共形映射测试题及答案

共形映射测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列函数中，（）是共形映射。A.\(w=z^2\)B.\(w=\overline{z}\)C.\(w=2\)答案：A2.函数\(w=\frac{1}{z}\)将\(z\)平面上的单位圆\(|z|=1\)映射为\(w\)平面上的（）。A.单位圆B.直线C.抛物线答案：A3.共形映射在解析点处的导数（）。A.等于0B.不为0C.不确定答案：B4.\(w=e^z\)是（）。A.单叶函数B.多叶函数C.不是映射答案：B5.函数\(w=z+1\)将\(z\)平面上的点\(z=1+i\)映射到\(w\)平面上的点为（）。A.\(2+i\)B.\(i\)C.\(1+2i\)答案：A6.分式线性映射\(w=\frac{az+b}{cz+d}\)中，\(ad-bc\)（）。A.=0B.≠0C.可为0答案：B7.共形映射保持曲线的（）。A.长度B.夹角大小和方向C.面积答案：B8.映射\(w=z^3\)在\(z=1\)处的伸缩率为（）。A.1B.3C.9答案：B9.若\(f(z)\)在\(z_0\)解析且\(f^\prime(z_0)\neq0\)，则\(f(z)\)在\(z_0\)处（）共形映射。A.是B.不是C.不一定是答案：A10.\(w=\sinz\)在\(z=0\)处的旋转角为（）。A.0B.\(\frac{\pi}{2}\)C.\(\pi\)答案：A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下属于共形映射的性质有（）。A.保角性B.伸缩率不变性C.保圆性答案：ABC2.下列函数哪些是解析函数（）。A.\(w=z^2\)B.\(w=\cosz\)C.\(w=\frac{1}{z}\)答案：ABC3.分式线性映射\(w=\frac{az+b}{cz+d}\)可以分解为（）。A.平移B.旋转C.相似答案：ABC4.共形映射\(w=f(z)\)在\(z_0\)处的伸缩率\(|f^\prime(z_0)|\)与（）有关。A.\(z_0\)B.\(f(z)\)的形式C.映射区域答案：AB5.下列哪些映射能将上半平面映射为单位圆（）。A.\(w=e^{i\theta}\frac{z-a}{z-\overline{a}}\)B.\(w=\frac{z-i}{z+i}\)C.\(w=\frac{z+1}{z-1}\)答案：AB6.共形映射\(w=f(z)\)保持的量有（）。A.曲线的交角B.无穷远点的性质C.区域的连通性答案：AC7.函数\(w=z^n\)（\(n\)为正整数）在（）处不是共形映射。A.\(z=0\)B.\(z=1\)C.\(z=\infty\)答案：AC8.以下关于共形映射说法正确的是（）。A.解析函数构成共形映射B.保角映射不一定是共形映射C.共形映射是一一映射答案：AB9.映射\(w=\frac{1}{z}\)具有（）性质。A.保圆性B.保角性C.把圆映射为圆或直线答案：ABC10.若\(f(z)\)与\(g(z)\)都是共形映射，则（）也是共形映射。A.\(f(g(z))\)B.\(f(z)+g(z)\)C.\(f(z)g(z)\)答案：A三、判断题（每题2分，共20分）1.共形映射一定是解析函数。（√）2.函数\(w=\overline{z}\)是共形映射。（×）3.分式线性映射将圆映射为圆。（√）4.共形映射在整个复平面上都保持夹角不变。（×）5.若\(f(z)\)在\(z_0\)处解析且\(f^\prime(z_0)=0\)，则\(f(z)\)在\(z_0\)处不是共形映射。（√）6.映射\(w=z^2\)将上半平面共形映射到上半平面。（×）7.共形映射保持区域的边界对应关系。（√）8.函数\(w=\sinz\)是单叶函数。（×）9.共形映射的复合映射仍是共形映射。（√）10.解析函数\(f(z)\)在导数不为零的点处是共形映射。（√）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述共形映射的保角性。答案：共形映射在解析点处不仅保持曲线间夹角大小不变，而且保持夹角方向不变，即两条相交曲线经共形映射后，它们像曲线的夹角与原曲线夹角相等且方向相同。2.说明分式线性映射的保圆性。答案：分式线性映射能将\(z\)平面上的圆（包括直线，直线可视为半径无穷大的圆）映射为\(w\)平面上的圆（或直线），即圆在分式线性映射下的像仍是圆（或直线）。3.如何判断一个函数是否为共形映射？答案：若函数\(f(z)\)在区域\(D\)内解析，且在\(D\)内\(f^\prime(z)\neq0\)，则\(f(z)\)在\(D\)内是共形映射，满足保角性和伸缩率不变性。4.共形映射\(w=f(z)\)的伸缩率不变性是什么？答案：共形映射\(w=f(z)\)在解析点\(z_0\)处，任意方向的伸缩率都相等，且等于\(|f^\prime(z_0)|\)，即从\(z_0\)出发的不同方向上线段的伸缩程度相同。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论共形映射在实际问题中的应用。答案：在流体力学中，可用于研究平面无旋流动，通过共形映射将复杂区域转化为简单区域求解流速等；在静电场问题里，能将复杂边界的静电场映射为易分析的区域来计算电场分布等。2.分析共形映射\(w=z^n\)（\(n\geq2\)）的多叶性。答案：对于\(w=z^n\)，给定一个\(w\)值，在复数范围内有\(n\)个不同的\(z\)值与之对应。例如\(w=1\)时，\(z=e^{\frac{2k\pii}{n}}\)（\(k=0,1,\cdots,n-1\)），所以它是多叶函数，不是一一映射。3.探讨共形映射与解析函数的关系。答案：解析函数在其导数不为零的点处构成共形映射，具有保角性和伸缩率不变性等共形映射性质。但解析函数在导数为零的点处不满足共形映射条件