2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2.1第2课时排列的综合应用习题课学案新人教A版选修2-3

PAGEPAGE1第2课时排列的综合应用(习题课)1.驾驭几种有限制条件的排列问题．2.能应用排列与排列数公式解决简洁的实际应用问题．探究点1无限制条件的排列问题(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【解】(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，随意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．[变条件]若将本例(2)中的“有5本不同的书”改为“有5种不同的书”，则有多少种不同的送法？解：由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．eq\a\vs4\al()求解有关排列的实际应用问题的步骤第一步，正确地理解题意，这也是最关键的一步；其次步，在第一步的基础上，看能否把问题归结为排列问题，即问题中是否要求依次，也即看当选出的元素位置发生改变时，结果是否一样；第三步，假如是排列问题，要擅长把题目中的文字语言翻译成排列的相关用语；第四步，依据排列的学问、方法求出排列的方法种数．1.把3张不同场次的电影票分给10人中的3人，分发种数为()A．2160种 B．240种C．720种 D．120种解析：选C.有Aeq\o\al(3,10)＝720种不同的分法．2．从100个两两互质的数中取出两个，其商的个数为________．解析：从100个两两互质的数中取出两个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为Aeq\o\al(2,100).答案：Aeq\o\al(2,100)(或9900)探究点2元素“相邻”与“不相邻”问题3名男生、4名女生依据不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必需站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．【解】(1)男生必需站在一起是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法；女生必需站在一起是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有Aeq\o\al(3,3)种方法，把全部男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有Aeq\o\al(5,5)种排法．故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720种排队方法．(3)先支配女生，共有Aeq\o\al(4,4)种排法；男生在4个女生隔成的五个空中支配，共有Aeq\o\al(3,5)种排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144种排法．eq\a\vs4\al()“相邻”与“不相邻”问题的解决方法处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“一般”元素全排列，然后在“一般”元素之间及两端插入不相邻元素．(2024·广东珠海第三中学高二下学期期中)5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为()A．18 B．24C．36 D．48解析：选C.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36(种)．探究点3元素“在”与“不在”问题六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．【解】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有Aeq\o\al(1,4)种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有Aeq\o\al(5,5)种站法，依据分步乘法计数原理，共有站法Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝480种．法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有Aeq\o\al(2,5)种站法，然后其余4人有Aeq\o\al(4,4)种站法，依据分步乘法计数原理，共有站法Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝480种．法三：若对甲没有限制条件共有Aeq\o\al(6,6)种站法，甲在两端共有2Aeq\o\al(5,5)种站法，从总数中减去这两种状况的排列数，即得所求的站法数，共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＝480种．(2)首先考虑特别元素，甲、乙先站两端，有Aeq\o\al(2,2)种，再让其他4人在中间位置作全排列，有Aeq\o\al(4,4)种，依据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝48种站法．(3)法一：甲在左端的站法有Aeq\o\al(5,5)种，乙在右端的站法有Aeq\o\al(5,5)种，且甲在左端而乙在右端的站法有Aeq\o\al(4,4)种，共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504种站法．法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有Aeq\o\al(5,5)种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝504种站法．eq\a\vs4\al()“在”与“不在”问题的解决方法1.(2024·山西朔州怀仁一中高二下学期期中)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不排在两端，不同的排法共有()A．2400种 B．3600种C．4800种 D．7200种解析：选A.可分两步：第一步，排两端，从5名志愿者中选2名全排有Aeq\o\al(2,5)＝20(种)排法；其次步，剩余3名志愿者与2位老人全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)排法．依据分步乘法计数原理，共有20×120＝2400(种)排法．2．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？(1)六位数且是奇数；(2)个位上的数字不是5的六位数．解：(1)法一：从特别位置入手(干脆法)：第一步：排个位，从1，3，5三个数字中选1个，有Aeq\o\al(1,3)种排法；其次步：排十万位，有Aeq\o\al(1,4)种排法；第三步：排其他位，有Aeq\o\al(4,4)种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(个)．法二：从特别元素入手(干脆法)：0不在两端，有Aeq\o\al(1,4)种排法；从1，3，5中任选一个排在个位上，有Aeq\o\al(1,3)种排法；其他数字全排列有Aeq\o\al(4,4)种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(个)．法三：(解除法)①从整体上解除：6个数字的全排列数为Aeq\o\al(6,6)，0，2，4在个位上的排列数为3Aeq\o\al(5,5)，而1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数为3Aeq\o\al(4,4)，故符合题意的六位数奇数共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(个)．②从局部上解除：1在个位上的排列有Aeq\o\al(5,5)个，其中0在十万位上的排列有Aeq\o\al(4,4)个，故1在个位上的六位奇数有(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))个，同理，3，5在个位上的六位奇数也各有(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))个，因此符合题意的六位奇数共有3(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))＝288(个)．(2)法一：(解除法)6个数字的全排列有Aeq\o\al(6,6)个，0在十万位上的排列有Aeq\o\al(5,5)个，5在个位上的排列有Aeq\o\al(5,5)个，0在十万位上且5在个位上的排列有Aeq\o\al(4,4)个，故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4))＝504(个)．法二：(干脆法)个位上不排5，有Aeq\o\al(1,5)种排法．但十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此，需分两类：第一类，当个位上排0时，有Aeq\o\al(5,5)种排法；其次类，当个位上不排0时，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)种排法．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝504(个)．1．用1，2，3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．224C．360 D．648解析：选B.先排个位数，有Aeq\o\al(1,4)种，然后排十位和百位，有Aeq\o\al(2,8)种，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,8)＝224个没有重复数字的三位偶数．2．