2025年湖南省长沙市中考数学信息试卷（一）（含答案）

第=page1111页，共=sectionpages1717页2025年湖南省长沙市中考数学信息试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量.若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作(

)A.+0.3米 B.-1.7米 C.+1.7米 D.-0.3米2.科学研究估算，长沙洋湖湿地公园生态系统中约有28，000，000，000，000个微生物.若用科学记数法表示该数量，正确选项是(

)A.28×1012 B.2.8×1012 C.3.未来乃可预见之时代，寰宇知名人工智能企业徽标林立，请问下列图示中，属中心对称而非轴对称者为几何(

)A. B.

C. D.4.在湖南师大附中梅溪湖中学第四届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下(单位：分)：6，7，7，7，8，9，9，则该组参赛选手得分的中位数是多少分(

)A.6分 B.8分 C.7分 D.9分5.在下列调查中，适宜采用普查的是(

)A.调查某神舟号火箭的零件安全情况 B.调查长沙县中小学生心理健康情况

C.调查橘子洲头游园日均客流量 D.调查《新闻联播》栏目的收视率6.已知点A(-6,m+2)，B(-3,m)，C(3,m)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(

)A. B. C. D.7.如图，直线m/​/n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB过点A作AC⊥AB，交直线m于点C.若∠1=60°，则∠2的度数为(

)

A.30° B.20° C.40° D.50°8.如图是某景点示意图，建立直角坐标系(以南北方向为纵轴，东西方向为横轴)，湿地和古村落的坐标分别为(-2,2)，(-4,1)，流动服务站在原点.若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，则该服务站需(

)A.向左平移1个单位

B.向右平移1个单位

C.向上平移2个单位

D.向下平移2个单位9.阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理一通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用.如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了.如图②所示，BD的距离为5cm，动力臂OA=18cm，阻力臂OB=6cm，则AC的长度为(    )cm．A.15 B.12 C.9 D.1110.2024年11月2日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“2024湖南(秋季)百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近100km.第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代.他徒步的路程y km与其所用时间x h之间的图象如图所示，则当他徒步4小时后(含中途休整时间)，他离终点目标的路程为(

)A.83km B.82km C.81km D.80km二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若要使分式22x+5有意义，则X的取值范围是______．12.若2x-1=1，则x=______．13.已知一个山坡的坡度为1：1，则山坡的坡角为______．14.一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为______．15.如图，点P在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为______．

16.如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，连接AE，使AE=AB.若∠ADC=40°，则∠E的度数为______．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.先化简，再求值：(1-3x+1)÷x2四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

计算：8-(π-9)19.(本小题6分)

我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度MN，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为α=60°和β=37°，测得无人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度MN为多少米？(参考数据：tan37°≈0.75，3=1.73，结果保留整数20.(本小题8分)

如图，△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，H为EC中点，BE=AC．

(1)求证：AH⊥BC；

(2)若∠B=36°，求∠BAC的度数．21.(本小题8分)

在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=60°，利用尺规作图在AC边上求作一点D，使得△ABC∽△BDC.(不写作法，保留作图痕迹)

22.(本小题9分)

为落实“双减”政策，增强学生体质，阳光中学积极开展体育健身活动.了解初三学生的投篮命中率，组织了初三学生定点投篮，规定每人投篮3次.现对初三(1)班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题．

(1)初三(1)班的学生投中2次的人数为人，扇形统计图中n=______%；

(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为______；

(3)在投中3次的学生中，有2名男生2名女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．23.(本小题9分)

某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．

(1)求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；

(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？

(3)在(2)的条件下，若每个A礼品盒的利润为20元，每个B礼品盒的利润为36元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？24.(本小题10分)

在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．

(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；

(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；

(3)如图③，在(1)(2)的条件下，若tanA=34，求S△ADE：S25.(本小题10分)

