新苏教版七年级数学上册知识点

新苏教版七年级上册知识点总结

总结人：李道军

第一章我们与数学同行

本章知识要点：引导学生认识到我们是怎样从生活经验中发现并提炼数学知识的；培养学

生思考数学，运用数学的能力；通过经历获得知识的过程来产生学数学的强烈冲动，并升

级为对数学学习的广泛兴趣。

1.1生活数学

知识点一：数字与生活

根本知识：一些特定的数字能为我们提供许多信息，如我们每个人的身份证号码，通过它可以知道你所

在的省、市、县及你的出生年、月、口等，我们每位同学都有学籍号的编码，通过它可以了

解你所在的学校、班级等。

【典型例题】

例1邮政编码由6个阿拉伯数字组成，它的前两位数表示省（自治区、直辖市），第三位数表示邮区代

号，第四位数表示市（县）代号，最后两位数代表邮件投递局（所）代号。请你说出你学校所在地的邮

政编码，并说出它的含义。

例2据广东省防总最新统计,2005年6月18日以来暴雨洪水灾害造成54人死亡和直接经济损失23.58

亿元，大约有20万人的生活受到影响，而且各地水情、雨情、险情、灾情的威胁依然没有解除，可能

要持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少千克救灾粮食？

知识点二：图形与生活

根本知识：小学中学习过三角形、正方形、长方形、圆等简单的平面图形，学习过圆锥、圆柱、长方体、

正方体、等简单的立体图形，这些图形在日常生活中也处处可见。生活中，我们离不开数学，数学已成

为我们表达和交流的工具之一，如生活中数的计算，一些标志图形所表达的信息。

【典型例题】

例1下水道的出入口以及盖子的形状是圆形而小是止方形、矩形或椭圆形的。为什么？你是如何解释的

呢？

例2长方形旧羊圈长70米，宽30米，想拆旧羊圈扩大面枳.但没有多余的篱笆，怎么围可使面枳更

大？说说你的方法。

1.2活动思考

知识点一：根据图形寻找规律。

根本知识：用科学的观点解释事物。在实际生活中，有许多观点都能解释事物，但往往使事物变得神秘,

我们要学会用科学的眼光来看待事物。比方魔术中，魔术师让你心里记下一个数字，按他的

操作进行，他就能知道你心中的那个数，这其实就是很简单的数学。另外，折叠和拼剪过程

中有许多相等的量，使各边联系起来，这都需要我们慢慢来探索。

【典型例题】

例1把一张正方形纸片按图对折两次后，再挖去一个小圆孔.那么展开后的图形应为（I。

例2如图，将aABC（AB=AC,BD=DC）沿AD剪成两个直角三角行，将这两个三角形拼成一个四边形，你

能拼出所有形状的四边形吗？画出所拼的四边形的示意图。

A

剪开

」__\

BDC

知识点二：探索数与数之间的规律，初步建立数量关系。

根本知识；（1）一些特定事物本身就有许多的关系，如月历中的规律;

（2）事物在开展中也有许多规律，如探索数列中的规律时，就要先从数列中的前几个数寻找

规律，然后用数列中后面的数验证规律。

【典型例题】

例1如图，这是2008年4月份的月历，现用如下图的十字框任意框出

日—.二三四五六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

27282930

（1）十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？

（2）如果十字框框出的5个数的和为105,十字框中间的数是多少？

（3）十字框框出的5个数的和可以是60吗？

例2根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空。

35

234156358

【经典真题】

例1（泰州）按右边3x3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（）

A.B.C.D.

例2（宜宾）如图，将一列数按图中的规律排列下去,那么问号处应填的数字为0

①①②③④⑥⑨⑬⑲？

例3（内江）把一张正方形纸片按如图（3）对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为

（）。

例4（临汾〕如图，表中的数据是按一定规律排列的，从中任意框出五个数字，请你用含其中一个字

母的代数式表示a、b、c、d、e这五个数字的和为

12345

1112131415

2122232425

3132333435

4142434445

第二章有理数

本章知识要点：本章内容以直观的“数感”“符号感”为生活背景，创设有理数的各种现实

背景。要求在具体情境中，理解有理数及其运算的意义；能用数轴上的点表示有理数，会

比拟有理数的大小；借助数地理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值;

经历探索有理数运兑法那么和运算律的过程，掌握有理数的混合运算，理解有理数的运算

律，并能用运算律化简运算；能借助身边熟悉的事物体会大数，并会用科学记数法表示大

数。

2.1正数和负数

-I00

-1-20123

-2-1012

知识点二：在数轴上表示有理数

根本知识：所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不•定都是有理数。

我们规定：（1）数轴上的原点表示0；

（2）数轴上原点右边的点表示正数：

（3）原点左边的点表示负数。

【典型例题】

35

例1在数轴上画出表示以下各数的点：3,-1,0,,-5.

