2026届新高考数学热点精准复习常用逻辑用语

2026届新高考数学热点精准复习

常用逻辑用语[课程标准要求]1.通过已知的数学实例,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系以及数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念p是q的

条件p⇒q,且q

pp是q的

条件p

q,且q⇒pp是q的

条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p

q,且q

p必要不充分充要充分不必要释疑充分、必要条件与对应集合之间的关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.①若p是q的充分条件,则A⊆B;④若p是q的充要条件,则A=B.口诀:小充分,大必要.知识梳理2.全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“

”表示.含有

的命题,叫做全称量词命题.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“

”表示.含有

的命题,叫做存在量词命题.∀全称量词∃存在量词知识梳理3.全称量词命题和存在量词命题的否定含量词命题含量词命题的否定结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,﹁p(x)存在量词命题的否定是

命题∀x∈M,p(x)∃x∈M,﹁p(x)全称量词命题的否定是

命题全称量词存在量词基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)设集合A={1,3,5,7},B={1,3},则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件.(

)(2)“三角形的内角和180°”是全称量词命题.(

)(3)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(

)(4)“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M,﹁p(x)”的真假性相反.(

)×√√√基础自测2.(人教A版必修第一册P30例4改编)已知命题p:∃x∈R,x3+1=0,则﹁p为(

)[A]∃x∈R,x3+1≠0[B]∀x∈R,x3+1=0[C]∀x∈R,x3+1≠0[D]∃x∉R,x3+1=0C【解析】命题p:∃x∈R,x3+1=0,则﹁p:∀x∈R,x3+1≠0.故选C.基础自测3.(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)已知a,b,c∈R,则“a=b”是“ac2=bc2”的(

)[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件A【解析】若a=b,则ac2=bc2,即充分性成立;若ac2=bc2,例如a=1,b=－1,c=0,可得ac2=bc2=0,满足题意,但a≠b,即必要性不成立.综上所述,“a=b”是“ac2=bc2”的充分不必要条件.故选A.基础自测4.(人教A版必修第一册P35复习参考题1T7改编)下列命题的否定中,是全称量词命题且为真命题的有(

)C基础自测考点一充分、必要条件的判断[例1](1)已知p:|x－1|<2,q:x+2≥0,则p是q的(

)[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件AC[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.解题策略(1)(2025·山东济宁模拟)已知a∈R,若集合M={1,a},N={0,1,2},则“a=0”是“M⊆N”的(

)[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件[针对训练]A[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件B考点二充分、必要条件的应用D[例2](1)(2025·山东济南模拟)已知A={x|1<x<2},B={x|x<a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是(

)[A](－∞,1] [B][1,+∞)[C](－∞,2] [D][2,+∞)(2)(多选题)(2025·四川达州模拟)“关于x的不等式ax2－2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件有(

)[A]0≤a<1 [B]0<a<1[C]－1≤a<1 [D]－1<a<2CD【解析】(2)关于x的不等式ax2－2ax+1>0对∀x∈R恒成立,当a=0时,不等式为1>0,满足题意;当a≠0时,则必有a>0且Δ=(－2a)2－4a×1<0,解得0<a<1.综上,a的取值范围为{a|0≤a<1}.故“关于x的不等式ax2－2ax+1>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件所对应的集合真包含集合{a|0≤a<1},考查选项知C,D满足条件.故选CD.解题策略(1)对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.(2)求参数问题的解题策略.①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;②要注意区间端点值的检验.[针对训练]D(1)方程ax2+bx+c=0两根异号的一个充分不必要条件是(

)[A]ab<0 [B]ac>0[C]ac<0 [D]a=1,b=2,c=－3考点三全称量词命题与存在量词命题B[例3](1)命题“∀a>1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递增”的否定为(

)[A]∃a>1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递减[B]∃a>1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上不单调递增[C]∃a≤1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递减[D]∃a≤1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上不单调递增【解析】(1)因为全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题“∀a>1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上单调递增”的否定为“∃a>1,函数f(x)=xa在[a,+∞)上不单调递增”.故选B.B(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则(

)[A]p和q都是真命题[B]﹁p和q都是真命题[C]p和﹁q都是真命题[D]﹁p和﹁q都是真命题【解析】(2)对于p,取x=－1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,﹁p是真命题,对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,﹁q是假命题,综上,﹁p和q都是真命题.故选B.[A](0,4) [B](1,5)[C](－∞,3) [D](－∞,4)C解题策略(1)含量词命题的否定,一是要改写量词,二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的取值范围,一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的取值范围;二是利用等价命题,即p与﹁p的关系,转化成由﹁p

