安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高一下学期春季联赛试题 数学 PDF版含解析

安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高一)本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。2.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知集合A={x|2x²-3x≤2},,则A∩B=()A.f(2025)=0B.f(x)的周期为6C.f(x)图象关于直线对称D.f(x—6)是奇函数5.已知函数,实数a,b满足f(a)—f(—b)>0,则下列说法正确的是()A.a²>b²B.a²<b²C.a+b>06.已知函数,且函数f(x)的相邻最高点与最低点之间的直线距离为√5+π²,若Vx∈R,f(xn)≥f(x),则sinxn=7.定义,若函数f(x)=min{x²—tx+t+3,2¹-4},当关于x的方程f(x)=0至少有3个不同的实数根时，则实数t的取值范围是()BDD二、选择题(本题共3小题，第9题为选考题，请考生任选一题作答。每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。)9.【选考人教版—复数】已知复数(i为虚数单位),则下列说法正确的是()【选考北师大版——百分位数】现有一组数据1,2,5,7,10,则下列说法正确的是()A.这组数据的极差为8B.这组数据的平均数为5C.这组数据的第60百分位数为5D.这组数据的第60百分位数为610.在锐角△ABC中，下列结论一定成立的是()A.sinA>cosBB.tanA+tanB+tanC=taC.1+sin²C<cos²B+sin²AD.sin²A-sin²B=sin11.已知O为坐标原点，非零向量OA=(m,n),其中m²+n²=1,将OA绕着点O沿逆时针方向旋转θ角得到向量OB,点P满足AP=2PB,则下列说法正确的是()A.若构成△OAB,则△OAB面积的最大值为 B.OB在OA方向上的投影向量为(mcosθ,nsinθ)D.|OP|的最小值为考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。第14题为选考题，请考生任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分。)12.定义在R上的函数f(x),满足f(—3)>f(2),且对Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)成立.请写出一个满足上述条件的函数f(x)=13.已知a>b>0,的最小值为14-1.【选考人教版——球】勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”,它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体ABCD的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示.已知正四面体ABCD的内切球的半径,若在勒洛四面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零件棱长的最大值为乙14-2.【选考北师大版——古典概型】一个不透明的盒子里装有规格完全相同的5个小球，编号分别为1,2,3,4,5,现采用有放回的方式摸球3次，每次摸出1个小球，其中第3次是先拿出编号为1,3,5的三个小球后再摸球一次，则这三次摸到的小球号码之和为偶数的概率四、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)15.(13分)(1)若c=√2,求b;16.(15分)如图，已知扇形AOB的圆心角为,半径为1,点E,F分别是弧AB上的三等分点，连接(2)求BE·AF.17.(15分)已知函数,g(x)=Inx,其中e为自然对数的底数.(1)若f(x)在区间(1,2)上有零点，求实数a的取值范围；(2)求y=[g(x)]²-g(ex)-1,x∈[1,e²]的值域；(3)若x。是方程x²eˣ+g(x)=0范围.(选考题)(17分)(请考生从18-1,18-2两题中任选一题作答，若两题都答，则以所做的第一题计分。)18-1.【选考人教版——立体几何】点，将△BCE沿着CE翻折成△PCE,使得第18-1题图(2)若点M,N分别为棱AP和PC的中点，求四面体M-DEN的体积；(3)求平面PAE与底面AECD所成二面角的余弦值.18-2.【选考北师大版——统计和概率】随着新能源汽车的不断普及，城市街道上的绿色牌照车辆日益增多，悄然改变着人们的出行方式。为了研究购买新能源汽车的人群年龄分布，现从某品牌新能源汽车近一年的销售情况中随机抽取了100位顾客的基本信息，按年龄(单位：岁)分组，分为5组，依次是(20,30),(30,40),(40,50),[50,60],(60,70),整理可得到如下的频率分布直方图.用样本的数字特征来估计总体的数字特征，请完成以下问题(1)求a;(2)估计该品牌新能源汽车的购买人群的平均年龄；(3)经计算可知，样本数据中年龄位于(50,60)内的方差为12,年龄位于(60,70)内的方差为10,请估计该品牌新能源汽车的购买人群的年龄在50岁以上的方差.第18-2题图19.(17分)已知集合A={1,2,3,…n}.对于A的非空子集S,定义函数f(S)为S中所有元素的最大公约数(gcd),例如gcd(2)=2,gcd(1,2)=1,gcd(2,6,12)=2.请解决以下问题.(1)当n=6时，求满足f(S)=1的二元集合S的个数；(2)证明：当n为质数时，且S至少含有2个元素时，则f(S)=1的充要条件是S中存在两个互质的元素；(3)当n=10时，求所有满足f(S)=1的非空子集S的个数.安徽省示范高中培优联盟2025年春季联赛(高一)12345678CCDBDABB9一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】a²+b²≤2ab⇔(a-b)²≤0⇔a=b,即p与q等价，所以p是q的充要条件.2.【答案】C【解析】则A∩B={x|0<x≤2},故答案选C3.【答案】D4.【答案】B【解析】由f(1+x)=-f(2-x)得f(1+x)+f(2-x)=0,则函数f(x)图象关于点)对称，所以答案C错误；又因为f(x)为偶函数，则易得f(x)的周期为6,故答案B正确；f(x-6)为偶函数，答案D错误；f(2025)=f(3)=f(0),不一定为0,故答案A错误.5.