中考数学《重难点解读专项训练》专题13最值模型：瓜豆原理-主从动点问题(专项训练)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练》(原卷版+解析)

/专题13最值模型；瓜豆原理-主从动点问题（专项训练）1．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是．5．如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．6．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．7．如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．8．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为．9．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为．10．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为．12．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．13．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为．14．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．14．已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是cm．15．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为．16．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．17．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．18．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为．19．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．/专题13最值模型；瓜豆原理-主从动点问题（专项训练）1．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【答案】【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝．∴CE＝，故答案为：．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为．【答案】【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，∴∠PBQ＝∠DBC，∴△PBQ∽△DBC，∴，∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，可得AK⊥BC，∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，∴BK＝3，∠QBK＝30°，∴QK＝＝，∵tan∠ACB＝＝，KC＝3，∴AK＝＝，∴AQ＝AK﹣QK＝，AC＝＝，∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，∴△AQP'∽△ACK，∴，∴，∴QP'＝，∴CD＝＝．3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为．【答案】【解答】解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，∵BC＝5，CD＝2，∴BD＝3，∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，∴DN＝BN＝，DB＝DH，∠HDB＝60°，∴CN＝，∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠EDF＝∠HDB，∴∠EDH＝∠FDB，在△DHE和△DBF中，，∴△DHE≌△DBF（SAS），∴EH＝BF，∴当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，∴四边形CNHE是矩形，∴HE＝CN＝，故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是．【答案】2【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝DO，∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴△DAO是等边三角形，∴DA＝DO，∠ADO＝60°，∵△DFE是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，∴∠ADF＝∠ODE，又AD＝DO，DF＝DE，∴△ADF≌△ODE（SAS），∴OE＝AF，∠DOE＝∠DAO，∴点E在射线OE上运动，且OE＝AF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，∴点E的运动路程是AO，在Rt△ADB中，设AD＝x，则BD＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62，解得x＝2（负值舍去），∴AD＝AO＝2，即点E的运动路程为2，故答案为：2．5．如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】2【解答】解：∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值为．故答案为．6．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，过点C作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，过点E作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2.5+＝，故答案为：．7．如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥⊥AB于M，又∵∠ABC＝90°，∴四边形MHNB是矩形，∴MH＝BN，∵BE＝1.5，∴EC＝，∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，∴EC＝EH＝，EN＝NC＝，∠HEC＝60°，∴BN＝＝MH，∵△FGE是等边三角形，∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，∴∠FEH＝∠GEC，在△FEH和△GEC中，，∴△FEH≌△GEC（SAS），∴FH＝GC，∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，∴点F与点M重合时，FH＝HM＝，故答案为．8．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为．【答案】6【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），∴AB＝，∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，∴，P为主动点，M为从动点，C为定点，由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，∴点M运动的路径长为÷＝6，故答案为：6．9．如图，∠AOB＝30°，OD＝4，当点C在OA上运动时，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，则O，E两点间距离的最小值为．