浙教版九年级数学全册教案

1.1二次函数

教学目标：

1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如

何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

4、会用待定系数法求二次函数的解析式。

教学重点：二次函数的概念和解析式

教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。

教学设计：

一、创设情境，导入新课

问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学

认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？

问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球

达到最高点时的高度？

这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习"二次函数”(板书课题)

二、合作学习，探索新知

请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变最y与x之间的关系：

(1)面积y(cm?)与圆的半径x(Cm)

(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一

年定期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y元；

⑶拟建中的•个温室的平面图如图，如果温室外围是•个矩形,周长为120m,室内通道的尺寸如图,

设一条边长为x(cm),种植面积为y(m2)

(一)教师组织合作学习活动：

1、先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式。

2.上述三个问题先易后难，在个休探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。

(1)y=Jix2(2)y=2030(1+x)2=20000X2+40000X+20IX)0

(3)y=(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-l12

(二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？

让学生充分发表意见，提出各自看法。

教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,aWO)的形式.

板书：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C是常数，aWO)的函数叫做二次函数(quadraticfuncion)

称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，

请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项

(二)做做

I、下列函数中，哪些是二次函数？

⑴)，=/(2)y=--V(3)y=2x2-x-l(4)y=x(\-x)

x-

(5))，=*-1)2-(x+lXD

2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)y=x2+\(2)y=3x2+7x-12(3)y=2x(\-x)

3、若函数丁=（m2—1）%病一加为二次函数，则m的值为。

三、例题示范，了解规律

例1、已知二次函数），=/+〃式+夕当*=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。求这个二

次函数的解析式。

此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的•般方法，可让学生•边说，教师一边板书示范，

强调书写格式和思考方法。

练习：已知二次函数），=〃/+bx+c,当产2时，函数值是3；当x=・2时，函数值是2,求这个

二次函数的解析式。

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设

AE=BF=CG=DH=x（cm）,四边形EFGH的面积为y（cn?）,求：

（1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围。

（2）当x分别为0.25,051.5,1.75时，对应的四边形EFGH的面积,并列表表示。

方法：

（1）学生独立分析思考，尝试写出y关于x的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨。

（2）对于第一个问题可以用多种方法解答，比如：

求差法：四边形EFGH的面积;正方形ABCD的面积-直角三角形AEH的面积DE4倍。

直接法：先证明四边形EFGH是正方形，再由勾股定理求出EH?

（3）对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。

（4）对于第（2）小题，在求解并列表表示后，重点让学生看清x与y之间数值的对应关系和内在

的规律性：随着x的取值的增大，y的值先减后增；y的值具有对称性。

练习：

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：

（1）写出y关于x的函数关系式.

⑵当x=3时,矩形的面积为多少？

课题：L2二次函数的图像

教学目标：

1、了解二次函数图像的特点。

2、掌握一般二次函数y=ar+bx+c的图像与），=ar的图像之间的关系。

3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。

教学重点：二次函数的图像特征

教学难点：例2的解题思路与解题技巧。

教学设计：

一、回顾知识

1、二次函数y=a（x+〃?）2+Z的图像和y=〃/的图像之间的关系。

2、讲评上节课的选作题

对于函数-2x+],请回答下列问题：

<1)对于函数、=-％2-2%+1的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？

(2)函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

思路：把y=-x2-2x+1化为y=a(x+in)2+k的形式。

y=—x2—2,x4-1=—(x~+2x—1)=—[(x~+2x+1)-2]=—[(x+1)~—2^=—(x—1)~+2

在y=一3-1)2+2中，m、k分别是什么？从而可以确定由什么函数的图像经怎样的平移得到的？

2、二次函数丁=以2+历L+C的图像特征

(1)二次函数)，=。工2+Zu・+c(a#O)的图象是一条抛物线；

(2)对称轴是直线x=-幺，顶点坐标是为(-2,如土)

2a2a4。

(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

三、巩固知识

1、例1、求抛物线》=一4/+31-3的对称轴和顶点坐标。

有由学生自己完成。师生点评后指出：求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法或者是用顶点

坐标公式。

2、做一做课本第36页的做一做和第37页的课内练习第1题

3、(补充例题)例2已知关于x的二次函数的图像的顶点坐标为(-1,2),且图像过点

(1,-3)。

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标。(此小题供血有余力的学生解答)

