高升专数学（理）全真模拟试卷（真题模拟）2025年

高升专数学（理）全真模拟试卷（真题模拟）2025年一、选择题要求：从下列各题的四个选项中，选出正确的一个。1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$x$轴有一个交点，则下列结论正确的是（）。A.$a>0$，$b^2-4ac=0$，$c\neq0$；B.$a>0$，$b^2-4ac<0$，$c\neq0$；C.$a<0$，$b^2-4ac=0$，$c\neq0$；D.$a<0$，$b^2-4ac<0$，$c\neq0$。2.已知函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)$的值是（）。A.$-2$；B.$0$；C.$2$；D.$3$。3.若$a+b+c=0$，则$abc$的值是（）。A.$0$；B.$1$；C.$-1$；D.$2$。4.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点为$B$，则$B$的坐标是（）。A.$(-1,-2)$；B.$(-1,2)$；C.$(1,-2)$；D.$(1,2)$。5.若等差数列$\{a_n\}$的前$5$项之和为$15$，第$5$项与第$6$项之和为$12$，则该数列的首项$a_1$是（）。A.$2$；B.$3$；C.$4$；D.$5$。6.若等比数列$\{a_n\}$的前$3$项之和为$27$，第$3$项与第$4$项之和为$54$，则该数列的首项$a_1$是（）。A.$3$；B.$6$；C.$9$；D.$12$。7.若函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$A$，则集合$A$的表示方法是（）。A.$A=\{x|x>1\}$；B.$A=\{x|x>0\}$；C.$A=\{x|x<1\}$；D.$A=\{x|x<0\}$。8.若函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域为$B$，则集合$B$的表示方法是（）。A.$B=\{y|y>0\}$；B.$B=\{y|y\geq0\}$；C.$B=\{y|y<0\}$；D.$B=\{y|y\leq0\}$。9.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的图象与$x$轴有两个交点，则下列结论正确的是（）。A.$f'(1)>0$；B.$f'(1)<0$；C.$f'(1)=0$；D.$f'(1)$不存在。10.若函数$f(x)=2^x$的图象与直线$y=3$有两个交点，则下列结论正确的是（）。A.$f'(1)>0$；B.$f'(1)<0$；C.$f'(1)=0$；D.$f'(1)$不存在。二、填空题要求：将答案填入题中的横线上。11.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图象与$x$轴有两个交点，则$f(x)$的判别式$\Delta=$__________。12.若函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$A$，则集合$A=$__________。13.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域为$B$，则集合$B=$__________。14.若函数$f(x)=2^x$的导数$f'(x)=$__________。15.若函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的导数$f'(x)=$__________。16.若等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，则第$10$项$a_{10}=$__________。17.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公比$q=2$，则第$6$项$a_6=$__________。18.若直线$l:2x+3y+1=0$与直线$m:4x+6y+3=0$平行，则它们的截距之比是__________。19.若直线$l:2x+3y+1=0$与直线$m:4x+6y+3=0$垂直，则它们的截距之比是__________。20.若直线$l:2x+3y+1=0$与直线$m:4x+6y+3=0$的交点坐标是$(x_0,y_0)$，则$x_0=$__________，$y_0=$__________。三、解答题要求：将答案写在题中横线处。21.解方程组$\begin{cases}x+y=5\\2x-3y=1\end{cases}$。22.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，求函数$f(x)$的导数$f'(x)$。23.求函数$f(x)=x^3-3x+2$的单调区间。24.求函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域。25.求直线$l:2x+3y+1=0$与直线$m:4x+6y+3=0$的交点坐标。四、证明题要求：证明下列各题中的结论。26.证明：若$a>0$，$b>0$，则$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$。27.证明：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$x$轴有两个交点，则$\Delta=b^2-4ac>0$。五、应用题要求：解决下列实际问题。28.某工厂生产一批产品，每件产品的成本为$10$元，售价为$15$元。若每天生产$100$件产品，则每天可获利$500$元。为了扩大生产，工厂计划将每件产品的售价提高$x$元，同时保持成本不变。问：为了使每天的总利润达到$1000$元，$x$应取多少？29.一个长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，求该长方体的体积$V$。六、解答题要求：解答下列各题。30.已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$，求函数$f(x)$的极值。31.求直线$l:3x-4y+5=0$与圆$x^2+y^2=16$的交点坐标。本次试卷答案如下：一、选择题1.C解析：函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有一个交点，说明该函数有一个实根，即判别式$\Delta=b^2-4ac=0$。由于$a\neq0$，所以函数的开口方向由$a$决定，$a<0$时开口向下，$a>0$时开口向上。由于只有一个交点，所以函数的顶点在$x$轴上，即$c=0$。2.B解析：函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)=3x^2-3$，将$x=1$代入得到$f'(1)=3(1)^2-3=0$。3.C解析：由$a+b+c=0$，可得$c=-a-b$。将$c$代入$abc$得到$abc=a(-a-b)=-a^2-ab$。由于$a$和$b$的符号不确定，所以$abc$的值只能是负数，即$abc=-1$。