上海市宝山区同济中学2025年数学高二第二学期期末复习检测试题含解析

上海市宝山区同济中学2025年数学高二第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个盒子里有6支好晶体管，5支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（）A．23B．512C．72．由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．3．已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．4．函数（，）的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B． C． D．5．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是A． B． C． D．6．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．A．420 B．180 C．64 D．257．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（）A． B．C． D．8．设，则的值为（）A．29 B．49C．39 D．599．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，，则（）A．2 B． C． D．410．在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（）A．21 B．63 C．189 D．72911．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③12．设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：①若，则②若，，则③若，，则④若，，则.其中真命题的序号为（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知可导函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为__________．14．下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．15．椭圆（为参数）的焦距为________.16．已知函数，其中，若只有一个零点，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.若是的极值点.(1)求在上的最小值；(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值.18．（12分）已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数在区间上的最大值与最小值之差为5，求实数的值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）求此函数的单调区间；（2）设．是否存在直线（）与函数的图象相切？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．21．（12分）为了响应党的十九大所提出的教育教学改革，某校启动了数学教学方法的探索，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班40人，甲班按原有传统模式教学，乙班实施自主学习模式.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀.0.100.050.0252.7063.8415.024（1）完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班合计大于等于80分的人数小于80分的人数合计（2）从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.22．（10分）某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团

未参加演讲社团

（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为59考点：等可能事件的概率．2、C【解析】

作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。【详解】如下图所示，联立，得，则直线与曲线交于点，结合图形可知，所求区域的面积为，故选：C。本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。3、C【解析】

设为边的中点，由双曲线的定义可得，因为正三角形的边长为，所以有，进而解得答案。【详解】因为边的中点在双曲线上，设中点为，则，,因为正三角形的边长为，所以有，整理可得故选C本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出的关系式，属于一般题。4、A【解析】

利用，求出，再利用，求出即可【详解】，，，则有，代入得，则有，，，又，故答案选A本题考查三角函数的图像问题，依次求出和即可，属于简单题5、D【解析】

法一：考查四个选项，发现有两个特殊值区分开了四个选项，0出现在了A，B两个选项的范围中，出现在了B，C两个选项的范围中，故通过验证参数为0与时是否符合题意判断出正确选项。法二：根据题意可将问题转化为在上有解，分离参数得到，，利用导数研究的值域，即可得到参数的范围。【详解】法一：由题意可得，，而由可知，当时，＝为增函数，∴时，．∴不存在使成立，故A，B错；当时，＝，当时，只有时才有意义，而，故C错．故选D．法二：显然，函数是增函数，，由题意可得，，而由可知，于是，问题转化为在上有解．由，得，分离变量，得，因为，，所以，函数在上是增函数，于是有，即，应选D．本题是一个函数综合题，方法一的切入点是观察四个选项中与不同，结合排除法以及函数性质判断出正确选项，方法二是把问题转化为函数的最值问题，利用导数进行研究，属于中档题。6、B【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法，根据乘法原理可得结论．详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种，D有3种涂法∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案．故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．7、C【解析】

根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.8、B【解析】

根据二项式特点知，，，，，为正，，，，，为负，令，得.【详解】因为，，，，为正，，，，，为负，令，得，故选：B.本题主要考查了二项式的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【详解】所以本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题．10、C【解析】分析：令得各项系数和，由已知比值求得指数，写出二项展开式通项，再令的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意，解得，∴，令，解得，∴的系数为．故选C．点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在的展开式中二项式系数和为，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为．11、B【解析】

说法①：可以根据线面平行的判定理判断出本说法是否正确；说法②：根据线面垂直的性质和面面平行的判定定理可以判断出本说法是否正确；说法③：当与相交时，是否在平面内有不共线的三点到平面的距离相等，进行判断；说法④：可以通过反证法进行判断.【详解】①平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知②正确；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.本题考查了线线位置关系、面面位置关系的判断，分类讨论是解题的关键，反证法是经常用到的方程.12、D【解析】

由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的命题：①如图所示，正方体中，取平面为平面，平面，直线为，满足，，但是不满足，题中所给的命题错误；②由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确；③如图所示，正方体中，取平面为，直线为，直线为，满足，，但是，不满足，题中所给的命题错误；④由面面垂直的性质定理可知若，，则，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为②④.本题选择D选项.本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据为奇函数得到关于对称，，关于对称，所以关于对称，计算得到答案.【详解】函数为奇函数关于对称函数满足关于对称关于对称恰有个零点所有这些零点之和为：故答案为：本题考查了函数的中心对称，找出中心对称点是解题的关键.14、【解析】

按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…找到规律及可求出。【详解】按照如图排列的规律，第行（）从左向右的第3个数分别为，1,3,6,10,15,21，…由于，，，，则第行（）从左向右的第3个数为。本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题。15、1【解析】

根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的几何性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），则其标准方程为y1＝1，其中a，b＝1，则c1，则椭圆的焦距1c＝1；故答案为：1．本题考查椭圆的参数方程，椭圆简单的几何性质，关键是将椭圆的参数方程变形为普通方程．16、【解析】

把表示成分段函数，将一个零点问题转化成一个交点问题，作出图形，从而得到答案.【详解】由题意，当时，，当时，；而的只有一个零点可转化为与直线只有一个交点，作出图形，，此时，斜率越来越小时，无交点，斜率越来越大时，有一个交点，故的取值范围是.本题主要考查分段函数的图像，零点问题，将零点问题转化成交点问题是解决本题的关键，意在考查学生的作图能力，分析能力，难度中等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）2.【解析】分析：（1）求出函数的导数，求出a的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；（2）问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k的范围即可.详解：（1），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此时，，令，，，令，，在单调递增，且，，在时，，，由，，又，且，所以的最大值为2.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.18、（1）；（2）；（3），【解析】

（1）令由得进而求解；（2）由（1）知在上单调递增，进而求解；（3）根据指数函数的图象特征，将不等式恒成立转化为函数图象的交点问题．【详解】（1）令，则，解得，即（2）由（1）知，，在上单调递增，，，解得或（舍。（3），即令，，由和函数图象可知，对，恒成立，，在，为增函数，且图象是由向右平移3个单位得到的，所以在，恒成立，只需，即，的取值范围为，.本题考查指数型不等式、二次函数的图象和性质、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和（2）存在，的值是．【解析】

（1）求导数，利用导数的正负，即可求此函数的单调区间；（2）假设存直线与函数的图象相切于点，则这条直线可以写成，与直线比较，即可得出结论．【详解】解：（1）∵，∴．令，得，解之，得；令，得，解之，得，或．∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．（2）∵，，∴．∴．假设存直线与函数的图象相切于点（），则这条直线可以写成．∵，，∴．即．∴解之，得所以存在直线与函数的图象相切，的值是．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20、（1），（2）1【解析】

（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得