知识点三：在数轴上比拟有理数

根本知识：利用数轴比拟有理数的大小：

（1）数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；

（2）正数都大于0,负数都小于0,正数都大于负数。

【典型例题】

例1在数轴上表示以下各数，并用“V”号把它们连接起来，

4；,-3,-2,0,2.5,0.3,-4.5

例2如图，请在数轴上用“-”表示比1小2的数。

orz.

2.4绝对值与相反数

知识点一：正确理解绝对值与相反数的概念

根本知识：相反数

（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，。的

相反数是0

（2）几何意义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。

（3）表示方法：一般地，数a的相反数为-a,同样，-a的相反数为a.

多重符号的化简

多重符号的化简有如下规律:“+”的个数不影响化简结果，假设一个数字的前面有i禺数个

其结果为正；假设一个数字的前面有奇数个其结果为负。

绝对值

（1）定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

（2）几何意义：一般地，数a的绝对值表示在数轴上与a对应的点到原点的距离，记作|a|;反

过来，Ia|表示数a到原点的距离。

(3.1代数意义：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数：零的绝对值是零。

【典型例题】

例1求以下各数的相反数。

-3,2,0,-l|

例2化简：-(-2),-(+2),+(-2),+(+2)

例3一个数的绝对值等于6,求这个数。

知识点二：有理数大小的比拟

根本知识：应用绝对值比拟有理数的大小

(1)两个正数，绝对值大的正数大；

(2)两个负数，绝对值大的负数反而小。

有理数的大小比拟

(1)数轴上的数，右边的数总大于左边的数。

(2)正数大于()，负数小于()，正数大于负数。

(3)两个负数，绝对值大的反而小。

【典型例题】

例1比拟-7与-9的大小。

1

-

3b=-3.14,c=-n,那么a、b、c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c

【经典真题】

无锡近5年，此考点难度低，3分左右，但每年必考。

真题1.(2010年无锡)

-5的相反数是一▲.

直题2(2011年无锡)

1.请写出一个大于1且小于2的无理数：▲.

2.I-31的值等于(▲)

A.3B.一3C.±3D.V3

真题3.(2012年无锡)

-2的相反数是(▲)

2

A.2B.-2C.D.,2

真题4.(2013年无锡)

|-2|的值等于(▲)

A.2B.-2C.±2D.V2

真题5.12014年无锡)

-3的相反数是(▲)

A.3B.-3C.1/3D.-1/3

2.5有理数的加法与减法

知识点一：有理数的加法

根本知识：有理数的加法法那么

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝。对值相加。

(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并

用较大的绝对值减去较小的绝对值

(3)一个数与()相加，仍得这个数。

【典型例题】

例1计算：

(1)(-5)+(-6)；(2)(-10)+(+2)；(3)(-8)+(+8)；(4)0+(-7)

知识点二：有理数加法运算律

根本知识：有理数加法运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

【典型例题】

例1计算：

(1)(+26)+(-14)+(-16)+(+18)；

⑵4.1+吗)+廿)+(-10.1)+7

知识点三：有理数的减法运算

根本知识：有理数的减法法那么

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

具体步骤：①将减号变成加号，把减数的相反数变成加数;

②按照加法运算的步骤运算。

【典型例题】

例1计算：

(1)(-1.25)-(+3；)；(2)-75-35

例2计算：

(1)(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+3；(2)-5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3)

【经典真题】

例1(南通)-6+9=等于()

A.-15B.+15C.-3D+3

例2(重庆)计算：|-3|+(2-3)+(-1)

例3(杭州)如果。+〃=0,那么。，〃两个实数一定是

A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数

2.6有理数的乘法与除法

知识点一：有理数的乘法

根本知识：有理数的乘法法那么

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与。相乘都得0.