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．

①求BE的长；

②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．

答案和解析1.【答案】D

【解析】若跳远测试以2米为基准，跳2.1米记作+0.1米，那么跳1.7米应记作1.7-2=-0.3(米)，

故选：D．

2.【答案】C

【解析】28000000000000=2.8×1013．

故选：C．

3.【答案】【解析】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B．

4.【答案】C

【解析】一共有7个数据，从小到大排序为：6，7，7，7，8，9，9，

∴中位数为第4个数，即为7，

故选：C．

5.【答案】A

【解析】A.调查某神舟号火箭的零件安全情况，适宜采用普查，故A符合题意；

B.调查长沙县中小学生心理健康情况，适宜采用抽样调查，故B不符合题意；

C.调查橘子洲头游园日均客流量，适宜采用抽样调查，故C不符合题意；

D.调查《新闻联播》栏目的收视率，适宜采用抽样调查，故D不符合题意；

故选：A．

6.【答案】B

【解析】∵点B(-3,m)，C(3,m)，

∴B与C关于y轴对称，

即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意；

∵A(-6,m+2)，B(-3,m)，

∴当x<0时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项D不符合题意．

故选：B．

7.【答案】A

【解析】如图，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，

∵m/​/n，∠1=60°，

∴∠CAD=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠BAC-∠CAD=30°，

故选：A．8.【答案】A

【解析】∵湿地和古村落的坐标分别为(-2,2)，(-4,1)，

∴坐标原点在沙滩北3个单位处，

∴若要使服务站到古村落和沙滩的距离相等，服务站需向左平移1个单位即可．

故选：A．

9.【答案】A

【解析】∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴AC/​/BD，

∴△AOC∽△BOD，

∴ACBD=AOOB，

∵BD的距离为5cm，动力臂OA=18cm，阻力臂OB=6cm，

∴AC5=186，

∴AC=15，

∴AC的长为15cm【解析】由题意得：从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场的速度为10÷2=5(千米/小时)，

休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为(25-10)÷(5-2.5)=6(千米/小时)，

∴当他徒步4小时后(含中途休整时间)徒步的路程为10+(4-2.5)×6=19(千米)，

∴他离终点目标的路程为100-19=81(千米)．

故选：C．11.【答案】x>-5【解析】∵分式22x+5有意义，

∴2x+5>0，

解得，x>-52，

故答案为：x>-52【解析】两边都乘以(x-1)，得

2=x-1，

解得x=3，

经检验x=3是原方程的解，

所以原方程的解为x=3．

故答案为：3．

13.【答案】45°

【解析】设坡角为α，已知一个山坡的坡度为1：1，

由题意得，tanα=11=1，

∴α=45°．

故答案为：45°．

14.【解析】∵一个不透明的布袋里装有3个红球，4个黄球，2个白球，2个黑球，

∴袋中球的总数为3+4+2+2=11，

∴从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为43+4+2+2=411．

故答案为：411．【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，S△PAO=12|k|，

即12|k|=2，

解得：k=±4；

∵函数图象位于第一、三象限，

∴k>0，

故k=4，

故答案为：【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=40°，

∴∠B=∠ADC=40°，

∵AE=AB(已知)，

∴∠E=∠B=40°(等边对等角)，

即∠E的度数为40°．

故答案为：40°．

17.【答案】原式=(x+1x+1-3x+1)÷(x-2)2x+1

=x-2x+1⋅18.【答案】22【解析】8-(π-9)0-2219.【答案】∵PA//QN，

∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，

∴tan∠PMQ=PQQM，

∴QM=PQtan∠PMQ=PQtan60∘=2403=803≈138.4(米)，

在Rt△PQN中，20.【答案】(1)证明：如图，连接AE，

∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，

∴AE=BE，

∵BE=AC，

∴AE=AC，

∵H为EC中点，

∴AH⊥BC；

(2)∵AE=BE，∠B=36°，

∴∠EAB=∠B=36°，

∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°，

∵AE=AC，

∴∠C=∠AEC=72°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠B=72°．

21.【答案】∵∠ABC=80°，∠ACB=60°，

∴∠A=40°，

∵∠C是公共角，

∴只要作∠DBC=∠A即可，

恰好∠ABC=2∠DBC，

∴作∠ABC的角平分线即可．

如图所示：△ABC∽△BDC．

22.【解析】(1)九年级(1)班的学生人数12÷30%=40(人)，

投中2次的人数为：40-2-12-4=22(人)，

扇形统计图中n=2240×100%=55%，

故答案为：55；

(2)440×360°=36°，

故答案为：36°；

(3)如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到2名男生的情况有2种，

223.【解析】(1)设购进A种礼品盒的单价是x元，B种礼品盒的单价是y元，

由题意得：10x+15y=28006x+5y=1200，

解得：x=100y=120，

答：购进A种礼品盒的单价是100元，B种礼品盒的单价是120元；

(2)设购进A种礼品盒m盒，则购进B种礼品盒(40-m)盒，

由题意得：100m+120(40-m)≤4500，

解得：m≥15，

答：至少购进A种礼品盒15盒；

(3)设销售利润为w元，

由题意得：w=20m+36(40-m)=-16m+1440，

∵-16<0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m=15时，w有最大值，最大值=-16×15+1440=1200，

此时，40-m=25，

答：购进A种礼品盒15盒，B种礼品盒25盒才能使销售利润最大，最大利润是120024.【解析】(1)由题意知，BC=BM，

∵∠ABC=66°，

∴∠BMC=∠BCM=57°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACM=∠ACB-∠BCM=90°-57°=33°；

(2)证明：连接CD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵AC为过C点的切线，

过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，

∴DE=CE，

∴∠EDC=∠ECD，

∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE，

∴AE=CE；

(3)连接CD，

由(1)(2)可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°-∠B，

∴tan∠DCB=tan∠A=34=BDCD，

∴设BD=3x，CD-4x，则BC=BM=5x，

∵tan∠A=34=CDAD=4xAD=BCAC=5xAC，25.【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=∠C=∠D=90°，

∵将△BCE绕B点旋转，使B