北京市丰台区北京十二中2025年高二数学第二学期期末调研试题含解析

北京市丰台区北京十二中2025年高二数学第二学期期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是()A．若,则B．若,则C．若则D．若,则2．在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为（）A． B． C． D．3．设集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，则A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}4．设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为A． B．C． D．6．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是()A． B． C． D．7．“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（）A．杨辉 B．刘微 C．祖暅 D．李淳风8．已知函数，且，则不等式的解集为A． B． C． D．9．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤10．已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．3311．如图所示，给出了样本容量均为7的A、B两组样本数据的散点图，已知A组样本数据的相关系数为r1，B组数据的相关系数为r2，则（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．无法判定12．函数在处的切线方程是()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，项的系数为______．14．已知，则________.15．若随机变量，则_______．16．函数的定义域为__________（结果用区间表示）。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若，求的最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点.（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.19．（12分）2019年春节，“抢红包”成为社会热议的话题之一．某机构对春节期间用户利用手机“抢红包”的情况进行调查，如果一天内抢红包的总次数超过10次为“关注点高”，否则为“关注点低”，调查情况如下表所示：关注点高关注点低总计男性用户5女性用户78总计1016（1）把上表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关？（2）现要从上述男性用户中随机选出3名参加一项活动，以表示选中的男性用户中抢红包总次数超过10次的人数，求随机变量的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验统计量，其中．20．（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），且与曲线交于，两点.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点的极坐标为，若，求.21．（12分）为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎总计圆粒111930皱粒13720总计242650（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：0.050.013.8416.63522．（10分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有

错误；

若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面

外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若，，，则为真命题,正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有错误.

故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.2、A【解析】

求出基本事件的总数和恰有1件次品包含的基本事件个数即可.【详解】在含有2件次品的6件产品中任取3件，基本事件的总数为：恰有1件次品包含的基本事件个数为在含有2件次品的6件产品中任取3件，恰有1件次品的概率为故选：A本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.3、D【解析】试题分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考点：集合的运算．4、A【解析】

先求出，再判断得解.【详解】，所以复数对应的点为（3,5），故复数表示的点位于第一象限.故选A本题主要考查共轭复数的计算和复数的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5、C【解析】分析：上面为球的二分之一，下面为长方体．面积为长方体的表面积与半球的面积之和减去半球下底面面积.详解：球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为．点睛：组合体的表面积，要弄懂组合体的结构，哪些被遮挡，哪些是切口．6、D【解析】

求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数的取值范围【详解】当时，恒成立若，为任意实数，恒成立若时，恒成立即当时，恒成立，设，则当时，，则在上单调递增当时，，则在上单调递减当时，取得最大值为则要使时，恒成立，的取值范围是故选本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。7、C【解析】

由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.8、C【解析】

由，可分别考虑分段函数的每一段取值为的情况，即可求解出的值；然后再分别利用每一段函数去考虑的情况.【详解】函数，可知时，，所以，可得解得．不等式即不等式，可得：或，解得：或，即故选：C．利用分段函数求解参数取值时，需要对分段函数的每一段都进行考虑；并且在考虑每一段分段函数的时候，注意定义域.9、B【解析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．10、C【解析】

根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，当k=2时，号码为11，当k=3时，号码为17，当k=4时，号码为23，当k=5时，号码为29，故选：C．本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．11、C【解析】

利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【详解】根据两组样本数据的散点图知，组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为应最接近1，组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为，满足，即，故选C．本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.12、A【解析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用二项式展开式的通项公式，求得项的系数.【详解】二项式，展开式中含项为，所以项的系数为.故答案为：.本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.14、【解析】

将分子化为，然后在分式的分子和分母中同时除以，利用弦化切的思想进行计算.【详解】，故答案为.本题考查利用弦化切思想进行求值，弦化切一般适用于以下两种情况：（1）分式是关于角的次分式齐次式，在分式的分子和分母中同时除以，可将分式化为切的代数式进行计算；（2）角弦的二次整式，先除以，将代数式化为角的二次分式齐次式，然后在分式的分子和分母中同时除以，可将代数式化为切的代数式进行计算.15、10【解析】

根据题意可知，随机变量满足二项分布，根据公式，即可求出随机变量的方差，再利用公式即可求出。【详解】．故答案为。本题主要考查满足二项分布的随机变量方差的求解，解题时，利用公式将求的问题转化为求的问题，根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算。16、【解析】

根据函数的定义域需满足，解不等式.【详解】根据题意可得，，，即函数的定义域是故填：.本题考查了函数多的定义域，属于简单题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2).【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可；（2）由f（x）≤a|x+3|得a≥，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当时，的解集为：（2）由得：由，得：得（当且仅当或时等号成立），故的最小值为.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．18、(1)证明见解析.（2）63【解析】试题分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理证明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中点F，以C为原点，CF,CD,CP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值为63试题解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中点F，如图所示，以C为原点，CF,CD,CP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(2,2,0),B(2,-2,0),P(0,0,4),E(1,-1,2),∴CA=(2,2,0),CP=(0,0,4),CE=(1,-1,2).设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)，则m·CA=0m·CP=0，即考点：空间向量与立体几何.19、（1）见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关．（2）见解析，【解析】

（1）先补充列联表，再根据公式求出的观测值并与1.841比较大小，从而得出结论；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，1，结合组合数求出相应概率，由此可得分布列与期望．【详解】解：（1）根据题意得列联表如下：关注点高关注点低总计男性用户158女性用户718总计10616的观测值为，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与关注点高低有关；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，1．，，，．得的分布列为0121．本题主要考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查计算能力，属于中档题．20、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出曲线的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化即可；（2）利用参数的几何意义可得.详解：（1）曲线的直角坐标方程为，即，∵，，∴，即，此即为曲线的极坐标方程.（2）点的直角坐标为，设，两点对应的参数为，，将直线的参数方程代入，得，则，由参数的几何意义可知，，，故.点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．21、（1）；（2）有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【解析】

（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算值，和临界值表对比后即可得答案