多个有理数相乘符号确实定

几个不等于0的数杆乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当

负因数有偶数个时，积为正。

【典型例题】

例I计算：⑴-20X3；⑵(-号)X(-11)；(3)(-2010J)X0

例2计算：⑴3X(-4)；(2)(-6)X(-3.5);⑶@2X(3弓)；⑷OX2)X3.

JIJJ

知识点二：有理数的乘法运算律

根本知识：有理数的乘法运算律

(1)交换律：aXb=bXa

(2)结合律:(aXb)Xc=aX(bXc)

(3)分配律；aX(bIc)=aXb»aXb

【典型例题】

例I计算：

(1)1x|X得)X35；(2)(1-T+z)X(-24)

JJ/Oo

例2计算：

1?2I

(1)30X(5q+3);(2)(-10)X(-T)X(-0.1)X(-6)

知识点三：倒数的概念

根本知识：倒数的定义

乘积为1的两个数互为倒数，其中一个称为另一个数的倒数。假设a、b互为倒数，那么a

Xb=l；假设aXb=l,那么a、b互为倒数。

负倒数的定义

乘积为-1的两个数互为负倒数。

【典型例题】

例1求以下各数的倒数

32

(1)-2010；(2)-；(3)-0.2；(4)4-.

例2』的倒数是()。

A.-3B.3C.1D.4

JJ

知识点四：有理数的除法

根本知识：有理数的除法法那么

法那么一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a+b=axg(bKO)。

法那么二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0.

有理数乘除混合运算

有理数的乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

例1计算：

4113

(1)(・3石)；(2)(-2.25)4-1-+(石).

例2计算：

(1)(-144)+(-24)；⑵企+(+1)

【经典真题】

例1(镇江)(-2)X(-3)=。

例21无锡)如83,0是原点,实政a.6、c在数"上对应的点分别为A.B、C,就下则结论依课的是…

........................................................................................................................................(

A.a-6>0B.a6<0C.a+6<0D.6(a—r)>0星~~"0’•

(»ISJW>

5

例3(山东)鼻的倒数是。

例4(新疆)M=。

2.7有理数的乘方

知识点一：有理数的乘方

根本知识：一般地，a-a-a......a(n个a),记作a印读作“a的n次方”。求相同因数的积的运算

叫做乘方。乘方运算的结果叫做冢。在an中，a叫做底数，n叫做指数。a11看做是a的n次

方的结果时，也读作a的n次幕

乘方运算的符号法那么

由有理数的乘法运算可知：

(1)正数的任何次幕都是正数；

(2)负数的奇次品是负数，负数的偶次第是正数：

⑶0的任何非0次籍都是0。

【典型例题】

例1填空：

(1)(-4)J读作，底数是,指数是0

(2)读作,底数是,指数是o

例2计算：

99

⑴(-4)2；⑵-42；(3)(-T)3；(4)-T3

0O

知识点二：科学记数法

根本知识：科学记数法的定义：一般地，一个大小10的数可以写成aXIOn的形式，其中iWaVlO,n

是正整数。这种记数法称为科学记数法。

【典型例题】

例1用科学记数法表示以下各数

(1)38400；(2)-473.1：(3)0.49X104

例2假设一个数用科学记数法表示为4.58X10」，那么原数的整数位数有位。

【经典真题】

无锡近5年，此考点难度低，3分左右，尤其是科学计数法考点，每年必考。

真题1.(2010年无锡)

上海世博会“中国馆”的展馆面积为15800〃》,这个数据用科学记数法可表示为.

真题2.(2011年无锡)

1.计算：我:▲.

2.我市去年约有50000人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为A人.

真题3.(2012年无锡)

1.计算：值=▲.

22011年，我国汽车销量超过了12500000辆,这个数据用科学记数法可表示为_A_人.

真题4.（2013年无锡）

去年，中央财政安排资金8200000000元，免除城市义务教育学生学杂费，支持进城务工人员随迁子女

公平接受义务教育，这个数据用科学记数法可表示为▲元.