分析与启发：(1)在已知抛物线的顶点坐标的情况下，将所求的解析式设为什么比较简便？

4、练习：(1)课本第37页课内练习第3题。

(2)探究活动：一座拱桥的示意图如图(图在书上第37页)，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面

4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果

以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：

1、点A2、点B3、抛物线的顶点C

所得的函数解析式相同吗？请试一试。哪一种取法求得的函数解析式最简单？

四、小结

1、函数)，=ax2+bx+c的图像与函数y=ad的图像之间的关系。

2、函数)，=+c的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。

3、函数的解析式类型：

一般式：y=ax2+bx+c

顶点式：y=a(x+m)2+k

五、布置作业

课本作业题

课题：1.3二次函数的性质

教学目标：

1.从具体函数的图象中认设二次函数的基本性质.

2.了解二次函数与二次方程的相互关系.

3.探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的

最值，并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性

教学重点：

二次函数的最大值，最小值及增减性的理解和求法.

教学难点：二次函数的性质的应用.

教学过程：

复习引入

二次函数：y=ax2+bx+c(aH())的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢？

补充：当a的绝对值相等时，其形状完全相同，当a的绝对值越大，则开口越小，反之成立.

二，新课教学：

1.探索填空：根据下边已画好抛物线产-2x2的顶点坐标是.

对称轴是,在侧，即x0时,

y随着x的增大而增大；在侧，即x0时，

y随着x的增大而减小.当x=0寸，函数y最大值是一.

当x0时,y<0：

2.探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y=2x2的顶点坐标是

对称轴是，在侧，即x0时,

y随着x的增大而减少；在侧，即x0时，

y随着x的增大而增大.当x=时，函数y最小值是—.

当X0时,户0_

3.归纳：二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的图象和性质

(1).顶点坐标与对称轴

(2).位置与开口方向

(3).增减性与最值

当a>0时，在对.轴的左侧，y随着x的增大而减小：在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大;

当x=崂函数y有最小值4a匚也,<0时，在对称轴的左侧，丫随着x的

增大而增大；在充懵;轴的右侧，y随着x的增大而减幅。当x吵」迪一数丫有最大值

4.if尔.人向小翟.■皴岁舞瞽

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

(1).每个图象与x轴有几个交点？

(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+l=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？

(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关

系？

5.例题教学:例1:已知函数12一15

y=-rx-7x+v

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图像的草图；

(2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数

的最大值或最小值。

归纳:二次函数五点法的画法

三.巩固练习：请完成课本练习：P42.1,2

四.尝试提高：1

五.学习感想：I、你能正确地说出二次函数的性质吗？

2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？

六：作业：作业本.课本作业题I、2、3、4。

课题：L4二次函数的应用

教学目标：

1.经历数学建模的基木过程.

2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

3、体会二次函数是•类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：二次函数在最优化问题中的应用。

难点：例I是从现实问题中建M二次函数模型，学生较难理解。

教学设计：

一、创设情境、提出问题

出示引例(将作业题第3题作为引例)

