高，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个铁块的体积；把铁块投入未装满水的玻璃缸中，玻璃缸先涨满水，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－玻璃缸无水部分的体积，然后根据进率：1立方分米＝1升，换算单位即可。【详解】玻璃缸无水部分的体积：6×5×（4－3.8）＝6×5×0.2＝6（立方分米）铁块的体积：3.14×（4÷2）2×4＝3.14×22×4＝3.14×4×4＝50.24（立方分米）水溢出：50.24－6＝44.24（立方分米）44.24立方分米＝44.24升答：缸里的水溢出44.24升。【点睛】本题考查长方体、圆柱体积公式的运用以及体积、容积单位之间的换算。明确溢出的水是由哪些体积相减得到，然后根据体积公式列式计算。16．17厘米【分析】由题意可知，水的体积不变，设这个长方体实心铁块的高度是厘米。左图中水面高度恰好与铁块的上表面持平，则水面高度是厘米，水的体积为（25×25×－125）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[－（25－15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[－（25－15）]立方厘米，据此列方程解答。【详解】解：设这个长方体实心铁块的高度是厘米。25×25×－125＝25×25×15－125×[－（25－15）]625－125＝9375－125×[－10]500＝9375－125＋1250500＝10625－125500＋125＝10625－125＋125625＝10625625÷625＝10625÷625＝17答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。【点睛】本题考查列方程解决问题，抓住水的体积不变得出等量关系，按等量关系列出方程。17．250立方厘米【分析】根据题意，长方体的高减少5厘米后，表面积减少100平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是5厘米，长是原来长方体的长或宽，用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以5，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上5厘米，即是原来长方体的高；最后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积。【详解】原来长方体的长、宽：100÷4÷5＝25÷5＝5（厘米）原来长方体的高：5＋5＝10（厘米）原来长方体的体积：5×5×10＝250（立方厘米）答：原来的长方体的体积是250立方厘米。【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。18．3.2厘米【分析】根据题意，要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积；而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截取一段长度后的长方体的体积；又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2求出横截面的面积，再根据h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。【详解】小正方体的体积：1.2×1.2×1.2＝1.44×1.2＝1.728（立方厘米）长方体橡皮泥所需的长度：1.728÷（0.6×0.6）＝1.728÷0.36＝4.8（厘米）应削去：8－4.8＝3.2（厘米）答：需要把这个长方体橡皮泥削去3.2厘米。【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。19．3.125分米【分析】根据题意可知，水池中水的体积不变，先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水池中水的体积；然后把两条石柱立着放入池中，那么水池中水的底面积＝水池的底面积－两条石柱的底面积，再根据长方体的高＝体积÷底