真题5.（2014年无锡）

据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将到达8600（）000千瓦，这个数据用科学记

数法可表示为▲千瓦

2.8有理数的混合运算

知识点一：有理数的混合运算

根本知识：有理数的混合运算的顺序

先乘方，再乘除，最后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。

【典型例题】

例1计算：

（I）1j4-（-4+弓）X忌）；（2）[1-（l-0.5x1）]X[2-（-3）2]

例2

3—7

，K-x

^-—X

uz

・52

-12

【经典真题】

无锡近5年，此考点难度低，4分左右，多出现在简答题第一题，但每年必考1学生需要熟练掌握这一

考点，绝不能丢分。

真题1.（2010年无锡）

计算：（-3）2-I-ii+（1）-,

真题2.（2011年无锡）

计算：（_1）2_府+（_2）°

真题3.（2012年无锡）

计算：（-2）2-哈+（-3）°

真题4.（2013年无锡）

计算：79-（-2）2+（-0.1）°；

真题5.（2014年无锡）

2

（V3）-|-2|+（-2）°

第三章代数式

本章知识要点：列代数式是本章的一个重点。运用代数的方法解决问题，关键是把问题中

的数量关系用代数式表示出来，列代数式的实质是把文字语言转化成代数语言，涉及文字

语言中的词语与数学中的一些运算、符号关系，涉及语言表达中所表达的运算顺序问题。

学习列代数式的关键在于通过具体问题由浅入深地弄清问题中的根本数量关系，进行根本

数量关系的语言表述与代数式表示之间的互化。合并同类项是整式加减的根底，而旦在后

继的学习中，它也是根本的思想方法，因此合并同类项又是一个难点。它的学习关键是准

确掌握判别同类项的两条标准及合并的方法。去括号涉及去括号前后各项符号的变化即什

么时候变，什么时候不变等问题，容易发生遗漏，或以偏代全，不能真确理解“各项”含

义，因而也是学习的难点，对于去括号法那么，关键是把括号前面的符号看成统一体，不

能拆开。

3.1字母表示数

知识点一：字母表示数及数量关系

根本知识：用字母表示数

用含有字母的式子来表示数量之间的关系，也就是用字母表示数，用字母表示数后，数量之

间的关系更加简明，更具普遍性。

【典型例题】

例1填空：

(1)比m大10的数为;

(2)温度由30℃下降t℃后是二

(3)产量由akg增长了10%,就到达kg；

(4)食堂有燥p吨，假设每天烧q吨，那么共可烧天。

例2(1)我们知道：23=2X10+3：325=3X102+2X10+5；类似地，1583=X103+X

102+X10+；

(2)假设某三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,那么此三位数可表示

为。

【经典真题】

例1(西宁)回收废纸用于造纸可以节约木材。根据专家估计，每回收11废纸可以节约3小木材，那

么回收at废纸可以节约木材。

例2(南通)一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，那么买3个篮球和5个排球共需要元。

3.2代数式

知识点一：代数式

根本知识：代数式的概念

用运算符号(加、减、乘、除、乘方)把数和表示数的字母连接而成的式子称为代数式，单

独一个或一个字母也是代数式。

代数式的书写

(1)当数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为并且数字在前，字母在后，假设数字

是带分数，要化为假分数。

(2)字母与字母相乘时,乘号通常省略不写或简写为

(3)除法运算通常写成分数的形式。

【典型例题】

例1指出哪些是代数式，哪些不是代数式。

(1)m-3；(2)m2+3m;(3)m+1^0：(4)S=nr2；(5)x>-4；(6)0。

例2以下各式：①3Ta；②(a+b)-rc；③x、y；④号；⑤aXb+c；©axy3o其中符合书写标准的

个数为()。

A.1B.2C.3D.4

知识点二：单项式、多项式、整式

根本知识：单项式、多项式、整式

(1)单项式、多项式和整式的概念

由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

单项式和多项式统称为整式，整式是代数式的一个组成局部。

(2)单项式、多项式的次数与单项式、多项式的系数

单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。多项式的各项的系数应包括数字前

的符号。

【典型例题】

例1以卜.代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？如果是单项式，指出它们的系数；如果是多项式,

指出它的每一项。

(1)(2)x2-y2；(3)-Jx：(4)痛-3m+2；⑸n

例2以下说法正确的选项是()

