新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州和静高级中学2025届高二下数学期末调研试题含解析

新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州和静高级中学2025届高二下数学期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的虚部为（）A． B． C．1 D．22．已知的分布列为-101设，则的值为（）A．4 B． C． D．13．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（）A． B． C． D．4．现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有()A．120种 B．5种 C．种 D．种5．若，则的值为（）A．2 B．1 C．0 D．6．内接于半径为的半圆且周长最大的矩形的边长为（）．A．和 B．和 C．和 D．和7．已知集合，，则集合（）A． B． C． D．8．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A． B．1 C．2 D．49．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有A．14400种 B．518400种 C．720种 D．20种10．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．11．如果函数f(x)在区间[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)，满足f'(x1A．（13，12）B．（32，3）C．（112．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是附：由公式算得：附表：0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B．有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．14．已知函数，则________15．已知为椭圆的左、右焦点，若椭圆C上恰有6个不同的点P，使得为直角三角形，则椭圆的离心率为__________.16．直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线的参数方程为(为参数在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.1求曲线的普通方程和的直角坐标方程；2若与相交于两点，设点，求的值．18．（12分）已知，是正数，求证：.19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，，点在上．（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积．20．（12分）某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.①②③（是虚数单位）（Ⅰ）从三个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围．22．（10分）设函数.（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；（2）在（1）的条件下求函数的单调区间与极值点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由复数除法化复数为代数形式，根据复数概念可得．【详解】因为，所以复数的虚部为，故选：A.本题考查复数的除法运算，考查复数的概念．属于简单题．2、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【详解】，因为，所以.本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量，具有线性关系，直接利用公式能使运算更简洁.3、C【解析】

利用“左加右减”的平移原则，求得平移后解析式，即可求得对称轴方程.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，令，解得，令，解得.故选：C.本题考查函数图像的平移，以及函数对称轴的求解，属综合基础题.4、D【解析】

先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到答案为D本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.5、D【解析】分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．详解：，令x=1，可得1=．令x=，可得a1+++…+=1，∴++…+=﹣1，故选：D．点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意的处理，属于易错题．6、D【解析】

作出图像,设矩形,圆心为,,再根据三角函数关系表达矩形的长宽,进而列出周长的表达式,根据三角函数的性质求解即可.【详解】如图所示：设矩形,,由题意可得矩形的长为,宽为,故矩形的周长为,其中,.故矩形的周长的最大值等于,此时,.即,再由可得,故矩形的长为,宽为,故选：D.本题主要考查了根据角度表达几何中长度的关系再求最值的问题,需要根据题意设角度,结合三角函数与图形的关系求出边长,再利用三角函数的性质求解.属于中档题.7、B【解析】

由并集的定义求解即可.【详解】由题,则,故选:B本题考查集合的并集运算,属于基础题.8、D【解析】

已知x，y满足约束条件，画出可行域，目标函数z＝y﹣2x，求出z与y轴截距的最大值，从而进行求解；【详解】∵x，y满足约束条件，画出可行域，如图：由目标函数z＝y﹣2x的几何意义可知，z在点A出取得最大值，A（﹣3，﹣2），∴zmax＝﹣2﹣2×（﹣3）＝4，故选：D．在解决线性规划的小题时，常用步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②理解目标函数的几何意义，找出最优解的坐标⇒③将坐标代入目标函数，求出最值；也可将可行域各个角点的坐标代入目标函数，验证，求出最值．9、A【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法，又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为种；故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以，如三个元素相同即除以.10、D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.11、C【解析】试题分析：f'(x)=3x2-2x，f(a)-f(0)a-0=a2-a，所以函数f(x)=x3-x2+a是区间[0,a]上的“双中值函数”等价于f'考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.12、A【解析】

根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A.本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.故答案为本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.14、1【解析】

由题得，令x=0即得解.【详解】由题得，令x=0得，所以.故答案为1本题主要考查对函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解析】

由题意，问题等价于椭圆上存在两点使直线与直线垂直，可得，从而得到椭圆的离心率。【详解】一方面，以为直角顶点的三角形共有4个；另一方面，以椭圆的短轴端点为直角顶点的三角形有两个，此时，则椭圆的离心率为.本题考查椭圆的几何性质，考查学生的分析转化能力，解题的关键是把问题转化为椭圆上存在两点使直线与直线垂直，属于中档题。16、【解析】直线与抛物线的交点坐标为，据此可得：直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于:.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的普通方程为.的直角坐标方程为.（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）消参后得到曲线的普通方程；根据得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得到关于的一元二次方程，而，代入根与系数的关系得到结果.试题解析：（I）（为参数），所以曲线的普通方程为.，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意可设，与两点对应的参数分别为，将的参数方程代入的直角坐标方程，化简整理得，，所以，所以，因为，所以，所以【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程，以及普通方程和参数方程的转化关系，对于第二问中的弦长问题，过定点，倾斜角为的参数方程，与曲线相交交于两点，，，，根据图象和二次方程去绝对值，后根据根与系数的关系得到结果.18、见证明【解析】

运用基本不等式即可证明【详解】证明：因为，是正数，所以.所以.即.当且仅当，时取等号本题考查了基本不等式，较为简单，注意需要满足“一正二定三相等”的条件19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）证明，转化成证明平面即可．（2）根据，可得，从而得出体积．【详解】证明：（1）取中点，连结，则，，四边形为平行四边形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱锥的体积为：．本题考查了线线垂直的证明，通常转化成证明线面垂直．三棱锥体积的计算，选择不同的底对应的顶点，得到的体积相同．那么通常选择已知的高和底从而求出体积．20、（I）（II）结论为（且不同时为零），证明见解析【解析】

（Ⅰ）将三个式子化简答案都为.（II）观察结构归纳结论为，再利用复数的计算证明结论.【详解】（I）（II）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：（且不同时为零）下面进行证明：要证明只需证只需证因为上式成立，所以成立.（或直接利用复数的乘除运算得出结果）本题考查了复数的计算和证明，意在考查学生的归纳能力.21、（1）见解析；（2）．【解析】

（1）求出，分或两种情况讨论（2）由，得恒成立，则恒成立，然后利用导数求出右边的最大值即可【详解】解：（1）易知，，（i）当时对任意的恒成立；（ⅱ）当时，若，得若，得，综上，当时在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由