给你K8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

二、观察分析，研究问题

演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变。深入探

究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为yn?,则它们的函数关系式为

y=*+4x

r>0

4一工人。

「.0YXY4

并当x=2时（属于0YXY4范围）即当设计为正方形时，面积最大=4（n?）

引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考

虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：

第一步设自变量：

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

三、例练应用，解决问题

在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形

设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，

向窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

引导学生分析，板书解题过程。

变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是

由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面

积最大？（结果精确到0.01米）

练习：课本作业题第4题

四、知识整理，形成系统

这节课学习了用什么知识解决哪类问题？

解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？

学到了哪些思考问题的方法？

五、布置作业：作业本

课题：2.1事件的可能性

教学目标：

1、通过生活中的实例，进一步了解概率的意义：

2、理解等可能事件的概念，并准确判断某些随机事件是否等可能；

3、体会简单事件的概率公式口勺正确性；

4、会利用概率公式求事件的概率。

教学重点：等可能事件和利用概率公式求事件的概率。

教学难点：判断一些事件可能性是否相等。

教学过程：第一课时

一、引言

出示投影：

（1）1998年，在美国密歇根州的一个农场里出生了一头白色奶牛。据统计平均出生1千万头牛才

会有一头是白色的。你认为出生一头白色奶牛的概率是多少？

（2）设置一只密码箱的密码，若要使不知道秘密的人拨对密码的概率小于」一，则密码的位数至

999

少需要多少位？

这些问题都需要我们进一步学习概率的知识米解决。本章我们将进一步学习简单事件的概率的计

算、概率的估计和概率的实际应用。

二、简单事件的概率

1、引例：盒子中装有只有颜色不同的3个黑棋子和2个白棋子，从中摸出一棋子，是黑暝子的可

能性是多少？

小结：在数学中，我们把事件发生的可能性的大小，称为事件发生的概率

如果事件发生的各种可能结果的可能性相同，结果总数为m事件A发生的可能的结果总数为m,

m

那么事件A发生的概率是P（A）=-。

n

2、练习：

如图三色转盘，每个扇形的圆心角度数相等，让转盘自由转动一次，”指针落在黄色区域”的概率

是多少？

3、知识应用：

例I、如图，有甲、乙两个相同的转盘。让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动，求

（1）转盘转动后所有可能的结果；

（2）两个指针落在区域的颜色能配成紫色（红、蓝两色混合配成）的概率；

3）两个指针落在区域的颜色能配成绿色（黄、蓝两色混合配成）或紫色的概率；

解：将两个转盘分别自由转动一次，所有可能的结果可表示为如图，且各种结果的可能性相同。所

以所有可能的结果总数为n=3X3=9

2

⑴能配成紫色的总数为2种，所以

9

4

（2）能配成绿色或紫色的总数是4种，所以P=—。

9

练习：课本第32页课内练习第1题和作业题第1题。

例2、一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，I个白球。从盒子里摸出一个球，

记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球。

（I）写出两次摸球的所有可能的结果；

（2）摸出一个红球，一个白球的概率；

（3）摸出2个红球的概率；

解：为了方便起见，我们可将3个红球从1至3编号。根据题意，第一次和第二摸球的过程中，摸

到4个球中任意一个球的可能性都是相同的。两次摸球的所有的结果可•列表表示。

（1）事件发生的所有可能结果总数为n=4X4=16。

（2）事件A发生的可能的结果种数为m=6,

...P⑷=3=3

〃168

（2）事件B发生的可能的结果的种数m=9

:・P（B）=U=2

n16

练习：课本第32页作业题第2、3、4题

三、课堂小结：

I、概率的定义和概率公式。

2、用列举法分析事件发生的所有可能请况的结果数一般有列表和画树状图两种方法。

3、在用列表法分析事件发生的所有情况时往往第一次在列，第二次在行。表格中列在前，行在后,

其次若有三个红球，要分红1、红2、红3。虽然都是红球但摸到不同的红球时不能表达清楚的。

四、布置作业：见课课通

课题：2.2简单事件的概率

教学过程:

一、回顾与思考

1、在数学中，我们把事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率

P(4)=-

2、运用公式〃求简单事件发生的概率，在确定各种可能结果发生的可能性相同的基础上,

关键是求什么？(关键是求事件所有可能的结果总数n和其中事件A发生的可能的结果m(mW

n))

二、热身训练

(2006年浙江金华)北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢

欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样，质地相同)放入盒子.

(1)小玲从盒子中任取一张，取到印有“欢欢”图案的卡片的概率是多少？

(2)小玲从盒子中取出一张卡片，记下名字后放回，再从盒子中取出第二张卡片,记下名字用列表或画

树状图列出小玲取到的卡片的所有情况,并求出小玲两次都取到印有“欢欢’图案的卡片的概率.

三、例题讲解

例3、学校组织春游，安排给九年级3辆车，小明与小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘.问小明与

小慧同车的概率有多大？

分析：为了解答方便，记这三辆车分别为甲、乙、丙，小明与小慧乘车的所有可能的结果列成表。

一个学生板演，其余学生自己独立完成。

练习：课本第34页课内练习第1题，作业题第1、2、4题

例4、如图，转盘的白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120。和240°.让转盘自由转动2次,求指针