A.0、b、，都是整式

X

B.单项式a没有系数

C.没有加减运算的代数式是单项式

D.x?-2xy-y,是由x\-2xy%-y’三项组成。

知识点三：列代数式及代数式的实际意义

根本知识：列代数式的方法及代数式的实际意义

(1)列代数式：把实际问题中与数量有关的词语用代数式表示出来就是列代数式。列代数式的关

键是抽象出实际问题中的数量关系。

(2)代数式的实际意义：表示代数式的意义时，实际问题中的字母和数要有实际意义，且符合实

际，其中的运算要能准确简明地说明运算顺序。

【典型例题】

例1用代数式表示：

（1）X的平方与y的和的一半；

（2）a加上b的和与-2的积

（3）x与y两数和的平方；

（4）x、y的平方和。

例3某公园的门票价格为成人10元，学生5元。

（1）一个旅游团有成人x人，学生y人，那么该团应付门票多少元？

（2）如该团成人为37人，学生15人，应付门票多少元？

【经典真题】

例1（三明）列代数式；比m小3的数是。

例2（镇江）用代数式表示“a的3倍与b的差的平方”，正确的选项是（）

A.（3a-b）2B.3（a-b）2C.3a-b2D.（a-3b）2

例3（台州）某超市进了一批商品，每件进价为a元，假设要获利25%,那么每件商品的零售价应定为

A.25%aB.（1-25%）aC.（1+25%）aD.—

1T乙。加

3.3代数式的值

知识点一：代数式的值

根本知识：代数式的俏

（1）根据问题的需要，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所

得的结果是代数式的值。

（2）代数式中的字母在取值时必须保证：①取值后代数式有意义；②取值的字母自身所表示的

数量关系有意义。

求代数式的值

（1）求代数式的值的步骤：

①用具体的数值代替代数式中的字母，简称“代入”；

②按照代数式指明的运算顺序计算出结果，简称“计算”。

【典型例题】

例1当x=-5时，求代数式-；x'+5x+12的值。

例2当W=2,求代数式空彩益的值.

【经典真题】

例1［连云港）当x=T时，代数式x?+2x+l的值是（）

A._2B.TC.0D.4

例2（镇江）a平方的2倍与3的差,用代数式表示为;当a=-l时,此代数式的值为。

例3（无锡）在有理数的原有运算法那么中我么补充定义新运算“㊉”如下：

当a2b时，a®b=b2；当a<b时，a®b=a.

那么当x=2时，（1+㊉）-x-（3㊉x）的值为（“・"和"一"仍为实数运算中的乘号和减号）。

3.4合并同类项

知识点一：同类项

根本知识：同类项的概念

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项。

（1）同类项必须同时具备两个条件：①所含字母相同，②相同字母的指数分别相同。

（2）同类项与系数无关，与字母排列顺序也无关。

(3)几个常数项也是同类项。

(4)一个项的同类项有无数个，它本身也是它的同类项。

【典型例题】

以下各组中的两项是不是同类项？

(l)x?y和3xy；⑵8和-7；(3)1xV和3yM；(4)和nl

J

知识点二：合并同类项

根本知识：合并同类项

(1)概念：根据乘法对加法的分配律把同类项合并成•项叫做合并同类项。

(2)合并同类项法那么；同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

(3)合并同类项的步骤：

①找出同类项，可用不同的记号标出同类项；

②利用法那么，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

③写出合并后的结果。

【典型例题】

例1合并同类项。

⑴)X2-^-XWX2

246

(2)6x2y+2xy-8x2y?-4y-5xy+2yS:2-6x2y

(3)-3a11H+5a"+3a'"1-7a--4

例2以下合并同类项正确的选项是()

A.8a-3a=5B.7aJ+2a3=9aJC.3ab"-2aJb=ab2D.3a"b-2baJ=a-b

【经典真题】

例1(淮安)假设［和2abf是同类项，那么x-y2006的值为()

O

A.1B.-3C.-lD.0

例2(山东)七年级(9)班个给“希望工程”捐款x兀，七年级⑴班比(9J班多10兀，七年级(8)

班捐的钱是(9)班的2倍少30元，这三个班共捐款元。

例3(海南)求代数式的值：2x2-5xy+2y2-x2-xy-2y2-3x2+5,x=-l,y=-^

3.5去括号

根本知识：去括号

(1)去括号的意义：在有理数运算中，有括号时，通常是先算括号内的，然后去掉括号；而在代

数式的运算中遇到括号时，却往往无法先进行括号内的运算或先算括号内的相对复杂，因而

要先去掉括号，才能使运算得以顺利进行。

(2)去括号法那么：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都

不改变：括号前面的是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改

变。

【典型例题】

例1去括号：(1)a+(b-c-d)；(2)a-(b+c-d)

