上海市上海交大附中2024-2025学年高二数学第二学期期末预测试题含解析

上海市上海交大附中2024-2025学年高二数学第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C．2 D．2．设表示不超过的最大整数（如，）.对于给定的，定义，.若当时，函数的值域是（），则的最小值是（）A． B． C． D．3．若函数为偶函数，则（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．04．定义在上的函数，当时，，则函数（）的所有零点之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．85．若点在椭圆内，则被所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得：被所平分的双曲线的弦所在的直线方程是（）A． B．C． D．6．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（）种不同的取法A．C61C22 B．7．已知双曲线x2a2-yA．x212-y288．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A． B． C． D．9．设集合，则（）A．[－4，－2] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－2，1]10．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A．①② B．③④ C．①③ D．②④11．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3312．的展开式中的系数为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则______.14．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．15．如图，在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和，若第行中的三个连续的数之比是2∶3∶4，则的值是_________.16．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求的最大值及取得最大值的x的集合.18．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）求的解集.19．（12分）已知函数（1）当时，，求的取值范围；（2）时，证明：f(x)有且仅有两个零点。20．（12分）已知函数是奇函数．（1）求的值；（2）判断的单调性，并用定义加以证明；21．（12分）（题文）已知函数fx=m-x+4m>0（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c都是正实数，且1a+122．（10分）大型综艺节目,《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如表所示．（Ⅰ）将表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（Ⅱ）现从表中成功完成时间在和这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：，其中．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由导数的几何意义，结合题设，找到倍数关系，即得解.【详解】由导数的几何意义，可知：故选：D本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.2、B【解析】

先根据的定义化简的表达式为,再根据单调性求出函数在两段上的值域,结合已知条件列不等式即可解得.【详解】①当时，.在上是减函数，；②当时，.在上是减函数，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.本题考查了利用函数的单调性求分段函数的值域,属于中档题.3、C【解析】

由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；得对恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故选C．本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．4、D【解析】分析：首先根据得到函数关于对称，再根据对称性画出函数在区间上的图像，再根据函数与函数图像的交点来求得函数的零点的和.详解：因为故函数关于对称，令，即，画出函数与函数图像如下图所示，由于可知，两个函数图像都关于对称，两个函数图像一共有个交点，对称的两个交点的横坐标的和为，故函数的个零点的和为.故选D.点睛：本小题主要考查函数的对称性，考查函数的零点的转化方法，考查数形结合的数学思想方法.解决函数的零点问题有两个方法，一个是利用零点的存在性定理，即二分法来解决，这种方法用在判断零点所在的区间很方便.二个是令函数等于零，变为两个函数，利用两个函数图像的交点来得到函数的零点.5、A【解析】

通过类比的方法得到直线方程是，代入数据得到答案.【详解】所平分的弦所在的直线方程是，通过类比的方法，可求得双曲线的所平分的弦所在的直线方程是代入数据，得到：故答案选A本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.6、D【解析】

直接由组合数定义得解．【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，从中取3个球，共有N=C故选D本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．7、D【解析】试题分析：因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，所以ca考点：双曲线的性质．8、A【解析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．9、B【解析】分析：先解不等式得出集合B，再由集合的运算法则计算．详解：由题意，，∴．故选B．点睛：本题考查集合的运算，解题关键是确定集合的元素，要注意集合的代表元是什么，由代表元确定如何求集合中的元素．10、C【解析】

试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＜0，在x∈（-3，1）时，∴函数y=f（x）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确；则-3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确.故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定.11、C【解析】

根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C．本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．12、D【解析】分析：先求出二项式展开式的通项，再令x的指数为4得到r的值，即得的展开式中的系数.详解：由题得二项展开式的通项为,令10-3r=4,所以r=2,所以的展开式中的系数为.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)的展开式中的系数为,不是,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

直接利用余弦定理得到答案.【详解】，，（舍去）故答案为2本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.14、【解析】

假设存在对称的两个点P，Q，利用两点关于直线成轴对称，可以设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数，建立关于的函数关系，求出变量的范围．【详解】设抛物线上关于直线对称的两相异点为、，线段PQ的中点为，设直线PQ的方程为，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程①判别式②．可得，，∵，∴⇒…③由②③可得，故答案为.本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于中档题．15、【解析】

先根据题意，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，得到，求解，即可得出结果.【详解】根据题意，可得第行的数分别为：，设第行中从第项开始，连续的三个连续的数之比是2∶3∶4，则有，即，即，解得:.故答案为：.本题主要考查杨辉三角形的应用，以及组合数的性质及运算，熟记组合数的运算公式即可，属于常考题型.16、【解析】

通过先分析个位数字的可能，再排列十位和千位即得答案.【详解】根据题意，个位数字是1,3,5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为,故答案为36.本题主要考查排列组合相关知识，难度不大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0；（2）最小正周期为；（3）最大值为2，取得最大值的x的集合为.【解析】

（1）直接代入求值；（2）运用辅助角公式化简函数解析式，运用最小正周期公式求解即可；（3）由（2）可知函数化简后的解析式，可利用正弦函数的性质，可以求出函数的最大值以及此时x的集合.【详解】（1）；（2）；最小正周期为；（3）因为；所以当时，即时，函数的最大值为2，取得最大值的x的集合为.本题考查了正弦型函数的最小正周期和最大值问题，运用辅助角公式是解题的关键.18、（1）在为增函数；（2）【解析】

（1）首先求出的导数，并且求出时的斜率，根据点处的切线与直线垂直即可求出，再对求二阶导数即可判断的单调区间。（2）根据（1）的结果转化成求的问题，利用单调性求解即可。【详解】（1）曲线在点处的切线与直线垂直.令当时为增函数，当时为减函数。所以所以，所以在为增函数（2）令，因为在为增函数，所以在为增函数因为，所以不等式的解集为本题主要考查了根据导数判断函数的单调性以及两条直角垂直时斜率的关系。在解决导数问题时通常需要取一些特殊值进行判断。属于难题。19、（1）（2）见解析【解析】

（1）参变分离，求最值。确定的取值范围。（2）求导判断的单调性。说明零点存在。【详解】（1）由得令，∴在上时增函数∴∴.（2）当时，（）∴∴∴在是增函数又，∴在上有且仅有一个解，设为-0+↘最小↗∴又∴有且仅有两个零点.本题考查参变分离，利用单调性讨论函数零点，属于中档题。20、(1)；(2)在定义域上是减函数．证明见解析【解析】

（1）直接根据奇函数的性质f（0）＝0，求出a，再进行验证；（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义用作差比较法证明；【详解】（1）由题知的定义域为，因为是奇函数，所以，即解得.经验证可知是奇函数，所以.（2）在定义域上是减函数，由（1）知，，任取，且，所以.，，，即所以在定义域上是减函数．本题主要考查了指数函数的图象与性质的综合应用，涉及函数的奇偶性，单调性，属于中档题．21、(Ⅰ)m=1(Ⅱ)见解析【解析】试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明.试题解析：（I）依题意f(x-2)=m-|x+2|≥0,即|x+2|≤m⇔-m-2≤x≤-2+m,∴m=1（II）方法1:∵1∴a+2b+3c=(a+2b+3c)(=3+(当且仅当a=2b=3c,即a=3,b=3方法2:∵1∴由柯西不等式得3=a⋅整理得a+2b+3c≥9当且仅当a=2b=3c,即a=