高中数学中的小概率事件 教学反思

高中数学中的小概率事件

一、小概率事件的概念

在概率论中我们把概率很接近于0,（即在大量重复试验中出现的频率非常

低）的事件称为小概率事件，一般多采用0.0”0.05两个值，即事件发生的概率

在0.01以下或0.05以下的事件（PW0.05或PW0.01）,称为小概率事件，这

两个值称为小概率标准。

在正态分布中。代表标准差,以代表均值x=n即为图像的对称轴。随机变量出

现在期望减3倍标准差到期望加3倍标准差区间内的概率是0.9975,即3。原

则：

数值分布在（口一。口+⑴中的概率为0.6526

数值分布在（u—2ou+2o）中的概率为0.9544

数值分布在（u—3gpi+3o）中的概率为0.9974

可以认为，Y的取值几乎全部集中在（上36口+3啊区间内，超出这个范围

的可能性仅占不到0.3%,所以出现在此区间外的事件是小概率事件。

小概率事件发生的概率很小，那么它在一次试验中实际几乎不会发生，在数

学上，我们称这个原理为小概率事件原理。小概率事件原理是概率论中具有实际

应用意义的基本理论，例如，若事件A是小概率事件，但在一次或少数次试验中

小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。

二、小概率事件的应用

（1）直接应用小概率的临界值

20.（12分）为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居

民乘车候车时间.为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准

点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况

正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X满足正态分布NS"：）•在公交车准点率

正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如

图频率分布直方图.

（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计〃，小的值:

（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事

件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试

验中，小概率事件是不能发生.的.在交通拥堵情况正

常、非节假日的某.天，随机调查了该站的10名乘客

的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15

分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.

(参考数据：M.38,V2L4=4.63,726^=5.16,

0.84137^.2898,0.84136~0.35460.15873=X).0040，0.1587^0.0006

P(〃一6<X<“+5)=0.6826P(H-28<X<〃+25)=0.9544

尸(〃—3b<X<〃+36)=0.9973)

解析：

1.1^=0.1x2+0.2x6+0,4x10+0.2x14+0.1x18=10

O2=2X(82X0.1+42X0.2)+(10-10)XQ.4=19.2

2.*0=10+4.38=14.38

设10名乘客中有3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A。

P(X>14.38)=(1-0.6826)/2=0.1587

P(A)=Cfo(0.1587)3(0.8413)7=0.143>0.003,所以准点率正常。

（2）利用小概率事件与不可能事件的区别

小概率事件几乎不可能发生，但这并不说明它不会发生，只要独立的试

验次数无限增多，那么小概率事件就会发生，所以小概率事件不是不可能事

件。

例题:

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为

主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用

情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都

不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况

如下：

付金额(1000,2000]大于2000

（元?

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式

都使用的概率；

（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这

2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A

的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据

抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人

数有变化？说明理由.

解析：（I）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的

学生有10+14+1=25人，A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,B两种支付方式都使用的

概率估计为，上=0.4.

100

(II)次的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金

额大于1000元”，事件。为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生

上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C,。相互独立，且P(C)="^=0.4,尸(£>)=好里=0.6,所

3025

以P(X=2)=P(C£>)=P(C)P(£>)=0.24,P(X=1)=P(CD\JCD)

=P(C)P(5)+P(C)P(O)=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)X0.6=0.52，

p(X=0)=P(CP)=P(C)P(P)=0.24.

所以大的分布列为

X012

P0.240.520.24

故那数学期望£(X)=0x0.24+1x0.52+2x0.24=1.

(Ill)记事件£为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付

金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则

由上个月的样本数据得P(E)=4=—.

C%4060

答案示例1：可以认为有变化.理由如下：

PCE)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为

本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.

答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：

事件提随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，

所以无法确定有没有变化.

此题中就是对小概率事件的不同处理态度。根据小概率事件发生的概率极小,

几乎不可能发生，但是现在发生了，那极有可能是样本出现了变化，因此答案1

正确。而小概率事件不是不可能事件，他可以发生，因此答案2正确。

(3)小概率事件在假设检验中的应用

基于小概率反证法来研究样本间存在差异情的原因。而反证法的思路是先提

出假设检验，然后运用适当的统计方法来求解该检验成立的概率。通过概率计算

判断，如果概率很小，是一个小概率事件，那么提出的假设就不成立。

例题:

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此

进行动物实验，试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两

只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排

下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止

试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，

若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分;若

施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若

都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和B，

一轮试验中甲药的得分记为Xo

1.求X的分布列；

2.若甲药、乙药试验开始时都赋予4分p「(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计

得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Pi=0,P8=l，Pi=ap—+bpi+cpi+i

(i=l,2，…,7)

其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=1)•假设a=0.5,p=0.8.

(i)证明：例+i-0}(i=O,l,…,7)为等比数列;

(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

解析：

(1)取7=(I-a步&T)=。-向a,=(1-aXl-向+3

所以X的分布列为；

X-101

P「一印\-^lap-a-pa-aft

(2)0)证明:a=04b=0.5,c=0.1,<i|5pt=+pM(i-1,2,-,7).

P+-P,=43-pQ.i=L2,….7,

P,+1—P,

；•3-P,}(i=O.L…,7)为等比数列.