2025年春北师版数学九年级下册 第3章 3 垂径定理

第3章圆3垂径定理一、选择题1、如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE=OEB．CE=DEC．OE=CED．∠AOC=60°答案：B解析：解答：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E∴CE=DE．故选B．分析：根据直径AB⊥弦CD于点E，由垂径定理求出，CE=DE，即可得出答案．2、⊙O的一条弦长AB=12cm，直径CD⊥AB于E，则AE的长为（）A．12cmB．6cmC．7cmD．8cm答案：B解析：解答：如图：∵CD是直径，CD⊥AB，AB=12cm，∴AE=AB=6cm（垂径定理）．故选B．分析：根据垂径定理解答即可，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（）A．5cmB．10cmC．6cmD．14cm答案：B解析：解答：如图，过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=3cm，AE=BE=AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA=OE2则直径CD=2OA=10cm，故选B．分析：过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=3cm，AE=BE=QUOTE12AB=4cm，在Rt△AEO中，由勾股定理求出OA，即可得出答案．4、如图，已知⊙O弦AB的长6cm，OC⊥AB，OC=4cm，则⊙O的半径为（）A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm答案：B解析：解答：如图：连接OA．∵OC⊥AB，AB=6cm，∴AC=BC=AB=3cm（垂径定理）；在Rt△AOC中，根据勾股定理知，AO2∴OA2∴OA=5cm.故选B．分析：连接OA构建Rt△AOC，然后在Rt△AOC中利用勾股定理求⊙O的半径OA的长即可．5、如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6B．5C．4D．3答案：B解析：解答：如图：过O作OC⊥AB于C，∵OC过圆心O，AB=24，∴AC=BC=QUOTE12AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=AO2故选：B．分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．6、如图，⊙O的半径为2，弦AB⊥OC于C，AB=23，则OCA．22B.3C．1D．2−答案：C解析：解答：∵AB⊥OC，AB=23，∴AC=BC=AB=3；又∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴在Rt△BOC中，OC=OB2故选C．分析：利用垂径定理求得Rt△BOC的直角边BC的长度，然后利用勾股定理可以求得OC的长度．7、如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，则AB的长为（）A．8B．16C．18D．20答案：B解析：解答：：∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，∴AD=BD=AB（垂径定理），∴AB=2AD，在Rt△ADO中，OD⊥AB于D，若AO=10，OD=6，∴AD=AO2∴AB=16．故选B．分析：先根据勾股定理求出AD的长，再根据垂径定理求出AB的长．8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（）A．B.C．D．答案：D解析：解答：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△OEC中：OC=5，CE=4，∴OE=3（勾股定理）．∴tan∠COE=故选D．分析：先由垂径定理求得CE=4，然后在直角三角形OCE中，根据勾股定理求得OE，再根据三角函数的定义求解．9、已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（）A．4B．14C．4或14D．6或14答案：C解析：解答：如图：作OC⊥AB于点C，∴AC=AB=9，OC=OA2∴PC=OP2当点P在线段AC上时，AP=9-5=4，当点P在线段BC上时，AP=9+5=14．故选：C．分析：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．10、如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（）A．3B．6C．4D．8答案：B解析：解答：如图：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．故选B．分析：先根据垂径定理求出AM=QUOTE12AB，再根据勾股定理求出AD的值．11、如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6．则⊙O的半径为（）A．6B．13C．13D．213答案：C解析：解答：如图：过点A作等腰直角三角形BC边上的高AD，垂足为D，所以点D也为BC的中点．根据垂径定理可知OD垂直于BC．所以点A、O、D共线．∵⊙O过B、C，∴O在BC的垂直平分线上，∵AB=AC，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∴AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB=DO2故选C．分析：延长AO交BC于D，接OB，根据AB=AC，O是等腰Rt△ABC的内心，推出AD⊥BC，BD=DC=3，AO平分∠BAC，求出∠BAD=∠ABD=45°，AD=BD=3，由勾股定理求出OB即可．12、坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1）D．（2，1）答案：B解析：解答：如图：连接AB、BC，分别作AB和BC的垂直平分线DM、EF，两线交于M，则M为弧所在的圆的圆心，，∵点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），∴A的坐标是（0，3，），∴M点的横坐标是2，设M的纵坐标为a，∵M在AB与BC的垂直平分线的交点，∴MA=MB=MC，即M的坐标是（2，-1），故选B．分析：根据题意找出圆心M的位置，得出M在AB和BC的垂直平分线的交点上，求出A的坐标，求出M的横坐标，根据AM=BM，根据勾股定理求出AM和BM，即可得出方程，求出方程的解即可．13、已知⊙O的直径20，OP长为8，则过P的弦中，弦长为整数的弦共有（）条．