湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一下学期5月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高一下学期5月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，则复数A.iB.-i2.已知向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)满足EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)=(1,3)若(EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)+EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b))⊥(EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)-λEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b))，则实数λ的值为()A.2B.43.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C，若C=1，sinA=2sinC则△ABC的面积S=()4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N为正方形ABCD的中心，E为C1D1中点，M是线段ED的中点，则()A.BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线5.若cosα+cosβ=，其中α,β∈(0,A.B.6.将函数的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数g(x)的图象满足的最小值为()A.B.C.D.7.在锐角△ABC中，a、b、C分别是角A、B、C所对的边，已知=且b=3，则锐角△ABC面积的取值范围为()8.已知实数x，y，满足y=x2—7x+16(1≤x≤5)，则3x—y的最大值为() x2+y2A.1B.C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是()B.若1+i是关于x的二次方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的根，则1—i也是该方程的根10.如图，圆锥SO的底面半径为1，侧面积为3π,△SAB是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是()A.圆锥的母线长为3B.圆锥SO的侧面展开图的圆心角为C.由A点出发绕圆锥侧面一周，又回到A点的细绳长度的最小值为33D.该圆锥内部可容纳的球的最大半径为EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),H)a，CA=b，AB=C，则下列说法正确的是()A.O为△ABC的外心B.H为△ABC的内心C.OH=OA+OB+OCD.a2+b2+C2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C，若则cosB=．13.已知函数f(x)=3sinx+4cosx在x=x0处取得最小值，则sin(x0+)=．14.四面体ABCD中，AB丄BC，CD丄BC，且异面直线AB与CD所成角为60o.若径为6，则四面体ABCD的体积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD丄AB，AB//DC，梯形上方为圆.若将阴影图形绕AE旋转一周．(1)求阴影图形形成的几何体的表面积;(2)求阴影图形形成的几何体的体积．16.(本小题15分)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)(i)求函数f(x)的单调递减区间;(ⅱ)英国数学家泰勒(B.Taylor,1685—1731)发现了如下公式其中n!=n×(n1)×(n2)×…×3×2×1，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性.运用上述思想，计算f(—)的值.(结果精确到小数点后3位，参考数据17.(本小题15分)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),E)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)(2)若IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)I=2，IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)I=3，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)与EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)的夹角为，(i)求△BOD的面积;(i)求匕AOB的余弦值．18.(本小题17分)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，D为BC边上一点，已知b=2，C(1)求A;(2)若AD平分匕BAC，求△ABD的面积;EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)的取值范围．19.(本小题17分)材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数(包括重复因式)就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理：代数基本定理：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根．材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计)．下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0=0(a2≠0)在复数集C内的根为x1、x2，容易得到设实系数一一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)①在复数集C内的根为x1、x2、x3，可以得到，方程①可变形为a3(x—x1)(x—x2)(x—x3)=0展开得：a3x3—a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x1x3+x2x3)x—a3x1x2x3=0②比较①②可以得到根与系数之间的关系阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：已知函数f(x)=x3+3x2，函数f(x)的图象上有四个不同的点A、B、C、D．(1)对于方程f(x)—x+5=0在复数集C内的根为x1、x2、x3，求xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)+xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)+xEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)的值;(2)已知函数g(x)=f(x)—3x2+bx+2，对于方程g(x)=k在复数集C内的根为Z1、Z2、Z3，当k∈[0,1]时，求ZEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),1)+ZEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),2)+ZEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(3),3)的取值范围．(3)若ABCD按逆时针方向顺次构成菱形，设A(m,f(m))，B(n,f(n))，求代数式(m2+2m—2)(n2+2n—2)2.B3.D4.B5.B6.C7.C9.BCD10.ACD11.ACD15.解：(1)由题意知所得的几何体由两部分组成：圆台和半球，在本题中，圆台的上底面半径r=2，下底面半径R=5，母线长圆台下底面积S圆台下底=π×52=25π半球表面积S半球=2π×22=8π故阴影图形形成的几何体的表面积；(2)圆台的高h=4，r=2，R=5，则圆台体积V圆台半球体积V半球故阴影图形形成的几何体的体积V=V圆台+V半球EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)则23sinxcosx=2cos2x，①EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)x=3sin2x+cos2x+1所以函数f(x)的单调递减区间[+kπ,+kπ]，k∈Z；(i)因为f(x)=2sin(2x+)+1，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),E)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),E)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B))，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)所以解得，EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(2-),5B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(1-),5B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2-→),5a)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(1-→),5b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)所以△BOD的面积S△BOD=S△ABD=；EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(2-),5B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(1-),5B)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up4(2-→),5a)EQ\*jc3\*hps16\o\al(\s\up5(1-→),5b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up0(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-→),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a),EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),b)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),b)18.解：(1)因为=，(2)由(1)得A=，所以EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)DE=AEAD=λAB2(AB+AC)=(DF=AFAD=(1λ)AC2(AB+AC)=2AB+EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-→),C)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)2EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)max=3;EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up1(-),D)19.解：(1)将f(x)—x+5=0变形，已知f(x)=x3+3x2，由材料得a3x3+a2x2+a1x+a0=0(这里a3=1，a2=3，a1=—1，a0=5)，若根为x1，x2，x3，根据根与系数的关系有EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),2)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up4(2),3)EQ\*jc3