2024-2025学年山东省青岛第二中学分校高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省青岛第二中学分校高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3+i1−i，i为虚数单位，则复数zA.2i B.−2i C.2 2.已知直线m,n为异面直线，α,β为不重合的两个平面，则(

)A.若m//α，m//β，则α//β B.若m//α，n//α，则m//n

C.若m3.已知向量a、b满足a=1，b=23，b⋅2a+A.π6 B.π3 C.2π4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°,∠OAB=45°,AB=45m，在点B处测得塔顶T的仰角为A.15m B.152m C.155.已知e1，e2是平面内的一组基底，OA=4e1+3e2，OB=2e1+ke2A.9 B.13 C.15 D.186.已知圆锥SO的轴截面是三角形SAB，如图，▵S′A′B′是水平放置的三角形SAB的直观图，若S′O′平行于y′A.25π B.17π 7.在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=3,PA,PB,PC两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为A.3π2 B.9π2 C.8.在直角梯形ABCD中，已知AB//CD,∠DAB=90°,AB=2AD=2CD=2，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．则A.−116,12 B.0,1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a2−1+(a+1)iA.若z为纯虚数，则a=±1

B.若a=0，则z=−1−i

C.若a=0，则|z10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>A.f(x)的最小正周期为π

B.f(x)的图像可由y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到

C.f(x)的对称轴为x=5π12+k11.如图，在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中，点PA.在点P运动过程中，直线A1P与BC1始终为异面直线

B.三棱锥D−BPC1的体积为定值

C.异面直线C1P与直线CB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.22cos1513.已知向量a=(1,2)，b=(1,x)，若，则x=

．14.已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若▵ABC为锐角三角形，B=π3，且b=3，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知2−i是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n(1)求m+2n的值；(2)记复数z=m+ni，求复数z1+16.(本小题15分)如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1(1)求证：；(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面平面BCHG17.(本小题15分)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1)求B的大小；(2)若c=3,a+b=2，求18.(本小题17分)已知向量m=(1,1)，向量n与向量m的夹角为3π4(1)求向量n的坐标；(2)设向量a=(1,0)，向量b=cosx,cos2π419.(本小题17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当▵ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当▵ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知▵ABC的内角A，B，C(1)求角A；(2)若bc=6，设点P为▵ABC的费马点，求PA(3)设点P为▵ABC的费马点，|PB|+|PC|=参考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.C

6.B

7.B

8.A

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.313.2

14.3+15.(1)因为2−i是关于x的方程x所以这个方程的另一个根是2+i由韦达定理可知：2+i+2−i=−m2+(2)由(1)可得z=m+ni=−所以z1+所以z1+

16.(1)在三棱柱ABC−A平面A1B1C1//平面ABC，平面BCHG∩故(2)∵在三棱柱ABC−E，F，G分别是AB，AC，A1A1∴四边形BGA1E∵BG⊂平面A1EF，∴BG//平面又EF//BC，BC⊂平面A1EF∴BC//平面BG∩BC=B，BG,BC∴平面EFA1//

17.(1)因为bcos由正弦定理可得sinB又sinC=所以3因为A∈(0,π)，则sinA因为B∈(0,π)，所以(2)因为B=π6，由余弦定理可得cosB=a2又a+b=2，解得a=b=1，所以S▵

18.(1)令n=(x,y)，则即x+y=−1x2+y2(2)(2)∵a=(1,0)，n⋅a=0，∴因为x∈0,π2，所以则y=−3t所以当t=0时，取到最大值5，当t=1时，取到最小值0，所以0≤

19.(1)由cos2B+cos2C−故sin2由正弦定理可得a2=b2+(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于则由费马点定义可知：∠APB设PA=x,由S▵APB+整理得xy+yz+xz=4则PA⋅ (3)如图，点P为▵ABC的费马点，则∠设|PB|=m|PA|,|PC|=n