【答案】D【解析】,定义域为(-1,1),由得，f(x)为奇函数，则f(x)在定义域内单调递减；由f(a)-f(-b)>0得-1<a<-b<1,故答案D正确.6.【答案】A【解析】由)可知，T=2π,函数f(x)相邻最高点与最低点之间的直线距离为√5+π²,即有,解得a=1.所以.对Vx∈R,f(x。)≥f(x),则在x₀处取最大值，即有sin(x+φ)=1,即数学试题第1页(共7页)数学试题第2页(共7页)7.【答案】B【解析】(方法一)易知方程2-4=0只有两个实数根，分别为x=-2和x=2,故方程x²-tx+t+3=0至少有一个实数根，下面分情况讨论：当△=t-4(t+3)=0时，即t=6或t=-2时，方程只有一个根，若t=6,则根为x=3,符合题意；若t=-2,则根为x=-1,结合取小函数图象可知，方程f(x)=0只有两个根，不符合题意；当△=t²-4(t+3)>0时，即t>6或t<-2时，方程x²-tx+t+3=0有两个不相等的实数根，分别设为x,x₂,并且x₁<x₂,结合取小函数图象，当2≤x₁<x₂或x<x₂≤-2时，方程f(x)=0至少有3个不同的实数根，则或,解得6<t≤7;则实数t的取值范围是[6,7],故答案B正确.(方法二)代入特殊值，排除法CP=在△APC中，由余弦定理可知，AC²=CP²+AP²-2·CP·AP·cos60°,计算得再由余弦定理可知，AP²=CP²+AC²-2·CP·AC·cosθ,带入计算得(方法二)此点为布洛卡点，故由余弦定理可证(a²+b²+c²)·tanθ=4SABC,所以展开即可.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。9.【答案】(人教版)BD;(北师大版)BD.【解析】(人教版),故(北师大版)这组数据的极差为10-1=9,这组数据的平均数为(1+2+5+7+10)÷5=5,因为5×60%=3,数学试题第3页(共7页)故取从小到大排列的第3和第4个数的平均数，即故BD正确.【解析】由得则即sinA>cosB,故A正确；由变形得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故答案B正确；因为△ABC为锐角三角形，所以a²<b²+c²,则sin²A<sin²B+sin²C,sin²A<sin²C+(1-cos²B),故答案C错误；sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+cosAsin=(sinAcosB)²-(cosAsinB)²=sin²A(1-sin²B)-(1-sin²A)sin²B=sin²A-sin²B,故答案D正确；故ABD正确.【解析】本题改编自人教版习题6.4的第11题.选项A,易知△OAB为等腰三角形，且|OAHOB|=1,所以△OAB面积的最大值为,此时θ=90°,选项B,OB在OA方向上的投影向量为xg=|OB|=cos(a+θ)=cosacosθ-sinasinθ=mcosyB=|OB₂F=sin(a+θ)=sinacosθ+cosasinθ=msinθ+ncosθ,选项D,因为AP=2PB,且O,A,B三点不共线，故,平方得.故ACD正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】f(x)=x²,f(x)=x(答案不唯一)【解析】由Vx,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y)可知，幂函数f(x)=x”满足性质；再由f(-3)>f(2)可知该幂函数在R上不是单调函数，故可填f(x)=x².(答案不唯一)13.【答案】数学试题第4页(共7页)【解析】令a+2b=m,则m>0,a-b=n,则n>0;由可解,带入原式可得,当且仅当,即m=√2n时取等，的最小值14.【答案】(人教版)(北师大版)【解析】(人教版)由正四面体ABCD的内切球的半径为可得该正四面体的棱长为2,正方体零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，不难得到当零件棱长最大时，该正方体内接于勒洛四面体的内切球.勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，如图，点0为该球的球心，易知该球的球心0为正四面体ABCD的中心，半径为OE,连接BE,易知B,O,E三点共线，且BE=2,,所以,即勒洛四面体的内切球的半径为,则该内切球的内接正方体的棱长为.,即该正方体零件的棱长的最大值为：(北师大版)(方法一)前两次小球的号码之和必为偶数，即前两次都为奇数或者偶数.(方法二)由列表法可知前两次有放回的摸球号码之和号码之和第一次小球的号码12345第二次小球12345623456734567845678956789之和也必为偶数，由表格可知此概率为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【解析】(1)如图15-1,当c=√2时，(2)如图15-2,当BD=2DC时，即所以(6分)(8分)(10分)(13分)图15-1图15-216.(15分)【解析】(1)因为点E,F分别是弧AB上的三等分点，所以,(2分)所以OF=OA+√2OB,(注：建立平面直角坐标系亦可做)17.(15分)(6分)(10分)(15分)即(4分)(2)y=[g(x)]²-g(ex)-1=(Inx)²-In(ex)-1=(Inx)²-I(3)若x是方程x²eˣ+g(x)=0的根，则数学试题第5页(共7页),即Inx₀=-x₀,(13分)18.(17分)(人教版)【解析】(1)取CE的中点为Q,(2)连接AC交DE于点G,连接MG,在四边形AECD中，由AE//CD,AE=CD,可得四边形AECD为平行四边形，所以点G为AC的中点，又因为M为AP的中点，所以MG是三角形PAC的中位线，故MG//PC,所以VM-DEN=VN-MDE=Vc-MDE=VM-CDE,(7分)过点P作底面AECD的垂线，交DQ延长线于点0,在直角△POQ中，(11分)(3)由(2)可知，PO⊥底面AECD,延长AE,过点0作AE延长线的垂线，交点记为T,连接PT,因为PO⊥底面AECD,所以PO⊥AE,又因为P在直角所以(北师大版)(1)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1,则(2a+3a+7a+0.030+2a)×10=1,解得a=0.005.(4分)岁.(8分)数学试题第6页(共7页)(3)先计算样本数据中年龄位于[50,70]内的平均数为根据方差的定义，记年龄位于[50,60]内的平均数为x=55,方差为s²=12,人数为30,年龄位于[60,70]内的平均数