一次落在白色区域，另一次落在红色区域的概率.____

先让学生独立完成，后指名一学生板演，可能一些学生没有考虑到该事

件不是等可能事件，让学生充分讨论，得出应把红色扇形划分成ft两个圆

心角都是120。的扇形，最后应用树状图或列表法求出概率,

练习：课本第35页作业题第4题。

四、课堂小结：

P(A)=-

1、等可能事件的概率公式：〃，在应用公式求概率时要注意：

要关注哪个或哪些结果；无论哪个或哪些结果都是机会均等的；部分与全部之比，不要误会为部分

与部分之比。

2、列举出事件发生的所有可能结果是计算概率的关键，画树状图和列表是列举事件发生的所有可

能结果的常用方法。

3、如何把一些好像不是等可能的事件化解为等可能事件是求事件概率的重要方法。

五、布置作业：见课课通。

2.3用频率估计概率

教学目标：

1、借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性；

2、通过操作，体验重复实验R勺次数与事件发生的频率之间的关系：

3、能从频率值角度估计事件发生的概率；

4、懂得开展实验、设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作与交流。

教学重点与难点：通过实验体会用频率估计概率的合理性。

教学过程：

二、合作学习(课前布置，以其中一小组的数据为例)让转盘自由转动一次，停止转动后，指针落在

红色区域的概率是3,以数学小组为单位，每组都配一个如图的转盘，让学生动手实验来验证：

⑴填写以下频数、频率统计表：

⑵把各组得出的频数，频率统计表同一行的转动次数和频数进行汇总，求出相应的频率，制作如卜表

格：

(3)根据上面的表格，画出卜.列频率分布折线图

(4)议一议:频率与概率有什么区别和联系?随着重复实验次数的不断增加，频率的变化趋势如何？

结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概

率附近，因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

三、做一做：

1.某运动员投篮5次，投中4次能否说该运动员投一次篮，投中的概率为4/5?为什么？

2.回答下列问题：

⑴抽检1000件衬衣，其中不合格的衬衣有2件，由此估计抽1件衬衣合格的概率是多少？

(2)1998年，在美国密歇根州汉诺城市的一个农场里出生了1头白色的小奶牛,据统计，平均出生1千

万头牛才会有1头是白色的，由此估计出生一头奶牛为白色的概率为多少？

四、例题分析：

例1、在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：

(I)计算表中各个频数.

(2)估计该麦种的发芽概率

(3)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4181818棵，种子发芽后的成秧率为87%,该麦种的千粒质

量为35g,那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少kg?

分析：(1)学生根据数据自行计算

(2)估计概率不能随便取其中一个频率区估计概率，也不能以为最后的频率就是概率，而要看频

率随实验次数的增加是否趋于稳定。

(3)设需麦种x(kg)

由题意得，

解得x^531(kg)

答:播种3公顷该种小麦，估计约需531kg麦种.

五、课内练习：

1.如果某运动员投一次篮投中的概率为0.8,下列说法正确吗?为什么？

(I)该运动员投5次篮，必有4次投中.

(2)该运动员投100次篮，约有80次投中.

2.对一批西装质量抽检情况如下：

(1)填写表格中次品的概率.

(2)从这批西装中任选♦套是次品的概率是多少？

(3)若要销售这批西装2000件，为了方便购买次品西装的顾客前来调换，至少应该进多少件西装？

六、课堂小结：

尽管随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性，但只要保持实验条件不变，那么这一事件出现

的频率就会随着实验次数的增大而趋于稳定，这个稳定值就可以作为该事件发生.概率的估计值。

七、作业：见课课通。

补充：一个口袋中有12个自球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋

中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球与10的二匕值，再

把球放回袋中摇匀。不断重复上述过程5次，得到的白求数与10的比值分别为：0.4,0.1,0.2,0.1,

0.2o根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有3个黑球。

(06黑龙江中考题)

课题：2.4概率的简单应用

教学目标：

1、通过实例进一步丰富对概率的认识；

2、紧密结合实际，培养应用数学的意识。

教学重点和难点;：用等可能寻件的概率公式解决一些实际问题。

教学过程：

一、提出问题：

1.如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率有多大.那么怎么样来估计中奖的概率呢?

2.出门旅行的人希望知道乘坐哪一中交通工具发生事故的可能性较小？

指出：概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领域都有着广泛的应用.

