高中数学第五讲 抛物线

第五讲抛物线

©夯基础考点练透

1.［2021合肥调研］已知P为抛物线y'4x上一点,Q为圆(x-6)2+yJl上一点，则|PQ|的最小值为()

A.VH-1B.2-yC.2V5-1D.21-4V5

2.［2021湖南模拟］已知抛物线C:y2=2px(p>0),倾斜角为［的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为26

则P的值为()

A.iB.1C.2D.4

2

3.［2020合肥市调研检测］设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和

为5,则弦AB的长的最大值为()

A.8B.7C.6D.5

22

4.［2020长春市第一次质量监测］已知椭圆9+9=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°

43

的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点，则条的值为()

BF

A.V3B.2C.3D.4

5.［2020安徽皖中名校二联］《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”讲述了“勾股定

理”及一些应用，书中把直角三角形的两条直角边分别称为“勾”“股”，把斜边称为“弦”.设点F是抛物线

y2=2px(p>0)的焦点,直线1是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线1于点

C,若RtZ\ABC的“勾”|AB|=3,“股”|CB|=3g,则抛物线的方程为()

A.y、2xB./=3xC.y?=4xI).y2=6x

6.［2021山东荷泽联考］［多选题］已知直线1过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于M,N两点,若线段

MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,0是坐标原点,则下列说法正确的是()

A.抛物线C的方程是y2=-8x

B,抛物线C的准线方程是y=2

C.直线1的方程是x-y+2=0

D.AMON的面积是872

7.［2021江西红色七校第一次联考］已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一动点，点A(l,1),当4PAF的周长

最小时,PF所在直线的斜率为.

8.［2020湖北部分重点中学高三测试］已知点A(0,1),抛物线C:yJax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于

点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|：|MN|=1：2,则实数a的值为.

9.［2021陕西省部分学校摸底检测］已知椭圆E：4+y-l(a>l)的离心率为卓,右顶点为P(a,0),P是抛物线

C:y2=2px(p>0)的焦点.

⑴求抛物线C的标准方程；

⑵若C上存在两动点A,B(A,B在x轴两侧)，满足瓦？•丽=20(0为坐标原点)，且APAB的周长为21ABi+4,求|AB|.

10.[2020广东模拟]已知抛物线C:yJ2px(p〉0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x=T上的点,且FP1FQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说

明理由.

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11.[2021八省市新高考适应性考试]已知抛物线y2=2px上三点A⑵2),B,C,直线AB,AC是圆&-2y+/=1的两条切

线,则直线BC的方程为()

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

12.[2021山东青岛模拟]如图9-5-1,抛物线E:xMy与圆M:x2+(y-l)2=16交于A,B两点，点P为劣弧AB上不同于

A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则△PMN的周长的取值范围是()

A.(6,12)B.(8,10)

C.(6,10)D.(8,12)

图9-5-1

13.[2021长春市第一次质量监测]已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线1与抛物线交于A,B两点(点A在第

一象限)，且荏=4而,则直线1的倾斜角为()

B.=C.=D.g

14.[2021洛阳市统考]已知抛物线C:xMy的焦点为F,过F且倾斜角为翼直线1与抛物线C交于A,B两点，点D为

抛物线C上的动点,且点D在1的右下方,则4DAB面积的最大值为()

A.1672B.12V2C.8V2D.6^2

15.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点，直线1:y=kx+2与T相交于A,B两点.

⑴若k=l,求|FA|+|FB|的值;

⑵点C(-3,-2),若NCFA=NCFB,求直线1的方程.

16.［2020合肥市调研检测］已知抛物线E:y?=2px(p>2)的焦点为F,准线1与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,

过P作PNL1,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.

(1)求P的值；

⑵过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为kbk2,求L+k/的值.

