广东省六校2025届高三下学期5月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省六校2025届高三下学期5月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|0≤x≤3}，则A∪B=A.[0,2] B.[0,2) C.[0,3] D.(−2,3]2.已知z=21+i，其中i为虚数单位，则z⋅(z−1)=A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.双曲线x2a2−y212=1(a>0)两个焦点F1，F2，焦距为A.1 B.1或9 C.9 D.34.数列an的通项公式为an=n2+kn，则“k≥−2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件5.已知向量a=(2,−2)，向量b在a上的投影向量c=(−1,1)，则a⋅A.−4 B.−2 C.0 D.26.已知函数fx的定义域为R，函数Fx=f1+x−1+xA.函数fx的一个对称中心为2,1 B.f0=−1

C.函数fx为周期函数，且一个周期为7.已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x−1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.(−∞,−e)∪(2,+∞)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(−∞,−3)∪(1,+∞)8.如图，ABC−A′B′C′为直三棱柱，用一个平行于底面ABC的平面α截此三棱柱，记下列三个三棱锥A′−ABC，A′−BCB′，A′−B′C′C在平面α上方的部位体积为V1，V2，V3，并记三个三棱锥被平面α截得的面积分别为S1，S2，S3A.13 B.12 C.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(

)

A.a的值为0.015

B.估计这40名学生数学考试成绩的众数为75

C.估计总体中成绩落在[80,90)内的学生人数为105

D.估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为8710.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m,n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1,yA.点A(x1,y1)关于x轴的对称点在直线l2上

B.若n=2，PB平分∠ABN，则m=5

C.若n=2，则抛物线上不存在点Q，使得QA⊥QB

D.11.设有限集合U={a1,a2,a3,⋯,am}，其中m≥4，m∈A.若集合U={−1,2,5,k}是“可拆等和集”，则k的取值共有6个

B.若集合U中元素满足a1=1，a2=2，∀n∈N∗，an+2=an+1+an，则存在m使得U是“可拆等和集”

C.存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{an}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆x2+y2−4x+4y+4=0与圆x13.已知1tanα=1sinα14.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，⋯，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，⋯，n，n∈N∗)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(x)=(1)若f(x)在[0,π3]上单调递增，求(2)若c=1，f(C)=−1，求a+b的最大值．16.(本小题15分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AD，PC⊥CB，AB/​/CD，AD=DC=CB=1，AB=PD=2．

(1)证明：二面角P−AD−C为π(2)求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值．17.(本小题15分)

设函数f(x)=ax2−a−ln x，其中a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1x−18.(本小题17分)已知某盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球，3个黑球，每轮从盒子中随机取出1个小球，放回盒子中．(1)若有放回地连续抽取5轮，求5轮取出的白球总数的数学期望;(2)若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中．(Ⅰ)求在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球的概率;(Ⅱ)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率．19.(本小题17分)设M是由直线构成的集合，对于曲线C，若C上任意一点处的切线均在M中，且M中的任意一条直线都是C上某点处的切线，则称C为M的包络曲线．(1)圆C1:x2+(y−3)2=4(2)已知M2的包络曲线为C2:x22+y2=1，设直线l1，l2∈M2且l(Ⅰ)若两切线l1，l2的斜率之积为1，求点P(Ⅱ)已知P为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量PA=(x,y)，点A绕着点P逆时针旋转θ角后得到点B，则PB=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换.平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲线为“反比例曲线”.若(Ⅰ)中的曲线Γ是“反比例曲线”，过原点O0的直线kx−y=0(0<k<1)与曲线Γ交于点A1，将O0A1绕点A1旋转至能在曲线Γ的渐近线上找到点O1，点O1满足|O0A1|=|O1A1|，以此类推，过点On−1参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ABD

12.213.−414.{a|a≤−1}

15.解：(1)f(x)=当x∈0,π3时，2cx−π所以2cπ3−π可得c的取值范围为(0,1]．(2)c=1，0<C<π，C是三角形内角，−π6<2C−π由余弦定理：c2即1=a2+b2−2abcos2π3=a2+b2

16.(1)证明：在梯形ABCD中，取AB中点M，连接CM，

∵AD=DC=CB=1，AB=PD=2，

∴DC=AM，又DC//AM，

∴四边形AMCD为平行四边形，

∴CM=AD=1，CM=12AB=1，

∴△ABC为直角三角形，AC⊥CB，

又PC⊥CB，PC∩AC=C，

PC，AC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，

∴CB⊥PA，

又∵PA⊥AD，且AD必与BC相交，BC，AD⊂平面ABCD，

∴PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，∴二面角P−AD−C为π2．

(2)解：过C作Cz//AP，由(1)知，PA⊥平面ABCD，所以Cz⊥平面ABCD，则CA，CB，Cz两两垂直，从而可建立以C为原点的空间直角坐标系C−xyz如图，

由题意，P(3,0,3)，A(3,0,0)，B(0,1,0)，D(32,−12,0)，

则AB=(−3,1,0)，AP=(0,0,3)，CD=(32,−12,0)，CP=(3,0,3)，

设n1=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量，

则17.解：(1)由题意，f′(x)=2ax−1x=2ax2−1x，x>0，

①当a≤0时，2ax2−1<0，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减．

②当a>0时，f′(x)=2a(x+12a)(x−12a)x，

当x∈(0,12a)时，f′(x)<0，

当x∈(12a,+∞)时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增．

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增．

(2)原不等式等价于f(x)−1x+e1−x>0在x∈(1,+∞)上恒成立，

令g(x)=f(x)−1x+e1−x=ax2−lnx−1x+e1−x−a，

只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可，

又∵g(1)=0，故g′(x)在x=1处必大于等于0；

g′(x)=2ax−1x+18.解：(1)由题意，每轮取出的白球概率为25，

5轮取出的白球总数X∽B(5,25)，

则E(X)=5×25=2．

(2)记Ai=“第i轮取出白球，Bi=“第i轮取出黑球”(i∈N∗)，

(Ⅰ)记C=“在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球”，

则P(C)=P(A2B3B4A5∪B2A3B4A5∪B2B3A4A5|B1)

=25×34×34×14+19.解：(1)由题可得，直线族mx+ny=1(m,n∈R)为圆C1的切线，

故圆心C1(0,3)到mx+ny=1的距离d=|m⋅0+n⋅3−1|m2+n2=2，

所以m，n满足5n2−4m2−6n+1=0．

(2)(I)设点P(x0,y0)，设过点P(x0,y0)的切线方程为y−y0=k(x−x0)，即y=kx+(y0−kx0)，

联立x2+2y2=2y=kx+(y0−kx0)得(