广东省汕头市潮师高级中学2025年数学高二下期末考试试题含解析

广东省汕头市潮师高级中学2025年数学高二下期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆的离心率为（）A． B． C． D．2．定积分的值为()A．3 B．1 C． D．3．已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为（）A． B． C．5 D．64．函数的周期，振幅，初相分别是（）A． B． C． D．5．已知命题若实数满足，则或，，，则下列命题正确的是()A． B． C． D．6．已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．乙B．甲C．丁D．丙9．若复数，其中i为虚数单位，则=A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．11．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）A． B． C． D．12．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，若曲线与交于、两点，则等于（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.1．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．14．已知函数是上奇函数，且当时，则__________．15．高二（1）班有男生18人，女生12人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生人数为____.16．已知直线经过点，且点到的距离等于，则直线的方程为____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，1为半径.（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.（2）设直线l与圆C相交于AB两点，求.18．（12分）统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.环比增长率（本期数上期数）上期数，同比增长率（本期数同期数）同期数.下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：序号时间年月年月年月年月年月年月年月年月消费者信心指数2017年月年月年月年月年月年月年月年月年月求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）19．（12分）“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.统计数据如下表所示：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀40学习成绩一般20合计200参考公式：其中20．（12分）为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长米、宽米的黑板做如图所示的区域划分:取中点,连接,以为对称轴,过两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点,作垂足为,作交于点.在四边形内设计主题,其余区域用于文字排版,设的长度为米.(1)求长度的表达式,并写出定义域；(2)设四边形面积为,求当为何值时,取最大值,最大为多少平方米?21．（12分）求下列函数的导数：（1）；（2）.22．（10分）设函数．（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立关于，，之间的关系式，求出结果.【详解】解：连接，，根据“果圆”关于轴对称，可得是以为底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分别是椭圆和的半焦距，，即.，.即，.故选：B.本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题.2、C【解析】

运用定积分运算公式，进行求解计算.【详解】，故本题选C.本题考查了定积分的运算，属于基础题.3、D【解析】分析：先化简函数的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再讨论a=0的情况得到w的范围，再综合即得w的最小值.详解：当a≠0时，，由f(x)=0得，因为所以，根据三角函数的图像得只要coswx=1满足条件即可，这时，所以当a=0时，，令f(x)=0，所以coswx=0，须满足综合得故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查函数的零点和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合思想方法.(2)解答本题的难点在讨论a≠0时，分析推理出.4、C【解析】

利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.【详解】依题意，，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数.5、C【解析】由题意可知，p是真命题，q是假命题，则是真命题.本题选择C选项.6、A【解析】

把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.7、D【解析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D。点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解。8、A【解析】

由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9、B【解析】试题分析：，选B.【考点】复数的运算，复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.10、C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C11、B【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为，故选B.12、B【解析】

由题意可知曲线与交于原点和另外一点，设点为原点，点的极坐标为，联立两曲线的极坐标方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【详解】易知，曲线与均过原点，设点为原点，点的极坐标为，联立曲线与的坐标方程，解得，因此，，故选：B.本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．【详解】∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.1．∴连续掷一枚图钉3次，出现2次针尖向上的概率为：0.132，出现3次针尖向上的概率为：0.216，故至少出现2次针尖向上的概率，故答案为：．本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．14、【解析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.15、3【解析】

根据分层抽样的比例求得.【详解】由分层抽样得抽取男生的人数为5×18故得解.本题考查分层抽样，属于基础题.16、或【解析】

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不成立；当直线的斜率存在时，直线的方程为，由点到的距离等于，解得或，由此能求出直线的方程。【详解】直线经过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到的距离等于，不成立；当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，点到的距离等于，，解得或，直线的方程为或，即或故答案为：或本题考查点斜式求直线方程以及点到直线的距离公式，在求解时注意讨论斜率存在不存在，属于常规题型。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的参数方程为（t为参数），圆的极坐标方程为；（2）.【解析】

（1）首先根据直线的点和倾斜角即可求出直线的参数方程，再根据圆的圆心坐标及半径可求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程即可.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，再利用直线参数方程的几何意义即可求出的值.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），∵M的直角坐标为，圆的直角坐标方程为，即，∴圆的极坐标方程为；（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，化简得：，，.本题第一问考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，第二问考查了直线的参数方程的几何意义，属于中档题.18、；个；；.【解析】

根据所给数据求出同比增长率即可；由本期数上期数，结合图表找出结果即可；根据所给数据求出相关系数，求出回归方程，代入的值，求出的预报值即可.【详解】解：该地区年月份消费者信心指数的同比增长率为；由已知环比增长率为负数，即本期数上期数，从表中可以看出，年月、年月、年月、年月、年月共个月的环比增长率为负数.由已知计算得：，，线性回归方程为.当时，，即预测该地区年月份消费者信心指数约为.本题考查回归方程问题，考查转化思想，属于中档题.19、（1）见解析（2）有，分析见解析【解析】

(1)根据已知抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,即可求出抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求得其他数据,完善列联表即可.(2)由(1)可得列联表,根据公式计算出后可得结论.【详解】(1)由抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求其他数据,完善表格如下.列联表：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀4060100学习成绩一般8020100合计12080200所以有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.本题主要考查了2×2列联表,考查独立性检验,考查了学生的计算能力,难度较易.20、(1)(2)当时，四边形面积取得最大值为【解析】

（1）建立平面直角坐标系求出对应点的坐标，利用待定系数法求出抛物线方程，进行求解即可；（2）构造函数，求出函数的导数，利用函数最值极值和导数之间的关系求最值即可.【详解】⑴以为坐标原点，以所