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17.［新角度题］已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P满足9=入市(0为坐标原点)，若过点0作互相垂直的两弦

0A,0B,则当弦AB恒过点P时，人的所有可能取值的集合为()

A.{4}B.{3}C.{；,4,3}D.{；,3,4)

43

18.［多选题］已知0为坐标原点,抛物线C:y、2px上一点A到焦点F的距离为4,若点M为抛物线C准线上的动点，

以下说法正确的是()

A.当△MAF为正三角形时,p的值为2

B.存在点M,使得就-标=0

C.若拓?=3前则p=3

D.若|OM|+1MA|的最小值为2V13,则p=4或12

19.［2020烟台市诊断性测试］［递进型］已知F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，点A(l,p),M为抛物线上任意一

点，|MA|+|MF|的最小值为3,则抛物线方程为,若线段AF的垂直平分线交抛物线于P,Q两点,则四边形

APFQ的面积为.

答案

第五讲抛物线

@1夯基础•考点练透

1.C设点P的坐标为勺n：m),易知圆(x-6)2+y2=l的圆心为A(6,0),所以PAr=(扣沁)'十皿4(m2-16)2+20^20,所

以|PA|N2遥.因为点Q是圆(x-6)2+y2=l上任意一点,所以IPQI的最小值为2b-1.故选C.

2.C解法一依题意，设直线AB的方程为y^x+m,

联立直线AB与抛物线的方程得V--x+m>消去y并整理得x2+(2V3m-6p)x+3m2=0,△>0.

y2=2px,

设A(xi,y),B(x2,y2),则Xi+x2=6p-2V3m,yi+y2=y(x,+x2)+2m=2V3p,

所以江沪6p=2/,解得p=2.故选C.

解法二设A(xi,yi),B(x2,y2),由题意得yi+y2=4V3,且左*=tan由区一:P"i，得(yi+y?)(y「y2)=2p(x「X2),

由题意知XiWxz,所以3+yJ•g=2p,所以4百X容=2p,解得p=2.故选C.

Xx-x23

3.B因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(l,0),所以片1,解得p=2,所以抛物线的方程为yMx.设

A(xi,yl),B(x2,yj,则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x*=Xi+l,|BFkx2+^=x2+l,则

|AB|W|AF|+1BF|=X,+X2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B.

2

4.C设A(x.,y.J,B(XB,yB),由题意知F(l,0),所以占1,p=2,所以抛物线的方程为y=4x.过F且倾斜角为60°的直

线的方程为y=V5(xT),代入抛物线方程,得3x-10x+3=0,解得XA=3,XB=1.

J（3-1）Z+12

解法一易得该=12，据力，所以\AF\_=3,故选C.

|BF|TFT

解法二由抛物线的定义,得IAFi=x,、+94,|BFFXB+H所以图匚3,故选C.

223BF

5.B依题意知，|AB|=3=|AFUAC|=J|2B2+\BC?=6,所以点F是线段AC的中点，则p=：AB|=|,于是抛物线的

方程为y=3x.故选B.

6.AD设M(x,,y),N0,yz),根据抛物线的定义可知|MN|=-(X,+X2)+P=16.又MN的中点到y轴的距离是6,所以-

岩=6,即Xi+X2=T2,则p=4,所以抛物线C的方程是y2=-8x,故A正确.由p=4知抛物线C的准线方程为x=2,故B

2

错误.抛物线C的焦点为F(-2,0),设直线1的方程是x=my-2,与抛物线方程联立,消元得y+8my-16=0,则

22

△=64m+64>0,yi+y2=-8m,yiy2=-16,所以xi+x2=-8m-4=-12,解得m=±l,所以直线1的方程是x-y+2=0或x+y+2=0,故

2

C错误.SAMON=1X：OF|X|y-y2鸟X2xJ(%+y2)~4y1y2=8y/2,故D正确.故选AD.

7.T由题意可知抛物线的焦点为F(l,0),准线为x=T,因为A(l,1),所以IAF|=1,APAF的周长

1=|PA|+1PF|+1AF|.过点P作准线x=-l的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|,则当A,P,M三点共线

时，|PA|+|PM!最小，此时P点的纵坐标为1,代入抛物线的方程可得P点的横坐标为;,所以直线PF的斜率为

4~3

4

8解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为(?,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义

34

知|MF|=|MK|.因为|FM|:|MN|=1：2,所以|KN|：IKM=遮：1,又k“¥=-±,k十需=-遮,所以士-低解得

—0aKMIa

4

473

a---.