A．1B．9C．17D．16答案：D解析：解答：如图，AB是直径，OA=10，OP=8，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．由垂径定理知，点P是CD的中点，∴PC=4，在直角三角形OPC中，由勾股定理求得，PC=6，∴CD=12，则CD是过点P最短的弦长为12；AB是过P最长的弦，长为20．故过点P的弦的长度都在12～20之间；因此弦长为12，13，14，15，16，17，18，19，20；当弦长为12、20时，过P点的弦分别为弦CD和过P点的直径，分别有一条；当弦长为13，14，15，16，17，18，19时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有16条．分析：求出过P点的弦的长度的取值范围，取特殊解，根据对称性综合求解．14、如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对答案：C解析：解答：因为圆O的弦AB垂直平分半径OC，由垂径定理可知，半径OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选C．分析：根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．对角线互相垂直平分的四边形是菱形.15、圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cmB．17cmC．12cmD．7cm或17cm答案：D解析：解答：如图：第一种情况：两弦在圆心的一侧时，已知CD=10cm，∴DE=5cm．∵圆的半径为13cm∴OD=13cm，∴利用勾股定理可得：OE=12cm．同理可求OF=5cm，∴EF=OE-OF=12-5=7cm．第二种情况：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一种一样．故选D．分析：此题可以分两种情况，即两弦在圆心的一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个．二、填空题16、如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为答案：2.5解析：解答：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12设OC=OA=x，则OE=x-1，根据勾股定理得：CE2+OE即解得：x=2.5；故答案为：2.5．分析：连接OC，由垂径定理得出CE=QUOTE12CD=2，设OC=OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得出方程，解方程即可．17、如图，⊙O的直径AB=12，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，则CD的长是（结果保留根号）．答案：6解析：解答：连OC，如图，∵直径AB=12，M是半径OB的中点，∴OC=6，OM=3，在Rt△OCM中，CM=OC2∵CD⊥AB，∴CM=CD，∴CD=2CM=63故答案为63．分析：连OC，易得OC=6，OM=3，根据勾股定理可计算出CM=33，由于CD⊥AB，根据垂径定理得到CM=CD，即可计算出CD的长．18、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为答案：3解析：解答：如图：过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，∵OM过O，OM⊥AB，∴AM=AB=×8=4，在Rt△AMO中，由勾股定理得：OM=OA2故答案为：3．分析：过O作OM⊥AB于M，此时线段OM的长最短，连接OA，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM即可．19、半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为.答案：123解析：解答：如图，∵OD=CD=6，∴由勾股定理得AD=63，∴由垂径定理得AB=123，故答案为：123．分析：先画图，根据题意得OD=CD=6，再由勾股定理得AD的长，最后由垂径定理得出弦AB的长即可．20、如图，AB是⊙O的直径CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为答案：6cm解析：解答：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示，∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm，在Rt△OCG中，OC=12AB=5cm，CG=4cm，根据勾股定理得：OG=OC2又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，∴OG=（AE+BF），则AE+BF=2OG=6cm．故答案为：6cm．分析：过O作OG垂直于CD于G，由垂径定理得到G为CD的中点，连接OC，在直角三角形OCG中，由OC与CG的长求出OG的长，再由AE、OG、BF都与EF垂直，得到三线平行，而O为AB的中点，利用平行线等分线段定理得到G为EF的中点，利用梯形中位线定理得到AE+BF=2OG，求出即可．21、已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．答案：2解析：解答：：∵AB为直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=4，在Rt△COE中，OE=OC2∴BE=OB-OE=5-3=2，故BE=2．分析：由于AB⊥CD，而AB是直径，根据垂径定理易求CE，再根据勾股定理可求CE，进而可求BE．22、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．答案：215解析：解答：如图：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA-AE=4-2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=QUOTE12OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF=OD2则CD=2DF=215．分析：过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA-AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．23、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=B