上海高中2025届高二下数学期末综合测试试题含解析

上海高中2025届高二下数学期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B．C． D．2．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的点，且，若坐标原点到直线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3．展开式中的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．354．若全集，集合，则（）A． B． C． D．5．已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A． B．C． D．6．如果（，表示虚数单位），那么()A．1 B． C．2 D．07．设等比数列的前n项和为，公比，则（）A． B． C． D．8．圆ρ=8sinθ的圆心到直线A．2 B．3 C．2 D．29．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c10．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－811．某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,从001到200,抽取学号最后一位为2的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为()A．分层抽样,简单随机抽样 B．简单随机抽样,分层抽样C．分层抽样,系统抽样 D．简单随机抽样,系统抽样12．给出下列三个命题：①“若，则”为假命题；②若为真命题，则,均为真命题；③命题，则.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，则的取值范围是________14．平面直角坐标系中点（1,2）到直线的距离为_________15．已知二项式展开式的第项与第项之和为零，那么等于____________.16．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，，求证：.18．（12分）如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．（1）求椭圆的离心率；（2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．19．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．参考公式：，参考数据：P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．（12分）已知函数（I）求在（为自然对数的底数）处的切线方程.（II）求的最小值.22．（10分）已知抛物线，过定点作不垂直于x轴的直线，交抛物线于A，B两点.（1）设O为坐标原点，求证：为定值；（2）设线段的垂直分线与x轴交于点，求n的取值范围；（3）设点A关于x轴的对称点为D，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求解不等式可得，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式可得，则：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误，选项D正确；故选：D.本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2、B【解析】

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】如图，，，依题意，，

且，可知三角形是一个等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化简得，

该双曲线的离心率为．

故选：B．本题主要考查余弦定理，双曲线的定义、简单几何性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．3、C【解析】

利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为则展开式的通项为则展开式中的项为则展开式中的系数为故选:C本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.4、C【解析】

分别化简求解集合U,A，再求补集即可【详解】因为，，所以.故选：C本题考查集合的运算，考查运算求解能力.5、D【解析】

求导得到，函数单调递减，故，解得答案.【详解】，则恒成立，故函数单调递减，，故，解得或.故选：.本题考查了根据导数确定函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.6、B【解析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．7、D【解析】

由等比数列的通项公式与前项和公式分别表示出与，化简即可得到的值【详解】因为等比数列的公比，则，故选D．本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，属于基础题。8、C【解析】

先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由ρ=8sinθ得x2+y直线tanθ=3的直角坐标方程为所以圆心到直线3x-y=0的距离为0-4故选：C本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、D【解析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大单调增，所以又因为所以b<a所以b<a<c.故选D．10、C【解析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.11、D【解析】第一种抽样是简单随机抽样，简单随机抽样是指从样本中随机抽取一个，其特点是容量不要太多．第二种是系统抽样，系统抽样就是指像机器一样的抽取物品，每隔一段时间或距离抽取一个．而分层抽样，必需是有明显的分段性，然后按等比例进行抽取．故选D12、B【解析】试题分析：①若，则且，所以①正确；②若为真命题，则，应至少有一个是真命题，所以②错；③正确．考点：1.四种命题；2.命题的否定．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.14、【解析】

根据点到直线的距离公式完成计算即可.【详解】因为点为，直线为，所以点到直线的距离为：.故答案为：.本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易.已知点，直线，则点到直线的距离为：.15、1【解析】

用项式定理展开式通项公式求得第4项和第5项，由其和为0求得．【详解】二项式展开式的第项为，第5项为，∴，解得．故答案为：1．本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，属于基础题．16、19【解析】按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2），就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，，当时，，当时，，故的极大值为.（2），①若时，则，是区间上的增函数，∵，，∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是．（3）由已知得，所以，故等价于即．不妨设，令，，则，在上为单调增函数，所以即，也就是，故原不等式成立．点睛：导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式．18、（1）；（2）．【解析】

（1）由可得，计算进而得答案。（2）设直线的方程，联立方程组，利用韦达定理，代入的面积公式计算整理即可。【详解】（1），，，，，解得，，故．（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①易求直线的斜率为，故可设直线的方程为：．②由①②消去得．，．于是的面积，．因此椭圆的方程为，即本题考查椭圆的离心率以及通过弦长公式求椭圆的相关量，属于一般题。19、（1）见解析（2）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．20、(1)身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．【解析】

（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.【详解】（Ⅰ）填写列联表如下：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计5050100（Ⅱ）K2的观测值为≈1.333＜3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系．本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值