3.6整式的加减

根本知识：整式的加减

整式加减的实质是合并同类项，整式加减的一般步骤是：

(1)如果有括号，那么先去括号

(2)如果有同类项，再合并同类项。

【典型例题】

例1先去括号，再合并同类项：

(1)3x-(2x-3y)+(-5y+l)；(2)5a-3(2a2-l)+2(a+3)；(3)x-(-x+[2x-(-x)]}

【经典真题】

本章是初中数学的根底，考题多为根底题，分值6分左右。

真题1.(2010年无锡)

1.以下运算正确的选项是(▲)

A.(«3)2=a'B.ay\a1=a5C.(煤'域)：a=a~D.a3：a3=1

2.分解因式：4。2-1=▲

a2-2a+\

3.计算:(〃一2).

a-\

真题2.(20U年无锡)

1.分解囚式2x2—4x+2的最终结果是(▲)

A.2x(x-2)B.2(x2-2x+l)C.2(x-i)2D.(2x~2)2

2.计算:a(a-3)+(2-a)(2+a)

真题3.(2012年无锡)

1.分解因式(%-1)2-2(A-1)+1的结果是()

A.(x-1)(x-2)B.x1

C.(x+l)2D.[%-2)2

2.计算：3(X2+2)-3(x+1)(J-I)

真题4.(2013年无锡)

1.分解因式：2x2—4.r=.

2.计算：(x+l)2—(x+2)(x—2)

真题5.(2014年无锡)

1.分式，一可变形为()

2-x

A._2_B..2C.2D.2

诟汨7^T31

2.计算：(x+1)(x-1)-(x-2)2

第四章一元一次方程

本章知识要点：本章的难点是建立方程模型，解决实际应用问题。熟练地解一元一次方程,

关键在于正确地了解方程、方程的解的意义和运用等式的两个性质。而正确地列出方程，

关键在丁正确分析实际问题中的数、未知数，并找出能够表示实际问题全部含义的一个相

等关系。在经历建立方程模型解决实际问题的过程中提高分析问题和解决问题的能力，并

体会数学的应用价值。

4.1从问题到方程

知识点一：方程及一元一次方程

根本知识：方程及一元一次方程的概念

含有未知数的等式叫做方程。假设一个程的两边都是整式，只含有一个未知数，且含有未知数

的次数为1,那么这个方程叫做一元一次方程。

【典型例题】

例1以下等式是一元一次方程的是（）

12

A.3x+2y+lB.y+-y=8C.m+n=41）.3x=2

知识点二：列一元一次方程

根本知识：根据题意列方程的步骤

（1）审题：分析题目中的量和所求量；

（2）设元所求的量即为所设未知数（直接设法）

（3）确定等量关系：用含未知数的代数式将等量关系中的各量表达出来（列方程）。

【典型例题】

例1根据条件“x与3的和的2倍是18"列方程为o

例2某工厂今年五月份生产电视机2050台，这比去年五月份产量的2倍还多150台，这家工厂去年五

月份生产电视机多少台?用方程描述问题中的等量关系。

【经典真题】

例1（湘潭）某市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加。每个队一条船，每条船

上认数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨。设每条船上划桨的有x人，那么

可列出一元一次方程为。

例2（宜宾）小明准备为希望工程捐款，他现在有20元，后每月打算存10元，假设设x月后他能捐

出100元，那么以下方程中能正确计算出x的是（）

A.10x4-20=100B.10x-20=100

C.20-10x=100D.20x+10=100

例3（白银）某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服

装的本钱价为每件x元，那么x满足的方程是。

4.2解一元一次方程

知识点一：方程的解与解方程

根本知识：方程的解与解方程

（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，有时也叫做方程的根。

（2）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

检验方程的解

判断一个数值是否是方程的解，主要将这个数值分别代入方程左右两边的代数式中，能使两

边分别相等的那个未知数的值，才是方程的解。

【典型例题】

例1以下以2为解的方程式（）

A.x+3=6B.；x+4=0C.2x-4=x-2D.；x+5=5

J/

知识点二：等式的根本性质

根本知识：等式的根本性质

性质一：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质一：等式两边同时乘(或除以)同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

【典型例题】

例1在以下方程中，变形正确的为()

①有3x+6=0变形，得x+2=0；②由5-3x-x=7变形，得-2x=2；

3

③由]x=2变形，3x=14；④由4x=-2变形，得x=-2

A.①③B.①②③C.③④D.®@®

知识点三移项

根本知识：移项的概念

移项的概念：方城中某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移

项。

【典型例题】

例1以下方程是由3x=4xT移项变形得到的，其中正确的选项是()

①3xT=4x；②3x-4x=l；③3x-4x=T；®4x=3x-l.