二、例题分析：

例1、某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同，以每10000张奖券为一个开奖单位,

设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个，问1张奖券中一等奖的概率是多少？中奖的概率是

多少？

分析：因为10000张奖券申能中一等奖的张数是10张，所以一张奖券中一等奖的概率就是

；而10000张奖券中能中奖的奖券总数是1+10+100=111张所以一张奖券中奖的概

100001000

率是赢

例2、生命表又称死亡表，是人寿保险费率计算的主要依据，如下图是1996年6月中国人民强行发布

的中国人寿保险经验生命表,(1990-1993年)的部分摘录，根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数

字)

死亡人数

(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率.年龄X生存人数lx

(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率.dx

分析：01()(X)(X)()2909

(1)解释此表的意思；19970912010

(2)根据表中数据可得：61岁的生存人数为8676g5,61岁30976611755

的死亡人数为10853,所以所求概率为31975856789

6186768510853

p=%=尊：。。均6285683211806

L0.1867685

6384502612817

6483220913875

(3)根据表中数据得加:975856,

7948898832742

8045624633348

心二856832,

8142289833757

8238914133930

r-Lt、fLr*一1"ALAtfY'A，856832

所以所求的概率为p=f=------工0八.8c7r8c0c

/31975856

三、课内练习：课本第41页第I、2题和作业题第1题2题。

四、小结：学会调查、统计，利用血管的概率结合实际问题发表自己的看法，并对事件作出合理的

判断和预测，用优化原则作决策，解决实际问题。

五、作业：见课课通

3.1圆

教学目标

1.理解圆、弧、弦等有关概念.

2.学会圆、弧、弦等的表示方法.

3.掌握点和圆的位置关系及其判定方法.

4.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.

5.用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活.

教学重点

弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系.

教学难点

点和圆的位置关系及判定.

教学方法操作、讨论、归纳、巩固

教学过程

1.展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关.

如（1）一个破残的轮片（课本P62图），怎样测出它的直径?如何补全？

（2）圆弧形拱桥（课本P63图），设计时桥拱圈（）的半径该怎样计算？

（3）如何躲避圆弧形暗礁区（课本P60、P74图），不使船触礁？

（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？

2.上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：圆上的点

有什么特性吗？圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？这节课我们用另一种方法来定义

圆的有关概念。

（板书）3.1圆

3.师生i起用圆规画圆：取一根绳子，把i端固定在

画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆（课本图3

—1、3—2）.

归纳：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点（）旋转一周，另一个端点P所经过的封闭

曲线叫做圆.定点0就是圆心，线段0P就是圆的半径.以点0为圆心的圆，记作“。0”，读作

“圆O”.如图所示.

4圆的有关概念（如图3—3）

（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC.经过圆心的弦是直径，图中的AB。直经等于半

径的2倍.

（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号表示.小于半圆的弧叫做劣弧，

如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中

的.

（3）半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆.例如，图中的和。

02是等圆.

圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。（学生画同心圆）

（4）完成P58做一做

由上述问题提出：确定一个圆的两个必备条件是什么？

说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点

必定在圆上.即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

注意：说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。

5.结论：一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么

就有：

d<rP在圆内;d=rP在圆上;d>rP在圆外.

教学反思

学生能较好的理解本节教学内容,但对于•如何应用学生还是掌握的不怎样的好.

3.2图形的旋转

1.使学生理解圆的轴对称性.

2.掌握垂径定理.

3.学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题.

教学重点

垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着

广泛的应用，因此，木节课的教学重点是：垂径定理及其应用.

教学难点

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的

逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点.

教学关键

理解圆的轴对称性.

教学环节的设计

这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：

复习提问，创设情境；引入井课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；

目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知.

教学方法：类比启发

教学辅助：多媒体

教学过程：

一、复习提问，创设情境

1.教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴右称图形,

同时女习轴对称图形的概念；

2.提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图

形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）/------、

二、引入新课，揭示课题不、、

1.在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：（X、

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.CHE~/O-------lD

强调：1//

（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴：7

（2）圆的对称轴有无数条.—/

判断：任意•条直径都是圆的对称轴（）

设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备.

三、讲解新课，探求新知

先按课本进行合作学习

1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；

2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.

提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

在学生探索的基理得色结金：（先介绍弧相等的概念）

①EA=EB；②AC=BC,AD=BD.

理由如下：VZOEA=ZOEB=RtZ,根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，

・••点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.

，EA=EB,At=BC,Ab=feb.

然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

垂径定理的几何语言

〈CD为直径，CD1AB（0C1AB）

，EA二EB,AC=BC,AD=BD.

四、应用新知，体验成功

例1已知矗，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.（先介绍弧中点概念）

作法：

1.连结AB.

2.作AB的垂直平分线CD,交弧AB于点E.

点E就是所求弧AB的中点.

变式一：求弧卷的四等分点.

思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分.

