湖北省鄂州市鄂州高中2025年高二数学第二学期期末考试试题含解析

湖北省鄂州市鄂州高中2025年高二数学第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度2．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是（）A． B． C． D．3．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为（）A．3 B．4 C．5 D．64．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A． B． C． D．5．已知，则的值是A． B． C． D．6．在等差数列中，若，，则（）A． B．1 C． D．7．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为（）A．B．8C．9D．129．如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为()A． B． C． D．10．若A＝{(x，y)|y＝x}，，则A，B关系为()A．AB B．BAC．A＝B D．AB11．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（在轴上方），延长交抛物线的准线于点，若,，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．12．已知，则（）A． B．3 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正四棱柱的底面边长为4，记，，若，则此棱柱的体积为______．14．的展开式中，项的系数为______.（用数字作答）15．设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若直线PA与PB的斜率之积为，则椭圆的离心率为_____．16．的平方根是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设数列an的前n项和为Sn且对任意的正整数n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表达式并证明18．（12分）已知椭圆的离心率为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆交于A，B两点，是否存在实数，使线段AB的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（12分）已知直线（为参数），曲线（为参数）.(1线与曲线的普通方程；(2)，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.20．（12分）在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1-22（1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程（2）若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求PM⋅21．（12分）在中,角所对的边分别为且.（1）求角的值；（2）若为锐角三角形,且,求的取值范围.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由三角函数的诱导公式可得，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】解：由，即为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选：B.本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.2、C【解析】分析：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，求得，利用离心率的公式，即可求解双曲线的离心率．详解：由题意，双曲线的焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，即，所以双曲线的离心率为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求解问题，其中熟记双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3、B【解析】

根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.4、C【解析】试题分析：将其向右平移个单位后得到：，若为偶函数必有：，解得：，当时，D正确，时，B正确，当时，A正确，综上，C错误.考点：1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.5、D【解析】，,又,故选D.6、C【解析】

运用等差数列的性质求得公差d，再运用通项公式解得首项即可．【详解】由题意知，所以.故选C.本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题．7、D【解析】

求出函数的导数，由题意可得恒成立，转化求解函数的最值即可．【详解】由函数，得，故据题意可得问题等价于时，恒成立，即恒成立，函数单调递减，故而，故选D.本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题.8、C【解析】试题解析：依题可得不等式的解集为，故，所以即，又，则当且仅当时上式取等号，故选C考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用9、A【解析】由定积分可得，阴影部分的面积为：，由几何概型公式可得：.本题选择A选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)=.10、B【解析】

分别确定集合A,B的元素，然后考查两个集合的关系即可.【详解】由已知，故，故选B.本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，属于基础题.11、C【解析】分析：先求得直线直线AB的倾斜角为，再联立直线AB的方程和抛物线的方程求出点A,B的坐标，再求出点C的坐标，得到AC||x轴，得到，即得P的值和抛物线的方程.详解：设=3a,设直线AB的倾斜角为，所以直线的斜率为.所以直线AB的方程为.联立所以，所以直线OB方程为，令x=-所以故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圆锥曲线题目时，看到曲线上的点到焦点的距离（焦半径），要马上联想到利用圆锥曲线的定义解答.12、D【解析】

根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得，故选D．本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则，，，，，，，，即．此棱柱的体积为．故答案为．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量解决线线垂直问题，是中档题．14、-30【解析】

由题意利用幂的意义，组合数公式，求得项的系数.【详解】，表示个因式的积，要得到含项，需个因式选，个因式选，其余的个因式选即可.展开式中，项的系数为.故答案为：-30本题考查了二项式定理、组合数公式，需熟记公式，属于基础题.15、．【解析】

设点P的坐标为，代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求离心率．【详解】设点P的坐标为．由题意，有，①由A（﹣a，0），B（a，0），得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，∴椭圆的离心率．故答案为：．本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆离心率的求法，是中档题．求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).16、【解析】

根据得解.【详解】由得解.本题考查虚数的概念，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）12,23【解析】

（1）分别代入n=1,2,3计算即可求解；（2）猜想:Sn=【详解】当n=1,S当n=2,当n=3,（2）猜想:Sn证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k(k≥1且k∈N*)则当n=k+1时，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1时,猜想也成立.综合①②得Sn本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题18、（1）；（2）实数不存在，理由见解析．【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，即，，所以，即．又因为点在圆上，可得，解得与矛盾．故实数不存在．考点：椭圆的简单性质．19、(1),;(2).【解析】试题分析：（1）根据加减消元法得直线的普通方程；根据三角函数平方关系得曲线的普通方程（2）由椭圆的定义知：，根据直线参数方程几何意义得，将直线参数方程代入曲线的普通方程，根据韦达定理可得结果试题解析：解：（1）由直线已知直线（为参数），消去参数得：曲线（为参数）消去参数得：.（2）设将直线的参数方程代入得：由韦达定理可得：结合图像可知，由椭圆的定义知：.20、（2）x+y-1=0，ρ=4sinθ；（2）2.【解析】分析：(2)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－2＝2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝2．化为极坐标即ρ＝4sinθ．(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－32t＋2＝2，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．详解：(2)直线l的参数方程为x=1-22ty=消去参数t，得x＋y－2＝2．曲线C的参数方程为x=2cosθy=2+2sinθ(θ为参数利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝2．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(2)在直线x＋y－2＝2中，令y＝2，得点P(2，2)．把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－32t＋2＝2，∴t2＋t2＝32，t2t2＝2．由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t2·t2|＝2．点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件，（3）注意锐角三角形的各角都是锐角.（4）把边的关系转化成角，对于求边的取值范围很有帮助试题解析：（1）由，得，所以，则，由，。