A.0个B.1个C.2个D.3个

例2方程4x+6=3x-8移项后，正确的选项是()

A.4x+3x=6-8B.4x-3x=-8+6C.4x-3x=-8-6D.4x-3x=8-6

知识点四：解一元一次方程

根本知识：解一元一次方程的一般步骤

解一元一次方程的根本思路是通过对方程变形，把含有未知数的项移到方程的一边，常数项

移到方程的另一边，最终把方程转化为“x=a”的形式。

解一元一次方程的一般步骤

变形名称具体做法变形依据

去分母方程两边同乘各分母的最小公倍数等式性质2

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法那么、乘法分

配律

移项将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边等式性质1

合并同类化方程ax=b(aW0)的形式合并同类项法那么

项

系数化为方程两边同时除以未知数的系数a,得方程的解为等式性质2

1b

x=~

a

【典型例题】

例1解以下方程:

•、3Cc1c」0・2X+0.50.03+0.02

⑴[x+2=3—x；(2)4(x+0.5)+x=17；(3)—---------―

例2假设y(=3x+4,y2=-5x+6

(l)x取何值时，山与yz相等？

(2)x取何值时，力与y?互为相反数？

【经典真题】

例1(上海)如果x=2是方程Jx+a=-l的根，那么a的值是()

A.OB.2C.-2D.-6

例2(重庆)方程2x-6R的解为o

例R1自贡)方程网+6=0的解的相反数是()

A.2B.-2C.SD.-3

4.3用方程解决问题

知识点一：列方程解决实际问题

根本知识：列方程解决实际问题的步骤

(1)审：审清题意，明确量、未知量各是什么，确定等量关系；

(2)设：设出未知数，可以直接设元，也可以间接设元；

(3)歹U：根据等量关系，用含未知数的代数式、数将各量表示出来，得到方程；

(4)解：求出所列方程的解；

(5)验：检验所求未知数的值是否符合方程及实际问题，并写出答案；

(6)答；答复所提出的问题。

【典型例题】

例1某张月历上竖列中相邻的三个数的和是54,那么月历中该列的第一个数是。

例2某种商品按原价的8折出售仍可获利20乐假设按原价已售，那么可获利()。

A.30%B.40%C.50%D.60%

【经典真题】

本章是第一次接触方程，难度虽然低，但对于后面学习一次函数，二元一次方程组非常重要，利用方程

解决问题是中考常考的题型，本考点往往不会单独出题。

例1(佳木斯)如图，某商场正在热销2008年北京奥运会的纪念品，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章,

一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，那么一盒福娃价格是元。

例2(北京)京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京，天津间单程直达运行

肘间为0.5h。某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6min,由天津返回北

京的行驶时间与预计的时间相同。如果这次试车时，由天津返【可北京比去天津时平均每小时行驶40km,

那么这次试车时由北京到天津的平均速度是多少？

第五章走进图形世界

本章知识要点：本章的重点是认识几何图形，掌握组成几何图形的根本要素点、线、面，

能从不同的角度画出几何的平面图形，难点是画几何体图形及利用几何体的平面图形认识

几何体。主要是提高学生的观察、操作、想象、交流能力，以及开展空间观念。因此，学

习时应要求学生主动参与数学活动，经历观察、操作、想象、交流、反思等过程，善于从

现实世界中“发现”图形，学会与同伴合作交流。分类、比照和转化是本章主要的数学思

维方法。

5.1丰富的图形世界

知识点一：生活中的几何体

根本知识：生活中常见的几何体

生活中常见的几何体如图：

圆柱圆锥正方体长方体棱柱球棱锥

【典型例题】

例1将以卜物体与相应的几何体用线连接起来：

足球魔方金字塔字典

棱锥正方体球长方体

例2在六角螺母、地球仪、足球、书本、热水瓶胆中，形状类似于棱柱的个数为()

A.0B.1C.2D.3

知识点二：几何图形的根本要索

根本知识：几何图形的根本要素

点、线、面是几何图形的根本要素。

(1)面：分为平面与曲面。

(2)线：面与面相交得到线，线有直的也有曲的。

(3)点：线与线相交得到点。

【典型例题】

例1以下说法中错误的选项是()

A.直线没有宽度和氏度

B.平面没有厚度和面积

C.直线和平面相交只能得到一个点

D.而包括平面和曲面，线包括直线和曲线

5.2图形的运动

知识点一：图形的运动

根本知识：图形运动的方式

(1)平移:在平面内，将某一个平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动简称为平移.

