浙教版八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题1.3二次根式的乘除(知识解读)(原卷版+解析)

/专题1.3二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数知识点4：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算：×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．【变式1-1】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝．【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（）A．16 B．±16 C．4 D．±4【变式1-3】（2022春•防城区期中）化简：＝．【变式1-3】计算：（1）×3（2）2×【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【变式2】（秋•新郑市校级月考）．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【变式3-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝．【变式3-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【变式3-3】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【考点4：最简二次根式】【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1 B． C． D．【变式4-1】（2022秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【变式4-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为．【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．【考点5：分母有理化】【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【变式5-1】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【变式5-2】（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：＝．【变式5-3】（2021春•饶平县校级期末）已知a＝，b＝，（1）求ab，a+b的值；（2）求的值．/专题1.3二次根式的乘除（知识解读）【学习目标】掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简。3.理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。【知识点梳理】知识点1：二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。知识点2：二次根式的乘法法则的逆用1.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）2.二次根式的乘法法则的逆用的推广知识点3：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数知识点4：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【典例分析】【考点1：二次根式乘法法则】【典例1】计算：×；（2）4×；（3）6×（﹣3）；（4）3×2．【答案】（1）4（2）4．（3）-72（4）30．【解答】解：（1）原式＝＝＝4．（2）原式＝4＝4．（3）原式＝6×（﹣3）×＝﹣18×4＝﹣72．（4）原式＝3×2×＝30．【变式1-1】（2022秋•嘉定区期中）化简：＝6．【答案】6【解答】解：原式＝＝＝6．故答案为：6．【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（）A．16 B．±16 C．4 D．±4【答案】C【解答】解：原式＝＝＝4．故选：C．【变式1-3】（2022春•防城区期中）化简：＝．【答案】2【解答】解：原式＝2×3＝6×＝2．故答案为：2．【变式1-3】计算：（1）×3（2）2×【答案】（1）（2）；【解答】（1）×3＝×2×3＝×3a＝；（2）2×＝×＝；【考点2：二次根式乘法法则的逆用】【典例2】计算：（1）．（2）．（3）．【答案】（1）66（2）20（3）【解答】解（1）＝×＝11×6＝66．（2）原式＝＝4×5＝20．（3）原式＝×＝×＝．【变式2】（秋•新郑市校级月考）．【解答】解：原式＝＝×＝8×9＝72．【考点3：二次根式除法运算】【典例3】计算：（1）；（2）4÷2．（3）（4）．【答案】（1）5（2）（3）（4）6a．【解答】（1）＝＝＝5；（2）4÷2＝＝2＝．（3）原式＝＝（4）原式＝2××2＝＝6a．【变式3-1】（2021秋•徐汇区校级月考）计算：÷＝．【答案】2【解答】解：原式＝，【变式3-2】（2021秋•宝山区校级月考）计算：÷＝．【答案】3【解答】解：÷＝＝＝3．故答案为：3．故答案为：2．【变式3-3】计算：（1）÷（2）÷（3）（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解答】（1）原式＝×＝＝；÷＝2×＝；＝；（4）＝＝．【考点4：最简二次根式】【典例4】（2022秋•平阴县期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：A、1不是二次根式，故A不符合题意；B、是最简二次根式，故B符合题意；C、＝2，故C不符合题意；D、＝，故D不符合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•兰考县月考）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式，故本选项符合题意D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式4-2】（2021春•饶平县校级期末）将二次根式化为最简二次根式为．【答案】．【解答】解：＝＝＝，故答案为：．【变式4-3】下列二次根式化为最简二次根式：（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．【解答】解：（1）＝＝×＝3，故答案为：3；（2）＝＝，故答案为：；（3）＝＝＝，故答案为：；（4）＝＝＝，故答案为：【考点5：分母有理化】【典例5】（2021秋•永丰县期末）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）＝＝；（二）＝＝＝﹣1；（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简：①参照（二）式化简＝．②参照（三）式化简＝．（2）化简：+++…+．【解答】解：（1）①＝＝﹣；②＝＝＝﹣；（2）原式＝+++…+＝＝．故答案为：（1）①﹣；②﹣【变式5-1】（2022秋•长宁区校级期中）分母有理化：＝．【答案】﹣3﹣【解答】解：原式＝