3

解法二设M区,y.)，因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F00),准线方程为x=4所以直线AF的方程为

44

4x+ay-a=0,所以N(-：,2).因为|FM|:|MN|=1：2,所以|FM|=||FN|,所以x.*,y"=|.因为点M(xv,y”)在抛物线上，所

以g吟,解得a=~Y"-

9.⑴因为椭圆E:m+y2=l的离心率为£所以号《，

解得a2=4,所以a=2,所以色2,所以p=4,

从而抛物线C的标准方程为y2=8x.

(2)由题意知直线AB的斜率不为零,设直线AB:x=my+n(nW2),

代入y2=8x得y2-8my-8n=0,A=64m2+32n>0.

设A(xi,yi),B(X2,y2),其中yiy2<0,

所以yi+y2=8m,yi•y2=-8n,则n>0且nW2.

因为瓦5•OB=20,

所以耐•OB=xix2+yiyiy2=20,

64

即n。-8n=20,所以(nT0)(n+2)=0,故n=l0或n=-2(舍去)，

则直线AB:x=my+10.

因为APAB的周长为21ABi+4,所以|PA|+|PB|+|AB|=2|AB|+4,

即|PA|+|PB|=|AB|+4,

因为IPA|+1PB|=xi+x2+4=m(yi+y?)+24=8m'+24,

IAB|-y/l+m2\y「y21=yjl+m2,J(8m)2+320,

所以8m2+20=7(1+m2)(64m2+320),解得m=±y,

所以IAB|=J(1+徵2)(64m2+320)=30.

10.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x=-1,

所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+片3,解得p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

⑵直线PQ与抛物线C只有一个交点.

理由如下：

设P(.yo).yo^O,Q(-l,m).

由(1)得焦点F(1,0),

则方=4-1,%)，而=(-2,m),由题意可得而•FQ=0,

故-2(¥-l)+myo=0,从而m萼二.

42yo

故直线PQ的方程为y-y。*(x-学)，得X2竽-亭①.

Jo424

又抛物线C的方程为y'4x②，

所以由①②得(y-y0)2=0,故y=y。,x=§.

故直线PQ与抛物线C只有一个交点.

回I提能力•考法实战

22

11.B设Bh(g,b),Cr(y,c),则直线BC的方程为2x-(b+c)y+bc=0,直线AC的方程为2x-(2+c)y+2c=0,直线AB的方程

为2x-(2+b)y+2b=0.因为直线AC与圆相切，所以tM-=1,化简得3c2+12c+8=0.同理,3b2+12b+8=0,则b,c是方程

j4+(2+c)2

3t2+12t+8=0的两根,b+c=-4,be#所以直线BC的方程为2x+4y+1=0,即3x+6y+4=0.

12.B由题意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点，故

|NM|等于点N到准线y=-l的距离,又PN〃y轴,设NP与抛物线的准线y=-l交于点II,由抛物线定义可

得，|MN|=|NH!,故△PMN的周长l=iPM|+|PN|+|NHi=iPH|+4,由得y=3,又点P为劣弧AB上不同

(%2+(y-1)=16,

于A,B的一个动点,所以|PH的取值范围是(4,6),所以△PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.

13.C解法一由题意知,抛物线的焦点为F(p0).设A(xi,yi),B(x2,y2)(yi>0,y2<0),则而=(X2-Xi,y2-yi),FB=(x2-

*y2).因为荏=4丽所以=4(&个，艮吧=2炉2,①.又仅="②,由①②解得,=噌

2(y2-yi=4y2，(yi=-3y2M=2Pxz(y2=-yp.

所以直线1的斜率k-yiyz-2p=V3,所以直线1的倾斜角为事故选C.

%1一必、1+、23

解法二设抛物线的准线为直线1',如图D9-5-2,过点A,B分别作AMU',BN±1',垂足分别为M,N,过点B作

BCLAM于C,则由抛物线的定义，知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因为荏=4或，所以lAFl^lAB」IFB|=；|AB|,所以

44

|AC|=|AMHBN|=|AF|FB|』|AB|,所以在RtAABC中，/ABC』,ZBAC=-.因为AM〃x轴，所以NAFx=NBACj所以

2633

直线1的倾斜角为半故选C.