(2024·四川达州周测)已知6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最终一个演讲，则不同的演讲次序共有()A．240种 B．360种C．480种 D．720种解析：选C.先排甲，有4种；剩余5人全排列有Aeq\o\al(5,5)＝120(种)，所以不同的演讲次序有4×120＝480(种)．故选C.3．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．解析：第1步，先排5位母亲的位置，有Aeq\o\al(5,5)种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有Aeq\o\al(5,6)种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400种．答案：864004．3名男生，4名女生，依据不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能站中间或两端；(2)全体站成一排，男生必需排在一起．解：(1)(特别元素优先法)先考虑甲的位置，有Aeq\o\al(1,3)种方法，再考虑其余6人的位置，有Aeq\o\al(6,6)种方法．故有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(6,6)＝2160种方法．(2)(捆绑法)把全部男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720种不同的排法．学问结构深化拓展1.解排列应用题的基本思想eq\x(实际问题)eq\o(→,\s\up7(化归),\s\do5(（建模）))eq\x(排列问题)eq\o(→,\s\up7(求数学模型的解))eq\x(求排列数)eq\o(→,\s\up7(得实际问题的解))eq\x(实际问题)2．解有限制条件的排列问题的基本思路限制条件解题策略特别元素通常采纳“元素分析”法，即以元素为主，优先考虑特别元素的要求，再考虑其他元素特别位置通常采纳“位置分析”法，即以位置为主，优先考虑特别位置的要求，再考虑其他位置元素相邻通常采纳“捆绑”法，即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列元素不相邻通常采纳“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中,[A基础达标]1．3个学生在4本不同的参考书中各选择1本，不同的选法数为()A．3 B．24C．34 D．43解析：选B.3个学生在4本不同的参考书中各选择一本，相当于从4个不同元素中选3个，再全排列，故其选法种数为Aeq\o\al(3,4)＝24.2．有5名同学被支配在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日依次的编排方案共有()A．12种 B．24种C．48种 D．120种解析：选B.因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所以5名同学值日依次的编排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)．3．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参与数学和物理竞赛，但a不能参与物理竞赛，则不同的选法种数为()A．16 B．12C．20 D．10解析：选A.先选1人参与物理竞赛，除去a，有Aeq\o\al(1,4)种，再从剩下的4人中选1人参与数学竞赛，有Aeq\o\al(1,4)种，共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)＝16种．4．从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．6 B．12C．18 D．24解析：选D.先从2，4中选一个数字，有2种选法；再从1，3，5中选两个数字并排列，有Aeq\o\al(2,3)种选法；最终将从2，4中选出的一个数字放在十位或百位的位置，有2种放法．综上所述，奇数的个数为2×Aeq\o\al(2,3)×2＝24.5．将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数为()A．480 B．360C．120 D．240解析：选D.甲、乙、丙等六位同学进行全排可得有Aeq\o\al(6,6)＝720(种)，甲、乙、丙的排列有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)，因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，所以不同的排法种数共有2×eq\f(720,6)＝240(种)．故选D.6．六个停车位置，有3辆汽车须要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24种．答案：247．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担当语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必需担当语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：由题意知，从剩余10人中选出3人担当3个学科课代表，有Aeq\o\al(3,10)＝720种．答案：7208．某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必需排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法共有________种．解析：甲、乙作为元素集团，内部有Aeq\o\al(2,2)种排法，“甲、乙”元素集团与“戊”全排列有Aeq\o\al(2,2)种排法．将丙、丁插在3个空中有Aeq\o\al(2,3)种方法．所以由分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24种排法．答案：249．用0，1，2，3，4五个数字：(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？解：(1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2500(个)．(2)先排万位，从1，2，3，4中任取一个有Aeq\o\al(1,4)种填法，其余四个位置四个数字共有Aeq\o\al(4,4)种，故共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(个)．(3)考虑特别位置个位和万位，先填个位，从1，3中选一个填入个位有Aeq\o\al(1,2)种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有Aeq\o\al(1,3)种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为Aeq\o\al(3,3)，故共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(个)．10．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解：(1)分排与直排一一对应，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排头尾，让受特别限制的甲先选位置，有Aeq\o\al(1,4)种选法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)种排法，故排法种数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；其次步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480种排法．[B实力提升]11．(2024·济南高二检测)在1，2，3，4，5，6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方法种数为()A．576 B．720C．864 D．1152解析：选C.先把数字1，3，5，7作全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法；再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空外，还有3个空可排数字6，故数字6有3种排法；最终排数字2，4，数字2，4不与6相邻且数字2与4不相邻，在剩下的4个空当中排2，4，有Aeq\o\al(2,4)种排法．依据分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(4,4)×3×Aeq\o\al(2,4)＝864种排法，故选C.12．(2024·湖南长沙一中期末)将数字1，1，2，2，3，3排成三行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种解析：选A.第一行的两列排列种数有Aeq\o\al(2,3)＝2×3＝6(种)，然后其次行和第三行的第一列的排列种数有Aeq\o\al(2,2)＝2×1＝2(种)，最终其次行和第三行的其次列就只有一种排法，由分步乘法计数原理可得完成这件事不同的排列方法共有6×2×1＝12(种)．故选A.13．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满意下列条件的节目编排方法有多少种．(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最终压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有Aeq\o\al(2,2)种排法，再排其他节目有Aeq\o\al(6,6)种排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝14