2025年春人教版数学九年级下册课件 27.2.2 相似三角形的性质

第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质新课导入1．类似三角形全等，若两个三角形相似，它有哪些性质？2．已经掌握相似三角形有哪些性质？相似三角形的性质有:对应角相等对应边成比例探究新知如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.

1探究ABCA'B'C'ABCA'B'C'解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

则∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.

DD'∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，相似三角形对应高的比等于相似比.(1)在三角形中除了三条边的长度，三个角的度数，还有哪些量是我们可以研究的？ABCA'B'C'它们的对应高、对应中线、对应角平分线、周长和，面积.(2)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比；ABCA'B'C'解：如图，分别作出∠A和∠A'

的角平分线AD和A'

D'

．

则∠B

=∠B'.

∴△ABD∽△A'B'D'.

ABCA'B'C'DD'∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A＝∠A'，

∴∠BAD＝∠B'A'D'.

相似三角形对应角平分线的比等于相似比.(3)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；ABCA'B'C'解：如图，分别作出BC和B'

C'的中点D和D'

,连接AD和A'

D'

．

则∠B

=∠B'.

ABCA'B'C'DD'∵△ABC∽△A′B′C′，

ABCDA'B'C'D'∴△ABD∽△A'

B'

D'.

相似三角形对应中线的比等于相似比.(4)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，证明：相似三角形周长的比等于相似比．ABCA'B'C'解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,

ABCA'B'C'

相似三角形周长的比等于相似比.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k

，求证相似三角形面积的比等于相似比的平方．

2思考相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ABCA'B'C'ABCA'B'C'解：如图，分别作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

DD'

相似三角形周长的比等于相似比.

=k2.

知识归纳1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于________．3．相似三角形周长的比等于________．4．相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似比相似比例题与练习例1

已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC，AC，A′B′和A′C′的长．∴AC＝60－20－15＝25(cm)，

A′C′＝72－18－24＝30(cm)．解：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴A′B′＝18cm，同理，BC＝20cm，

例2

如图，△ABC是一块锐角三角形涂料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点在AB，AC上．该矩形的长QM＝y(mm)，宽MN＝x(mm)，如何用含x的代数式表示y?解：∵PN∥BC，AD⊥BC，∴AE⊥PN.易知PN＝QM＝y，DE＝MN＝x.∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

例3

如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AD∥BC，且AD＝BC，E为AD上一点，AC与BE交于点F，若AE∶DE＝2∶1，则＝____．

课堂小结1．相似三角形对应线段(对应边、对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比．2．相似三角形周长的比等于相似比．3．相似三角形面积的比等于相似比的平方．随堂检测1．教材P39练习第1，2，3题．2．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是(

)C

3．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；解：(1)∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2.∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，