平移后的图形与原怪形的形状、大小完全相同，平移有方向和距离。

(2)旋转：将一个图形绕一个定点(或定直线)沿着某个方向(顺时针或逆时针)转动一定的角

度，这样的图形运动叫做旋转。

(3)翻折：将平面内的一个图形沿着某条直线对折，得到一个与原图形完全相同的图形，这一

图形的变化过程叫做翻折。

点、线、面之间的关系

点动成线，线动成面，面动成体。

【典型例题】

例1如图，虚线左边的图形绕虚线旋转一周，能形成的几何体是()

例2如图，把第一排中的平面图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某几个图形，请把两排中的对

应的图形分别用线连接起来.

ABCD

【经典真题】

例1（盐城）将下面的直角梯形绕直线1旋转一周，可以得到右边立体图形的是)

例2（盐城）如下图，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）

右折沿虚线剪开展开

ABCD

例3（贵阳）。如图,正方形ABCD的边长为4cm,那么图口阴影局部的面积为cm'。

例4「南京）如图，菱形ABCD（图1）与菱形EFGH（图2）的形状、大

小完全相同。

请从以卜序号中选择正确的序号填写:

①点E,F,G,H：

②点G,F,E,H；

③点E,H.G.F：

④点G,H,E,Fo

图1图2

如果图1经过一次平移后得到医2,那么点A,B,C,D对应点分别是；

如果图1经过一次轴对称后得到图2,那么点A,B,C,D对应点分别是

如果图1经过一次旋转后得到图2,那么点A,B,C,D对应点分别是；

5.3展开与折叠

知识点一：正方体的展开与折叠

根本知识：正方体的展开与折直

把正方体的外表展开形成平面图形，有很多种形状。如果将经过平移、旋转、翻折可以重合

的两个图形看成是同一图形，那么正方体的展开图有11种。

我们可以将这11种图形分类。

第一类：有4个正方•形在一条线上时，其余2个正方形在这条直线的两恻的任意位置，这样

图形可称为“一四一”型如图（1）-16）。

第二类：有3个正方形在一条线上，且有2个位置固定，剩余1个正方形在这条线的另一侧

3个位置中任意一个，’立置上，这样的图形可称为“二三一”型，如图（7）-（9）.

第三类：“三三”型如图（10）和“二二二”型如图（11）。

(I)(2)(3)

(4)(5)(6)

(10)(ID

【典型例题】

例1以下选项中的图形不是正方体的平面展开图的是（）

ABCD

知识点二：棱柱与棱锥的展开与折叠

根本知识：棱柱与棱锥的展开与折叠

（1）棱柱的底面是两个形状相同的多边形（可以是正多边形,也可以不是正多边形）侧面都是长

方形，并且长方形的一边（侧棱）都相等，是六棱柱的一种展开图。

（2）棱锥的侧面展开图的侧面都是三角形，这些三角形的公共点就是棱锥的顶点，底面是一个

多边形，它的棱数与侧面积、底面的变数相等。如图是四棱锥的一种展开图。

棱柱和楂锥的侧面与底面边长的关系

棱柱的侧面都是长方形，并且长方形的一组对边的长度都相等，另一组对边的长与底面的

边长对应相等；棱锥的侧面都是三角形，三角形的公共点就是棱锥的顶点，这个公共点所对

的各边与底面的边长对应相等。

【典型例题】

例1以下图形是正三棱柱的侧面展开图的是（）

知识点三：圆柱与圆锥的展开与折叠

根本知识：圆柱与圆锥的展开与折叠

通过实践操作可知，圆柱的展开图：上、下底面为两个圆，侧面为一个长方形，长方形的长

是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。圆锥的展开图：底面是一个面，侧面展开图是一个扇形,

它的弧长等于底面圆的周长，如图。

/—

【典型例题】

例1假设一个圆柱的底面半径是4cm,高是6cm,用纸围成这个圆柱的侧面，至少需多大面积的长方形

纸（结果保存无）。

【经典真题】

例1（西宁）将图I可以折成一个正方体形状的盒子，折好后与“迎”字相对的字是。

例21启东)给出两个等边三角