（图略）

有一位同学这样画，错在哪里？

1.作AB的垂直平分线CD

2.作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）

教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线.

变式二：你能确定弧&的圆心吗？

方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心.

例2一条排水管的截面如图所示.排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,求截面圆心0到水面

的距离0C.

思路：

先作出圆心O到水面的距离0C,即画OC_LAB,AAC=BC=8,

在RtZ\OCB中，OCZOB?-BC2=Jl（）2-82=6

，圆心0到水面的距离OC为6.

补充例题已知：如图，线段AB与。O交于C、D两点，且OA=OB.求证：AC=BD.

思路：

作OM_LAB,垂足为M,/.CM=DM

VOA=OB,・・.AM=BM,.\AC=BD.

概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.

小结：

1.画弦心距是圆中常见的辅助线；

2.半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角二角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关

系：弦长A8=2尸才.

3.3垂径定理

由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设

能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.

已知：如图3・15,在。O中，直径CD与弦AB（不是直径）相交于E,且E是AB的中点.

求证：CD1AB,.

分析：要证明CD_LAB,即证OE_LAB,而E是AB的中点，即证0E为AB的中垂线.由等腰三角

形的性质可证之.利用垂径定理可知AC=BC,AD=BD.

证明：连结OA,0B,则OA=OB,z^AOB为等腰三角形.

因为E是AB中点，所以OE_LAB,即CD_LAB,

又因为CD是直径，所以

2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：

(2)若选①④为题设，可得：

以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出

最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即

可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影

打出其它六个命题：

3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三

个命题，教师板书出垂径定理的推论1.

推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧：

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所走的另一条弧.

4.垂径定理的推论2.

在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF,请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图

7-37)

学生答

接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.)

证明：因为EF〃AB,所以直径CD也垂直于弦EF,

最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的乂一推论：

推论2圆的两条平行弦所夹H勺弧相等.

三、应用举例，变式练习

练习按图3-15,填空：在00中

(1)若MN_LAB,MN为直径；则，，：

(2)若AC=BC,MN为直径；AB不是直径，则，，；

(3)若MN_LAB,AC=BC,则，，；

此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论I的条件和结论.

例3我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱前弧

的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)

首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同

时也可激发学生学习数学的兴趣.

六、总结回顾，反思内化

师生共同总结：

1.本节课主要内容：(1)旧的轴对称性；(2)垂径定理.

2.垂径定理的应用：(1)作图；(2)计算和证明.

3.解题的主要方法：

(1)画弦心距是圆中常见的埔助线；

(2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的

关系：弦长八8=21M-d2.

教学反思；

本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本

节例题学生掌握很好。

3.4圆心角

教学目标：

I.经历探索圆心角定理的过程；

2.掌握圆心角定理

教学重点：圆心角定理

教学难点：圆心角定理的形成过程

教学方法：讲练法

教学辅助：多媒体

教学过程：

一.创设情景：

1、顶点在圆心的角，叫圆心角

2、圆的旋转不变性：

圆绕圆心旋转任意角a,都能够与原来的圆重合。

3、圆心到弦的距离，叫去■心超

4、P69合作学习

结论：圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相

等，所对的弦的弦心距相等。

另外，对于等圆的情况，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命

题成立。

5、n度的弧的定义

6.探究活动P70

二、新课讲解

1、例1教学P69

结合图形说出因为所以。。

2、运用上面的结论来解决下面的问题：

己知：如图，AB、CD是0O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论

填空：

如果NAOB二NCOD,那么B

二.巩固新知：

P70课内练习1,2,3\]

P7ITI-3

四.小结：通过这节课的学习，你学到了什么知\‘一\陈/y/识？

1.圆心角定理

2.运用关于圆心角，弧，弦，弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题

五.布置作业:见作业本

教学反思:

本节课由于多媒体的演示，学生对对定理的理解很好。课堂气氛活

3.5圆周角

教学目标：

1.理解圆周角的概念.

2.经历探索圆周角定理的过程.

3.掌握圆周角定理和它的推论.

4.会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题.

教学重点:圆周角定理

教学难点:圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定的难度是本节的教学难点.

教法:探索式，启发式，合作学习,直观法

学法:动手实验，合作学习

教学辅助：多媒体

教学过程：

2.复习旧知，创设情景：

1.创设情景在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(N

ABC)有关.

