《对角互补模型》教学设计-2024《几何模型教学设计培优专题》

教学设计课题第十六讲《对角互补模型全等、相似、圆》课时课型复习教学目标经历对角互补模型有特殊到一般的探索过程，发展学生的合情推理能力；探索并证明的过程，培养学生的逻辑素养，利用模型的三个模块体会数学分类讨论，转化，化归，类比等数学思想在数学中的应用。教学重点理解并掌握构建全等三角形和相似三角形解决几何问题。教学难点应用构建图形的方式解决几何问题。教学方法自主学习，合作探究式学习课前准备自主学习单，直尺，三角板，圆规教学过程师生活动模块一：全等型典例精讲：如图，已知∠AOB=2α∠DCE的两边分别与OA交于点D，OB交于点E，试探究（（1）当α=90°时，（①CD与CE的数量关系为；②OD、OE与OC之间的数量关系为；③S四边形ODCE与OC之间的数量关系为（（2)当α=60°时，以上关系式是否还成立？若不成立写出关系式，并说明理由。（(3）当α为任意锐角时，请用含有α的式子表示①CD与CE的数量关系为；②OD、OE与OC之间的数量关系为；③S四边形ODCE与OC之间的数量关系为例1.如图，在四边形ABCD中，CA平分∠BAD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，若四边形ABCD的面积为123，则AC= 例2.已知：如图①，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DB平分求证：AB=BC如图②，若∠ADB=60°，试判断∆如图③，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BC上取一点F，连接CE，AF，并交于点M，连接EF。若∠CMF=60°，AD=EF=7，CD=8（CF>BF图①图②图③【归纳总结】对角互补的四边形中，有一条对角线是角平分线时，可以构造全等三角形来解决边，角和面积问题。模块一：跟踪练习在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线BD上，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F。若BF=1，则S四ABEF=2.矩形ABCD，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF的长为。3.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BGMG=35，则NG模块二：相似型模块二：典例精讲如图，已知∠AOB＝90º，OC为∠AOB内部一条射线，∠DCE=90º，交OA边于点D，交OB边于点E，∠BOC＝.求证：CE=CD•tanα例1、在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，AD=2CD，若S∆ABD=12S例2.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则DECF=②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则DECF=拓展研究：如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：DECF解决问题：如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出DECF图①图②图③图④模块二：跟踪练习如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，且∠EDF＝90°，若AC＝3，BC＝4，DE＝2DF时，则AD的长为________．2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，P是线段AC的中点，点M为线段AB延长线上一点，点N为线段BC延长线上一点，且∠MPN＝90°，则eq\f(PM,PN)＝．3.问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.（1）数学思考：请解答上述问题.（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=6，BC=8，求BFCG（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积.【归纳总结】对角互补的四边形中，有一组邻边成比例，可以构造相似三角形来解决问题。

模块三：四点共圆--综合题模块三：典例精讲已知：如图，在四边形ABCD中，已知∠A=∠C=90°，求证A、B、C、D四点共圆.归纳：当∠A+∠C=180°时，可以得出点A，B，C，D四点共圆。【例1】.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP，Q为CD中点，则下列结论：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1模块三：跟踪练习如图，点M、N分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点（不与B，C，D重合），且始终保持∠MAN＝45°，AM，AN分别交BD于点E，F，以下四个结论：①AF⊥FM；②AFAM=A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2、已知：在正方形ABCD中，点E是边AB上点，点G在边AD上，连接EG，EG＝DG，作EF⊥EG，交边BC于点F（图1）．求证：AE+CF＝EF；（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论；（3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝．△BEF的周长为24，求PK的长．图1图2图33.（2022•广州越秀区）（1）【基础巩固】如图1，△ABC内接于⊙O，若∠C＝60°，弦AB＝23，则半径r＝；（2）【问题探究】如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝60°，AD＝DC，点B为弧AC上一动点（不与点A，点C重合）．求证：AB+BC＝BD；（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段AD、AB、BC）和一条道路劣弧CD围成，已知CM＝DM=3千米，∠DMC＝60°，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点P在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段DM、MC、CP、PD，是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形DMCP【总结提升】今天你有哪些收获？作业：完成自主学习单学生自主探究当α=90°时，写出结论，并说明理由师生共同归纳，α为任意锐角时，三种数量关系。师生共同探究归纳方法精讲精练巩固训练师生共同探究对角互补的四边形，一组邻边成比例时的边角关系。精讲精练学生独立完成，教师指导巩固训练师生共同归纳总结方法利用四边形中一组对角是90°时，可以证明这四个顶点在同一个圆上，由特殊到一般可以归纳出当四边形对角互补时，这四个顶点是在同一个圆上的。精讲精练巩固训练师生共同总结归纳板书设计：对角互补模型全等，相似，圆模块一：全等型