江苏省射阳县2025届数学高二下期末学业水平测试试题含解析

江苏省射阳县2025届数学高二下期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．2．若函数在处的导数为，则为A． B． C． D．03．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．复数在复平面内对应的点在（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限5．已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于A． B． C． D．6．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种 B．5种 C．6种 D．7种7．六位同学站成一排照相，若要求同学甲站在同学乙的左边，则不同的站法有（）A．种 B．种 C．种 D．种8．从名学生中选取名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为9．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（）A． B．C． D．10．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．800 B．5400 C．4320 D．360011．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为()A． B． C． D．12．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________．14．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．15．人排成一排.其中甲乙相邻，且甲乙均不与丙相邻的排法共有__________种．16．设圆锥的高是，母线长是，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题，使；命题，使.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.19．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：20．（12分）已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.证明：直线的斜率成等差数列.21．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.22．（10分）如图，在四棱锥中，是棱PD的中点，且.（1）求证：CD∥平面ABE；（2）求证：平面ABE丄平面PCD.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。2、B【解析】

根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可．【详解】，故选：B．本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．3、D【解析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．4、B【解析】

利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置．【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选B．本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．5、D【解析】

求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y﹣8＝0，即y＝8﹣x，f'（5）就是切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D．本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．6、A【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．考点：本题主要考查分类计数原理的应用．点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和．用列举法也可以，形象、直观易懂．7、C【解析】

先作分类，甲在左边第一位，有；甲在左边第二位，有；甲在左边第三位，有；甲在左边第四位，有；甲在左边第五位，有；然后直接相加求解即可【详解】甲在左边第一位，有；甲在左边第二位，有；甲在左边第三位，有；甲在左边第四位，有甲在左边第五位，有；不同的站法有种，选C.本题考查排列问题，属于基础题8、C【解析】

按系统抽样的概念知应选C，可分两步：一是从2018人中剔除18留下的概率是，第二步从2000人中选50人选中的概率是，两者相乘即得．【详解】从2018人中剔除18人每一个留下的概率是，再从2000人中选50人被选中的概率是，∴每人入选的概率是．故选C．本题考查随机抽样的事件与概率，在这种抽样机制中，每个个体都是无差别的个体，被抽取的概率都相等．9、B【解析】

根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证.【详解】，当或时，，当时，，选项不正确，，令，当或，当，的递增区间是，，递减区间是，所以选项不正确，选项正确.故选:B.本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.10、D【解析】先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法，∴共有种排法，故选D11、A【解析】

利用复数除法运算，化简为的形式，由此求得对应的点的坐标.【详解】依题意，对应的点为，故选A.本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.12、C【解析】试题分析：考点：点、线、面间的距离计算二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：根据三棱锥的结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积。详解：由，根据同角三角函数关系式得，解得所以，因为，，由余弦定理代入得所以△ABC为等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圆半径R为，解得设△ABC外心为，，过作则在中在中解得所以外接球面积为点睛：本题综合考查了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的表面积求值，对空间想象能力要求高，综合性强，属于难题。14、【解析】

由题意得出，由此可得出，解出实数、的值，由此可得出的值.【详解】，，且，，，解得，.因此，.故答案为：.本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.15、24.【解析】分析：由题意结合排列组合的方法和计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：将甲乙捆绑后排序，有种方法，余下的丙丁戊三人排序，有种方法，甲乙均不与丙相邻，则甲乙插空的方法有2种，结合乘法原理可知满足题意的排列方法有：种.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．16、1【解析】

求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值．【详解】解：∵圆锥的高是，母线长是，

∴底面半径，设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，

设，则，，∴截面SCD的面积，故答案为：1．本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）若p为假命题，，可直接解得a的取值范围；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围。【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，即，所以实数的取值范围是.（2）为真命题，为假命题，则一真一假.若为真命题，则有或，若为真命题，则有.则当真假时，则有当假真时，则有所以实数的取值范围是.本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。18、（1），理由见解析（2）详见解析【解析】

（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.【详解】（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得，此时，令，即，解得，令，即，解得，即有在上单调递增，在单调递减所以即（2）不妨设，由条件：，要证：只需要证：，也即为，由只需要证：，设即证：，设，则在上是增函数，故，即得证，所以.本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.19、（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.【详解】（1）当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：不等式的解集为：（2）均为正数要证，只需证：即证：，，三式相加可得：（当且仅当时取等号）成立本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题，考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于常考题型.20、（1）；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由椭圆的离心率为，以及点M在椭圆上，结合a，b，c关系列出方程组求解即可；（2）分过椭圆右焦点的直线斜率不存在和存在两种情况，进行整理即可.详解：（1）；(2)因为右焦点,当直线的斜率不存在时其方程为，因此，设，则，所以且，所以，，因此，直线和的斜率是成等差数列.当直线的斜率存在时其方程设为，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因为，所以有,因此，直线和的斜率是成等差数列，综上可知直线和的斜率是成等差数列.点睛：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学转化思想方法，考查计算能力与解决问题的能力.21、（1）（2）【解析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程．（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.当AB斜率不存在时，求得，，所以．当直线的斜率为时，求得，，所以．即可判断．详解：（1）将代入，得，所以.因为的周长为，所以，，将代入，可得，所以椭圆的方程为.（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，则直线的方程为.由消去得.由韦达定理得，，所以，.同理可得..（ii）当直线的斜率不存在时，，，.（iii）当直线的斜率为时，，，.综上，.点睛：本题综合考查了圆锥曲线的