的真假求参数的取值范围.[针对训练]B(1)(2025·河南郑州模拟)命题“∃x>0,x2+x－1>0”的否定是(

)[A]∀x>0,x2+x－1>0[B]∀x>0,x2+x－1≤0[C]∃x≤0,x2+x－1>0[D]∃x≤0,x2+x－1≤0【解析】(1)存在量词命题的否定为全称量词命题,即命题“∃x>0,x2+x－1>0”的否定为“∀x>0,x2+x－1≤0”.故选B.AD(2)(多选题)(2025·内蒙古呼伦贝尔模拟)下列命题是假命题的有(

)[A]∀x∈R,x3≥0[B]∃x∈R,x3=3[C]∃x∈{－2,－1,0,1,2},|x－2|<2[D]∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解A(3)若命题“∀x∈R,x2－4x+a≠0”为假命题,则实数a的取值范围是(

)[A](－∞,4] [B](－∞,4)[C](－∞,－4) [D][－4,+∞)【解析】(3)因为“∀x∈R,x2－4x+a≠0”为假命题,所以“∃x∈R,x2－4x+a=0”是真命题,即方程x2－4x+a=0有实数根,则Δ=(－4)2－4a≥0,解得a≤4,即实数a的取值范围是(－∞,4].故选A.[选题明细表]单选每题5分,多选每题6分.知识点、方法题号充分、必要条件2,5,7,9,11,12,13全称量词命题与存在量词命题1,3,4,6,8,10,14,15基础巩固练D2.(2025·广东湛江模拟)已知a,b均为实数,则“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的(

)[A]充要条件[B]必要不充分条件[C]充分不必要条件[D]既不充分也不必要条件D【解析】因为a2=b2,所以a=±b,由a2+ab=2b2,得(a－b)(a+2b)=0,得a=b或a=－2b,所以“a2=b2”是“a2+ab=2b2”的既不充分也不必要条件.故选D.D3.(2025·山东潍坊模拟)十七世纪,数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”,经历三百多年,数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明,使它终成费马大定理,则费马大定理的否定为(

)[A]对任意正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn都没有正整数解[B]对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解[C]存在正整数n≤2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解[D]存在正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn至少存在一组正整数解【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,故只有D满足题意.故选D.A4.若“∀x∈M,|x|>6”为真命题,“∃x∈M,x<5”为假命题,则集合M可以是(

)[A]{x|x>6} [B]{x|x<－6}[C]{x|x<6} [D]{x|x>－6}【解析】“∃x∈M,x<5”为假命题,则其否定“∀x∈M,x≥5”为真命题.对A,M={x|x>6},则|x|>6,满足“∀x∈M,|x|>6”,也满足“∀x∈M,x≥5”,故A正确;对B,M={x|x<－6},则其不满足“∀x∈M,x≥5”,故B错误;对C,M={x|x<6},举例x=2,此时|x|<6,不满足“∀x∈M,|x|>6”,C错误;对D,M={x|x>－6},举例x=2,此时|x|<6,不满足“∀x∈M,|x|>6”,D错误.故选A.B5.若x,y∈R,则“x<|y|”是“x2<y2”的(

)[A]充分不必要条件[B]必要不充分条件[C]充要条件[D]既不充分也不必要条件【解析】当x<0,且|x|>|y|时,x2<y2不成立,所以是不充分条件;当x2<y2时,即|x|<|y|,则必有x<|y|,所以是必要条件.故选B.6.(多选题)下列说法正确的是(

)[A]命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题[B]命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题[C]命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题[D]命题“实数的平方都是正数”的否定是存在量词命题,且是真命题BCD【解析】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误;B中命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题,故B正确;C中命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故C正确;D中命题“实数的平方都是正数”就是“所有实数的平方都是正数”是一个全称量词命题,这是一个假命题,因此其否定是存在量词命题且是真命题,故D正确.故选BCD.7.(多选题)若p是q的充分不必要条件,q是s的必要条件,t是q的必要条件,t是s的充分条件,则(

)[A]t是p的必要不充分条件[B]t是q的充要条件[C]p是s的充要条件[D]q是s的充要条件ABD【解析】因为t是q的必要条件,t是s的充分条件,q是s的必要条件,所以q⇒t⇒s,且s⇒q,则q⇔t⇔s,所以B,D正确.因为q⇔t⇔s,且p是q的充分不必要条件,所以p是s的充分不必要条件,t是p的必要不充分条件,所以A正确,C不正确.故选ABD.∃x∈R,∀n∈N*,n≤x28.(5分)(2025·内蒙古赤峰模拟)命题“∀x∈R,∃n∈N*,n>x2”的否定是“

”.

【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知,命题“∀x∈R,∃n∈N*,n>x2”的否定是“∃x∈R,∀n∈N*,n≤x2”.[－5,0]9.(5分)若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3,则实数a的取值范围