2024-2025学年高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式练习含解析新人教A版必修5

PAGE1-第13课时等比数列的概念及通项公式学问点一等比数列的定义1．数列m，m，m，…肯定()A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不肯定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列答案C解析当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．2．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1时，logax，logbx，logcx()A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案C解析eq\f(1,logax)＋eq\f(1,logcx)＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb2＝2logxb＝eq\f(2,logbx)，∴eq\f(1,logax)，eq\f(1,logbx)，eq\f(1,logcx)成等差数列．学问点二等比数列的通项公式3．一批设备价值a万元，由于运用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为()A．na(1－b%)B．a(1－nb%)C．a(1－b%)nD．a[1－(b%)n]答案C解析依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，其次年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n．故选C．4．在等比数列{an}中，an＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81答案B解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝1，,a3＋a4＝9.))∴q2(a1＋a2)＝9，∴q2＝9．∵an＞0，∴q＝3．∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27．学问点三等比数列的证明5．已知数列{an}的首项a1＝t>0，an＋1＝eq\f(3an,2an＋1)，n∈N*，若t＝eq\f(3,5)，求证eq\f(1,an)－1是等比数列并求出{an}的通项公式．解由题意知an>0，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2an＋1,3an)，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,3an)＋eq\f(2,3)，eq\f(1,an＋1)－1＝eq\f(1,3)eq\f(1,an)－1，eq\f(1,a1)－1＝eq\f(2,3)，所以数列eq\f(1,an)－1是首项为eq\f(2,3)，公比为eq\f(1,3)的等比数列．eq\f(1,an)－1＝eq\f(2,3)eq\f(1,3)n－1＝eq\f(2,3n)，an＝eq\f(3n,3n＋2)．学问点四等比中项及应用6．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13eq\f(1,2)是此数列的第________项()A．2B．4C．6D．8答案B解析由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相冲突．∴x＝－4．∴该数列是首项为－4，公比为eq\f(3,2)的等比数列，其通项an＝－4×eq\f(3,2)n－1，由－4×eq\f(3,2)n－1＝－13eq\f(1,2)，得n＝4．7．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是()A．1B．－1C．－3D．－4答案D解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a2＝bc，,a＋3b＋c＝10，))解得a＝－4，b＝2，c＝8．8．在等比数列{an}中，若a4a5a6＝27，则a3与a7的等比中项是________．答案±3解析由等比中项的定义知aeq\o\al(2,5)＝a4a6，∴aeq\o\al(3,5)＝27．∴a5＝3，∴a1q4＝3，∴a3a7＝aeq\o\al(2,1)q8＝32，因此a3与a7的等比中项是±3．易错点一忽视对等比中项符号的探讨9．若1，x，y，z，16这五个数成等比数列，则y的值为()A．4B．－4C．±4D．2易错分析对于本题的求解，若仅留意到y是1与16的等比中项，会很快得出y2＝16，进一步得出y＝±4，从而导致错解．答案A解析由于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1·y，,y2＝1×16))⇒y＝4，故选A．易错点二忽视等比数列中公比可正可负10．已知一个等比数列的前4项之积为eq\f(1,16)，第2项与第3项的和为eq\r(2)，则这个等比数列的公比为________．易错分析本题易错设四个数分别为eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3公比为q2相当于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算出公比为3±2eq\r(2)．答案3±2eq\r(2)或－5±2eq\r(6)解析设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·aq·aq2·aq3＝\f(1,16)，,aq＋aq2＝\r(2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2q3＝±\f(1,4)，,a2q＋q22＝2.))所以eq\f(a2q3,a2q＋q22)＝±eq\f(1,8)，整理得q2－6q＋1＝0或q2＋10q＋1＝0，解得q＝3±2eq\r(2)或q＝－5±2eq\r(6)．一、选择题1．若等比数列{an}满意anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16答案B解析由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4．∵a1a2＝aeq\o\al(2,1)q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4．2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为()A．7B．8C．9D．16答案B解析∵点(an，an＋1)在直线y＝2x上，∴an＋1＝2an．∵a1＝1≠0，∴an≠0．∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a4＝1×23＝8．3．已知等比数列a1，a2，…a8各项为正，且公比q≠1，则()A．a1＋a8＝a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小关系不能确定答案C解析由题意可知，a1＞0，q＞0，a1＋a8－a4－a5＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[1－q3－q4(1－q3)]＝a1[(1－q3)(1－q4)]＞0．∴a1＋a8＞a4＋a5．故选C．4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A．eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(1,2)答案A解析设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25．∴这三个数分别为45，75，125，公比q为eq\f(75,45)＝eq\f(5,3)．5．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()A．1B．2C．3D．eq\f(9,8)答案D解析按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,8)，c＝eq\f(1,4)，则a＋b＋c＝eq\f(9,8)．故选D．二、填空题6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案eq\f(\r(5)－1,2)解析设该直角三角形的三边分别为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝eq\f(\r(5)＋1,2)．较小锐角记为θ，则sinθ＝eq\f(1,q2)＝eq\f(\r(5)－1,2)．7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金eq\f(1,2)，第2关收税金eq\f(1,3)，第3关收税金eq\f(1,4)，第4关收税金eq\f(1,5)，第5关收税金eq\f(1,6)，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为________．答案eq\f(1,72)x解析第1关收税金：eq\f(1,2)x；第2关收税金：eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))x＝eq\f(1,2×3)x；第3关收税金：eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,6)))x＝eq\f(1,3×4)x；…，可得第8关收税金：eq\f(1,8×9)x，即eq\f(1,72)x．8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1．当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________．答案2n－1解析设等比数列的公比为q(q＞0)，由a2－a1＝1，得a1(q－1)＝1，所以a1＝eq\f(1,q－1)．a3＝a1q2＝eq\f(q2,q－1)＝eq\f(1,－\f(1,q2)＋\f(1,q))(q＞0)，而－eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，①当q＝2时①式有最大值eq\f(1,4)，所以当q＝2时a3有最小值4．此时a1＝eq\f(1,q－1)＝eq\f(1,2－1)＝1．所以数列{an}的通项公式an＝2n－1．故答案为2n－1．三、解答题9．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．解(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n．(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，设{bn}的公差为d，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＋2d＝8，,b1＋4d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1＝－16，,d＝12.))从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，∴数列{bn}的前n项和Sn＝eq\f(n－16＋12n－28,2)＝6n2－22n．10．数列{an}满意a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求an．解(1)a2＝3a1－2×2