模板11 四边形（原卷版）

四边形四边形解题方法指导解题方法指导一、怎样解与多边形内角和有关的问题n边形的内角和等于(n-2)X180°，多边形的内角和是180°的整数倍，多边形的边数每增加1,内角和增加180°.利用它可解决三类问题:一是已知多边形的边数求内角和，二是已知多边形的内角和求边数,三是已知足够的角度条件下求某一个内角的度数.例题演练例题演练例题1（2019·浙江台州市·中考真题）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形的各条边都相等．①如图1，若，求证：五边形是正五边形；②如图2，若，请判断五边形是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形的各条边都相等．①若，则六边形是正六边形；（）②若，则六边形是正六边形．（）例题2（2020·河北唐山市·九年级三模）如图，在五边形中，，，．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）如果的外心与的内心重合，请直接写出的度数．例题3（2019·温州外国语学校九年级二模）如图，在五边形中，，，．（1）求证：；（2）当时，求的度数．解题方法指导解题方法指导二、怎样解多边形外角和的问题多边形的外角和是360°，与多边形的边数无关,故在某些问题中用外角和公式会比用内角和公式求解简单.涉及多边形外角和的问题，常与多边形的内角和及正多边形等关系结合考虑,通过列方程来解决.例题演练例题演练例题1（2019·浙江省杭州市第六中学中考模拟）原题：“如图1，正方形ABCD中，BG是外角∠CBH的角平分线，E是AB上一点（不与A、B重合），EF⊥DE交BG于F，求证：DE＝EF．”证明的思路是：在AD上取一点M，使AM＝AE，连接ME，由AAS可得△DME≌△EBF．阅读了以上材料后，请你解答下列问题：（1）如图2，如果将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”，“EF⊥DE”改为“∠DEF＝60°”，其它条件不变，原题的结论还成立吗？如果成立请给出正面，如果不成立请给出反例．（2）如果将原题中的条件“正方形”改为“正五边形”，请你模仿原题写出一个真命题，并在图3中画出相应的图形．例题2（2021·全国）如图所示，求的度数.例题3（2021·全国）用两种方法证明“四边形的外角和等于360°”．如图，∠DAE、∠ABF、∠BCG、∠CDH是四边形ABCD的四个外角．求证：∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝360°．解题方法指导解题方法指导三、怎样解平行四边形的性质与判定的综合问题平行四边形的性质和判定相结合可解决有关角相等或互补、线段相等或倍分、两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题，也可以先根据平行四边形的性质得出有关结论，然后根据相关结论证明一个四边形是平行四边形例题演练例题演练例题1（2021·福建省福州第十九中学九年级月考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）请用直尺和圆规在AB上取一点E，使得；（2）在（1）的条件下，连接ED，若，求的度数．例题2（2021·沈阳市第四十三中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AC平分∠BAD，则四边形BEDF的形状是．例题3（2021·哈尔滨工业大学附属中学校九年级开学考试）如图，为的弦，弧＝弧，连接的延长线交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，于点交于点，连接交于点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，的延长线交于点，求的长．解题方法指导解题方法指导四、怎样解矩形性质的应用问题矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外,还具有下列性质:①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线相等.将这些性质与其他条件结合，可用来证明线段相等或倍分、直线平行以及角相等的问题。例题演练例题演练例题1（2021·山东日照市·中考真题）如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且．连接、相交于点，若，．（1）求对角线的长；（2）求证：为矩形．例题2（2021·湖南九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE，求证：BC＝DE．例题3（2021·江苏）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．解题方法指导解题方法指导五、怎样解菱形性质的应用问题菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外,还具有下列性质:(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分-组对角。利用菱形的性质求线段的长，主要是利用菱形的四条边都相等,且对角线互相垂直平分，通过构造直角三角形进行求解.例题演练例题演练例题1（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，的对角线，交于点，，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．例题2（2021·日照市田家炳实验中学）如图，在四边形ABCD中，∠C＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．（1）求证：∠BOD＝∠C；（2）若BC＝CD，求证：四边形OBCD是菱形．例题3（2021·安徽九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．解题方法指导解题方法指导六、怎样解正方形性质的应用问题正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形、菱形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.掌握正方形性质的特殊性,对求与正方形有关角的度数及线段的长度问题非常有用，如正方形对角线与边的夹角为45°;正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形;两条对角线把正方形分成4个完全相同的等腰直角三角形.例题演练例题演练例题1（2021·山东青岛市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F．延长BF至G，使FG＝BF，连结DG．（1）求证：GF＝DE．（2）当OF∶BF＝1∶2时，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并说明理由．例题2（2021·江苏南京市·）如图，在中，是的中点，过点D作且，交于点O，连接．（1）求证：