点到直线的距离公式（重难点突破）

专题2.3.3点到直线的距离公式知识点一：点到直线的距离公式点到直线的距离为.知识点诠释：（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.例1、（1）、（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线的距离是（

）A．1 B．2 C．【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】，故选：A（2）、（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15【答案】D【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值.【详解】因为点到直线的距离为1，所以,解得或5.故选:D.【变式训练11】、（2023·全国·高三专题练习）坐标原点O到直线l：的距离是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】使用点到直线的距离公式求解.【详解】O到直线l：的距离.故选：D【变式训练21】、（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点到直线的距离的最大值是．【答案】【分析】直线恒过点，根据几何关系可得，点到直线的距离的最大值为.【详解】因为直线恒过点，记，直线为直线，则当时，此时点到直线的距离最大，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.

例2、（1）、（2021秋·吉林长春·高三校考期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．【答案】5【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点C的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案.【详解】作出图示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点，由对称性可得，所以，当且仅当A、、三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为.故答案为：.（2）、（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为．【答案】【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案.【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知,设关于直线的对称点，，解得；由反射光线性质知所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度，.故答案为：.（3）、（2022秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解.【详解】,所以直线的直线方程为，设关于直线对称的点是，则有，即，所以，即，又因为的中点在直线上，所以，即，联立，解得，所以，又有关于轴对称的点，由对称性可知，均在直线上，所以,由点斜式得，即.故选:D.【变式训练21】、（2022秋·江苏扬州·高二仪征中学校考期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭､中庭､下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼､第二眼､第三眼､第四眼､第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为.【答案】2.5cm/cm【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，所以，利用点斜式方程可得到直线：，整理为，所以原点O到直线距离为，故答案为：2.5cm.【变式训练22】、（2021秋·高二单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.【详解】设关于的对称点为，所以，可得，即对称点为，又所以“将军饮马”的最短总路程为.故选：A【变式训练23】、（2022·高二课时练习）如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程和的重心，设点，其中，利用点关于直线对称的性质，求出点关于直线和关于轴的对称点的坐标，由光的反射原理可知，，，四点共线，进而可求得直线的方程，由于直线过的重心，代入计算得出的值，从而求得的坐标，进而可得的值．【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：可得，故直线的方程为，可知的重心为，即，设，其中，则点关于直线的对称点，满足，解得：，即，关于轴的对称点，由光的反射原理可知，，，四点共线，直线的斜率为，故直线的方程为，由于直线过的重心，代入化简可得，解得：或（舍去），故，故，所以.故答案为：.例3、（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）求满足下列条件的直线的一般式方程：(1)经过直线,的交点P，且经过点；(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果；（2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】（1）联立，得，即，由两点式得，即.（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，设直线，即，依题意得，解得或，所以直线的方程为或.【变式训练31】、（2022秋·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知直线过点．(1)若过直线所经过的定点，求的方程；(2)若点到的距离为，求的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线经过的定点