1当球员在B,D,E处射匚时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角/ABC,ZADC.ZAEC.

这三个角的大小有什么关系?.

三个张角NABC,NADQNAEC是什么角呢？

2.什么圆心角呢?圆心角与弧的度数相等吗？

二.新课探究：

L.圆周角的定义(用类比的方法得出定义)

顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角

特征：

①角的顶点在圆上.

②角的两边都与圆相交.(说明相交指的是角边与圆除了顶点外还有公共点)

练习:判别卜.列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

2.探索圆心与圆周角的位置关系：•个圆的圆心与圆周角的位置可能有几种关系？

(I)圆心在角的边上;(2)圆心在角的内部，(3)圆心在角的外部

在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？

3.探索研究：圆周角和圆心角的关系

如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个角存在怎样的关系？

用几何画板演示探讨得到

命题：(圆周角定理)

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的•半。

1(1).首先考虑一种特殊情况：

2当圆心⑹在圆周角(NABC)的一边(BC)上时,圆周角/ABC与圆心角NAoC的大小关系.

3如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样？

4(2).当圆心(O)在圆周角(NABC)的内部时,圆周角NABC与圆心角NAOC的大小关系会怎样？

5(3).当圆心(O)在圆周角(NABC)的外部时,圆周角NABC与圆心角NAOC的大小关系会怎样？

证明略(要会分类讨论)

推论:圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

3.6圆内接四边形

教学目标:

1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.

2.掌握圆周角定理的推论‘联同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧

也相等”

3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.

重点：圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也

相等”

难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成，表述也有•定的困难

例4的辅助线的添法.

教学方法：类比启发

教学辅助：多媒体

教学过程：

一、旧知回放：

1、圆周角定义:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

特征：①角的顶点在圆上.

②角的两边都与圆相交.

2、圆心角与所对的弧的关系

3、圆周角与所对的弧的关系

4、同弧所对的圆心角与圆周甭的关系

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

二.课前测验

1.100°的弧所对的圆心角等于,所对的圆周角等于o

2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为

3、如图，在。O中，ZBAC=32°,则NBOC=

4、如图，（DO中，ZACB=130°,则NAOB=。

5、下列命题中是真命题的是（）

（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。

（B）60。的圆周角所对的弧的度数是30。

（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。

（D）120。的弧所对的圆周角是60。

三，问题讨论

问题1、如图1,在中,NB.ND,NE的大小有什么关系?为什么?

问题2、如图2,AB是。0的直径，C是。0上任一点，你能确定NBAC的度数吗?

问题3、如图3,圆周角NBAC=90。，弦BC经过圆心0吗？为什么？

O

圆周.角定理的推4U论：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的恻周角相

等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

四.例题教学：

例2:已知：如图，在4ABC中，AB=AC,

以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,

求证：

BD=DE

证明：连结AD.

•・•AB是圆的直径，点D在圆上，

,ZADB=90°

AAD1BC,

VAB=AC,

Z.AD¥WftZBAC,即NBAD=NCAD,

A

・,.BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。

练习:如图，P是△ABC的外接圆上的一点/APC二NCPB=60°。求证:

ABC是等边三角形

例3:船在航行过程中，船工常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。

如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表c示一

个危险临界点，NACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于危险角”

时，就有可能触礁。

问题:弓形所含的圆周角NC=50°,问船在航行时怎样才能保证不进°入暗礁区？

（1）当船与两个灯塔的夹角Na大于“危险角”时，船位于哪个区（域？为什

（2）当船与两个灯塔的夹角/a小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什

么？

五:练一练：1.说出命题，圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请

说明理由.

2.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分NABC,且AB〃CD.求证:AB=CD十斡、

六.想一想：如图:AB是。O的直径，弦CD1AB于点E,G是一上任意一（\V

点，延长AG与DC的延长线相交于点F,连接AD.GD.CQ找出图中所有和ZA卜、）

ADC相等的角,并说明理由.

拓展练习：/F

1如图,。0中.AB是直径，半径CO1AB.D是CO的中点，DE〃AB、求

七:小结：1、本节课我们学习了哪些知A?\II识？

2、圆周角定理及其推论的用途\你都知道了吗？

八、布置作业:见作业本、一』

3.7正多边形

教学目标

1.在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系.

2.正多边形的画法.

重难点、关键

1.重点:讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系.

2.难点与关键:通过例题使学生理解四者:正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之

间的关