【答案】2+2【解答】解：∵∠AOB＝30°，OD＝4，点C在OA上运动时，CD＝DE，CD⊥DE，∴C为主动点，E为从动点，D为定点，由“瓜豆原理”，C在OA上运动，则E在垂直OA的直线上运动，当DC⊥OA时，如答图：过E作EM⊥OA于M，交OB于N，则直线MN即为E的运动轨迹，OM的长为O，E两点间距离的最小值，∵∠AOB＝30°，OD＝4，DC⊥OA，∴CD＝2，∵CD＝DE，∴DE＝2，∵∠OCD＝∠CDE＝90°，∴DE∥OA，而EM⊥OA，∴∠DEN＝90°，∠EDN＝30°，∴在△DEN中可得DN＝，∴ON＝4+，△OMN中可得OM＝×（4+）＝2+2，故答案为：2+2．10．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【答案】【解答】解：如图1，过点G作GP⊥AB于点P，GQ⊥BC于点Q，连接BD，根据题意知，∠ABC＝90°，∠PGQ＝90°．∴∠PGF+∠FGQ＝∠QGE+∠FGQ＝90°．∴∠PGF＝∠QGE．又∵△EFG是等腰直角三角形，且∠FGE＝90°，∴GF＝GE．在△GPF与△GQE中，，∴△GPF≌△GQE（AAS）．∴GP＝GQ，∠GBP＝∠GBE＝∠ABC．∴点G在BD所在的直线上运动．∵F为AB边上的一个动点，如图2，当点F与点B重合时，点G的位置如图所示．当点F与点A重合时，记点G的位置为G″．∴点G的运动轨迹为线段GG″．过点C作CG′⊥BD于点G′．∴|CG|min＝CG′＝BD．∵正方形ABCD的边长为2，∴BD＝2．∴|CG|min＝．故答案是：．11．如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°，E是BC的中点，F是对角线AC上的动点，连接EF，将线段EF绕点F按逆时针旋转30°，G为点E对应点，连接CG，则CG的最小值为．【答案】【解答】解：如图取CD的中点K，连接FK，KG，EK，延长KG交BC于J，作CH⊥JK于H．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FCE＝∠FCK，CB＝CD，AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠DCB＝60°，∵BE＝EC，CK＝KD，∴CK＝CE，∴△ECK是等边三角形，∵CF＝CF，∠FCK＝∠FCE，CK＝CE，∴△FCK≌△FCE（SAS），∴FK＝FE，∵FG＝FE，∴FE＝FG＝FK，∴∠EKG＝∠EFG＝15°，∵∠CKE＝60°，∴∠CKJ＝45°，∴点G在直线KJ上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，CG的值最小，在Rt△CKH中，∵∠CKH＝45°，∠CHK＝90°，CK＝CD＝2，∴CH＝KH＝，∴CG的最小值为，故答案为．12．已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为．【答案】【解答】解：连接CF，∵等边△ABC，∴AB＝BC，∵线段BE绕点B顺时针旋转60°得到BF，∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），F点在直线CF上运动，∴CF＝AE，∠BCF＝30°，∴F点在直线CF上运动，当DF⊥CF时，DF最小，∵CD＝3，∴CF＝，∴AE＝，∵AD＝3，∴DE＝，故答案为．13．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为．【答案】【解答】解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE＝AD＝，连接QE、BE．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴，∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠QAE＝∠CAD，∵，，∴△ADC∽△AEQ，∴，∴，∵∠EAB＝90°，∴＝，当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为＝．故答案为：．14．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．【答案】2+1【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2，∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD≤OE+DE＝2+1，∴OD的最大值为2+1，故答案为．14．已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是cm．【答案】14【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝7cm，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝14cm．故答案为：14．15．如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝3：4：5，⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，若⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，则△ABC的周长为．【答案】30【解答】解：设⊙O沿着△ABC的内部边缘滚动一圈，如图所示，连接DE、EF、DF，设切点分别为G、H、P、Q、M、N，连接DH、DG、EP、EQ、FM、FN，得矩形DEPG、矩形EQNF、矩形DEMH，∴DE＝GP，EF＝QN，DF＝HM，根据切线长定理四边形CPEQ是正方形，∴PC＝PE＝EQ＝CQ＝1，∵⊙O的半径为1，且圆心O运动的路径长为18，∴DE+EF+DF＝18，∵DE∥AC，DF∥AB，EF∥BC，∴∠DEF＝∠ACB，∠DFE＝∠ABC，∴△DEF∽△ABC，∴DE：EF：DF＝AC：BC：AB＝3：4：5，设DE＝3k（k＞0），则EF＝4k，DF＝5k，∵DE+EF+DF＝18，∴3k+4k+5k＝18，解得k＝，∴DE＝3k＝，EF＝4k＝6，DF＝5k＝，根据切线长定理，设AG＝AH＝x，BN＝BM＝y，则AC＝AG+GP+CP＝x++1＝x+5.5，BC＝CQ+QN+BN＝1+6+y＝y+7，AB＝AH+HM+BM＝x++y＝x+y+7.5，∵AC：BC：AB＝3：4：5，∴（x+5.5）：（y+7）：（x+y+7.5）＝3：4：5，解得x＝2，y＝3，∴AC＝7.5，BC＝10，AB＝12.5，∴AC+BC+AB＝30．所以△ABC的周长为30．故答案为30．16．如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．17．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，，∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC＝AC＝4，当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；故答案为：4﹣2；（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：∵△APQ和△ACD是等边三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，，∴△ADQ≌△ACP（SAS），∴DQ＝CP＝2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，则CO'是梯形PMM'P'的中位线，∴CO'＝（2+6）＝4，连接MM'''，则∠MM'''M'＝90°，∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝MM'''＝4，∴O'M''＝2，∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；故答案为：4﹣2．18．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为．【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．∵OD⊥AC