上海市虹口区复兴高级中学2024-2025学年高二下数学期末检测试题含解析

上海市虹口区复兴高级中学2024-2025学年高二下数学期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共个,其中白球个.从中任取两个,则概率为的事件是(

).A．没有白球 B．至少有一个白球C．至少有一个红球 D．至多有一个白球2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为33．已知满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．不等式的解集为（）A． B．C． D．5．已知集合，，那么()A． B． C． D．6．设，则（）A． B．10 C． D．1007．已知函数在恰有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变9．设，则=A．2 B． C． D．110．已知展开式中项的系数为5，则＝（）A． B．π C．2π D．4π11．已知函数的导函数为，且满足，则（）A． B． C．2 D．-212．已知随机变量，若，则分别是（）A．6和5.6 B．4和2.4 C．6和2.4 D．4和5.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图，又已知全市高一年级共交稿份，则高三年级的交稿数为________.14．如图，在平面四边形中，，，，.若点为上的动点，则的最小值为______.15．对于任意的实数,记为中的最小值.设函数，，函数,若在恰有一个零点,则实数的取值范围是____________.16．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．18．（12分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：时间（分钟）次数814882以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求的分布列和期望.（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.19．（12分）已知函数，，若且对任意实数均有成立．（1）求表达式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数当时，求函数在处的切线方程；当时，求函数的最大值。21．（12分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.22．（10分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(22,π4)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2、D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3、D【解析】由题意，令，所以，所以，因为，所以所以所以，故选D.4、D【解析】

利用指数函数的单调性，得到关于的一元二次不等式，解得答案.【详解】不等式，转化为，因为指数函数单调递增且定义域为，所以，解得.故不等式的解集为.故选：D.本题考查解指数不等式，一元二次不等式，属于简单题.5、C【解析】

解出集合B，即可求得两个集合的交集.【详解】由题：，所以.故选：C此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合交集运算法则求解.6、B【解析】

利用复数的除法运算化简为的形式，然后求得的表达式，进而求得.【详解】，，.故选B.本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题.7、B【解析】

本题可转化为函数与的图象在上有两个交点，然后对求导并判断单调性，可确定的图象特征，即可求出实数的取值范围.【详解】由题意，可知在恰有两个解，即函数与的图象在上有两个交点，令，则，当可得，故时，；时，.即在上单调递减，在上单调递增，，，，因为，所以当时，函数与的图象在上有两个交点，即时，函数在恰有两个零点.故选B.已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.8、D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题9、C【解析】

先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．【详解】因为，所以，所以，故选C．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．10、B【解析】

通过展开式中项的系数为列方程，解方程求得的值.利用几何法求得定积分的值.【详解】展开式中项为即，条件知，则；于是被积函数图像，围成的图形是以为圆心，以2为半径的圆的，利用定积分的几何意义可得，选B.本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题.11、D【解析】试题分析：题中的条件乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了．对进行求导：=，所以，-1.考点：本题考查导数的基本概念及求导公式．点评：在做本题时，遇到的主要问题是①想不到对函数进行求导；②的导数不知道是什么．实际上是一个常数，常数的导数是0.12、B【解析】分析：根据变量ξ～B（10，0.4）可以根据公式做出这组变量的均值与方差，随机变量η=8﹣ξ，知道变量η也符合二项分布，故可得结论．详解：∵ξ～B（10，0.4），∴Eξ=10×0.4=4，Dξ=10×0.4×0.6=2.4，∵η=8﹣ξ，∴Eη=E（8﹣ξ）=4，Dη=D（8﹣ξ）=2.4故选：B．点睛：本题考查变量的均值与方差，均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，属于基础题．方差能够说明数据的离散程度，期望说明数据的平均值，从选手发挥稳定的角度来说，应该选择方差小的.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

计算高三所占扇形圆心角度数，再根据比例关系求得高三年级的交稿数.【详解】根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为.且高一年级共交稿份，则高三年级的交稿数为（份），故选：D.本题考查扇形统计图的应用，解题时要根据扇形统计图的特点列等式求解，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】

建立直角坐标系，得出，，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，，所以又因为，所以当时，取得最小值为．本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程．15、或【解析】分析：函数可以看做由函数向上或向下平移得到，在同一个坐标系中画出和图象即可分析出来详解：如图，设，所以函数可以看做由函数向上或向下平移得到其中在上当有最小值所以要使得,若在恰有一个零点,满足或所以或点睛：函数问题是高考中的热点，也是难点，函数零点问题在选择题或者填空题中往往要数形结合分析比较容易，要能够根据函数变化熟练画出常见函数图象，对于不常见简单函数图象要能够利用导数分析出其图象，数形结合分析.16、[1，＋∞)【解析】函数在区间上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）先求得直线的斜率和的中点，进而求得斜率，利用点斜式得直线方程．（2）设出圆心的坐标，利用直线方程列方程，利用点到直线的距离确定和的等式综合求得和，则圆的方程可得．【详解】（1）直线的斜率，的中点坐标为直线的方程为（2）设圆心，则由点在上，得．①又直径，，．②由①②解得或，圆心或圆的方程为或本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生基础知识的综合运用能力．18、（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元.【解析】试题分析：（1）首先求为最优选择的概率是，故ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），进而求得分布列和期望值；（2）根据题意得到每次花的平均时间为35.5，根据花的费用为10+35.5*0.1得到费用.解析：（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），，，，，，∴ξ的分布列为：ξ01234P（或）．（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间（分钟）每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元．一个月的平均用车费用约为542元．19、（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据可以得到与的关系，将中代换成表示，再根据对任意实数均有成立，列出关于的不等式，求解得到的值，进而得到的值，即可求得的表达式；（2）为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于的不等关系，求解即可得到实数的取值范围.试题解析：(1）∵,∴．∵，∴，∴，∴．∵恒成立，∴∴∴，从而，∴．(2）．∵在上是单调函数，∴或，解得，或．∴的取值范围为．点睛：本题考查了求导公式求函数的导函数，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法，数形结合法解决，同时考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，试题有一定的综合性，属于中档试题.20、（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解析】

（1）当时，，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；（2）求函数的导数，讨论，，三种情况函数的单调性，得到函数的最大值.【详解】解：当时，，，所以切线方程为，即当时，当，，单调递增，此时，当时，当，，单调递减，当，，单调递增，此时,又，所以当时，当时，.当时，当，，单调递减，此时综上，当时，，当时，.本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当时，根据函数的单调性可知函数的最大值是或，需做差讨论得到和的大小关系.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）在内过点作，根据题意得到，进而可得出结论；（2）过点作于点，连接，得到即是直线与平面所成角，根据题中条件，求出，，由余弦定理得到，进而可求出结果.【详解】（1）在内过点作，因为，，且，所以，因为，所以；（2）