4.A解析：点$A(2,3)$关于直线$x+y=1$的对称点$B$，设$B$的坐标为$(x_0,y_0)$，则直线$AB$的中点坐标为$(\frac{2+x_0}{2},\frac{3+y_0}{2})$。由于中点在直线$x+y=1$上，所以$\frac{2+x_0}{2}+\frac{3+y_0}{2}=1$，解得$x_0=-1$，$y_0=-2$。5.B解析：等差数列的前$5$项之和为$15$，即$\frac{5(a_1+a_5)}{2}=15$，化简得$a_1+a_5=6$。第$5$项与第$6$项之和为$12$，即$a_5+a_6=12$。由于$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，代入上面的式子得到$a_1+4d+a_1+5d=12$，化简得$2a_1+9d=12$。联立方程组解得$a_1=3$。6.C解析：等比数列的前$3$项之和为$27$，即$a_1+a_1q+a_1q^2=27$，化简得$a_1(1+q+q^2)=27$。第$3$项与第$4$项之和为$54$，即$a_1q+a_1q^2=54$。由于$a_1q=a_1q^2q$，代入上面的式子得到$a_1q(1+q)=54$。联立方程组解得$a_1=9$。7.A解析：函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$x-1>0$，即$x>1$。8.B解析：函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的值域为$y>0$。9.C解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的导数$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$，当$x=1$时，$f'(1)=0$。10.D解析：函数$f(x)=2^x$的导数$f'(x)=2^x\ln2$，当$x=1$时，$f'(1)=2\ln2$，由于$\ln2>0$，所以$f'(1)>0$。二、填空题11.$-7$解析：$f(x)=x^2-4x+3$的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(3)=-7$。12.$A=\{x|x>1\}$解析：函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$x-1>0$，即$x>1$。13.$B=\{y|y\geq0\}$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的值域为$y\geq0$。14.$f'(x)=2^x\ln2$解析：函数$f(x)=2^x$的导数$f'(x)=2^x\ln2$。15.$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$解析：函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$的导数$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$。16.$a_{10}=2+9d=2+9(3)=29$解析：等差数列的第$10$项$a_{10}=a_1+9d=2+9(3)=29$。17.$a_6=a_1q^5=3(2)^5=96$解析：等比数列的第$6$项$a_6=a_1q^5=3(2)^5=96$。18.2:3解析：直线$l:2x+3y+1=0$的截距为$-\frac{1}{3}$，直线$m:4x+6y+3=0$的截距为$-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$，截距之比为$2:3$。19.3:2解析：直线$l:2x+3y+1=0$的截距为$-\frac{1}{3}$，直线$m:4x+6y+3=0$的截距为$-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$，截距之比为$3:2$。20.$x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=\frac{1}{4}$解析：联立方程组$\begin{cases}2x+3y+1=0\\4x+6y+3=0\end{cases}$，解得$x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=\frac{1}{4}$。三、解答题21.$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$解析：将第一个方程乘以$2$得到$2x+2y=10$，与第二个方程$2x-3y=1$相减得到$5y=9$，解得$y=1.8$，代入第一个方程得到$x=2$。22.$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$解析：函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$的导数$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}$。23.单调递增区间：$(-\infty,1)$，单调递减区间：$(1,+\infty)$解析：函数$f(x)=x^3-3x+2$的导数$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得到$x=1$，当$x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。24.值域：$[0,+\infty)$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$。当$x\geq1$时，$f(x)\geq0$，所以值域为$[0,+\infty)$。25.交点坐标：$(-\frac{1}{2},\frac{1}{4})$解析：联立方程组$\begin{cases}2x+3y+1=0\\4x+6y+3=0\end{cases}$，解得$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$。四、证明题26.证明：$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$解析：要证明$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$，只需证明$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2$，即$a+2\sqrt{ab}+b>a+b$，化简得$2\sqrt{ab}>0$，显然成立。27.证明：若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象与$x$轴有两个交点，则$\Delta=b^2-4ac>0$。解析：函数$f(x)=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点，说明该函数有两个实根，