14.A因为直线1的倾斜角为:，所以直线1的斜率k=tan》l.由题意知抛物线的焦点为F(0,2),所以直线1的方程

%+2

为y=x+2.设A(xi,y,),B(X2,y2),由，tQ?,消去x,得y-12y+4=0,所以y1+y2=12.由抛物线的定义，得

|AB|=yi+y2+p=12+4=16.设与直线1平行的直线方程为y=x+m,代入抛物线的方程可得J-(2m+8)y+n^O,当直线y=x+m

与抛物线相切且D为切点时,D到直线1的距离最大,即ADAB的面积最大.所以A=(2m+8)-4m2=0,解得m=-2,此时

直线1与直线y=x+m的距离d—^=2位,所以aDAB面积的最大值为:X16X2夜=16夜,故选A.

V22

15.由己知可得可0,1),设A(X1,%,B(X2，M)，

44

由"丁2,得44kx-8=0,

=4y,

所以xi+x2=4k,XIX2=-8.

(1)IFAI+1FBI=四+1+磅+1=—直卫1至+2=41+6.

444

当k=l时，|FA|+|FB|=10.

(2)由题意可知,FA=(xi,M-D，或=(xz,学T),FC=(-3,-3).

44

由ZCFA=ZCFB得cos伉FC>=cos<FB,FC>,即［胃=惠笔,

又|FA|旦+1,FBl=^+l,

44

x2迄

所以华孚2=2字2,化简并整理得4+2(XI+XJ-XIX2=0,即4+8k+8=0,

3^2(^-+1)3遮(？+1)

44

解得k=g

所以直线1的方程为3x+2y-4=0.

16.⑴•.•点P(xo,4)在抛物线上，.^.16=2px。①.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x。+9=16,即xo+p=6②.

由①②可解得p=4或p=2.

•.♦p〉2,・・・p二4.

22

⑵设A(xi,yi),B(X2,y2),直线AB的方程为x=my-2,代入抛物线方程得y=8(my-2),得y-8my+16=0.

由涓媪高纷。得,m2”,且片:亭;所,

•ki+匕-九十九一%-2771,13/2-4(%+冉)-0

~工「(工/(打气)*

2X2-2(XJ-2)(X2-2)2)

17.A解法一由亦=入方，得0,P,F三点共线,所以点P在x轴上.

设直线AB的方程为x=my+a(a#:0),

联立直线AB和抛物线的方程得'2=7*消去x并整理,得y2-2pmy-2pa=0,A=4p2m2+8pa>0.

(y=2px,

2

设A(xi,yi),B(X2,y2),则y»2=-2pa,xix2=^X^=a.

因为0A±0B,所以而,OB=0,则XiX2+yiy2=0,即a2-2pa=0,

解得a=2p或a=0(舍去)，则直线AB的方程为x=my+2p,

可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2p,0).

则据(2p,0),OF=g,0),由据人证得X=4.故选A.

解法二由前=人标，得0,P,F三点共线,所以点P在x轴上.

由题意知,两弦0A,0B互相垂直，

根据抛物线的两垂直弦的性质(抛物线y=2px(p>0)中,若过坐标原点0作互相垂直的两弦0A,0B,则直线AB恒过定

点(2p,0).)

可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2p,0).

则砧(2p,0),OF=§0),由砧人两得X=4.故选A.

18.AC对于A,当AMAF为正三角形时，|AF|=|AM|=|MF|=4,如图D9-5-3所示，设抛物线C的准线交x轴于点N,则

由抛物线的定义知AM与准线垂直，在正三角形MAF中，NAMF=60°,所以NFMN=30°,所以|NF|=||MF|,而|NF|=p,所

以IMF|=2,故A正确;对于B,假设存在点M,使得前了-证=0,即罚=祈2则点A,F重合，与已知条件矛盾,所以B

不正确;对于C,若而=3万，则IMF|