吉林省长春市榆树第一高级中学2024-2025学年高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

吉林省长春市榆树第一高级中学2024-2025学年高二数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从某企业生产的某种产品中随机抽取件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：质量指标分组频率则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（）A．， B．， C．， D．，2．若是第四象限角，，则（）A． B． C． D．3．曲线在处的切线的斜率为（）A． B． C． D．4．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．5．设随机变量，若，则（）A． B． C． D．6．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．7．过点作曲线的切线，则切线方程为（）A． B．C． D．8．定积分（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知复数,则的共轭复数()A． B． C． D．10．一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（）A． B． C． D．11．若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g(x)＝的图象是()A． B． C． D．12．若关于x的不等式对任意的恒成立，则可以是（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，满足如下条件：①第行首尾两数均为；②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第行的第2个数是__________．14．当双曲线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．15．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．16．除以9的余数为_______；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）求函数的最大值.18．（12分）在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.（1）求椭圆的离心率及标准方程；（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由19．（12分）各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．（1）求的通项公式：（2）若数列满足，求的前项和．20．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）求的解集.21．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级ABCD规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．22．（10分）已知函数.（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据频率分布表可知频率最大的分组为，利用中点值来代表本组数据可知众数为；根据中位数将总频率分为的两部分，可构造方程求得中位数.【详解】根据频率分布表可知，频率最大的分组为众数为：设中位数为则，解得：，即中位数为：本题正确选项：本题考查利用样本的数据特征估计众数和中位数的问题，关键是明确众数和中位数的概念，掌握用样本估计总体的方法.2、C【解析】

确定角所处的象限，并求出的值，利用诱导公式求出的值．【详解】是第四象限角，则，，且，所以，是第四象限角，则，因此，，故选C．本题考查三角求值，考查同角三角函数基本关系、诱导公式的应用，再利用同角三角函数基本关系求值时，要确定对象角的象限，于此确定所求角的三角函数值符号，结合相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．3、B【解析】

因为，所以.故选B.4、D【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.5、A【解析】

根据对立事件的概率公式，先求出，再依二项分布的期望公式求出结果【详解】，即，所以，，故选A．本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键．6、A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.7、C【解析】

设出切点坐标求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由，得，

设切点为

则，

∴切线方程为，

∵切线过点，

∴−ex0＝ex0(1−x0)，

解得：．

∴切线方程为，整理得：.故选C.．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．8、B【解析】

直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】.故选：.本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力.9、A【解析】

对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.【详解】因为，所以，所以的共轭复数故选A项.本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.10、B【解析】

由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.【详解】由题意，得，又，所以，故选B.本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.11、C【解析】本题考查指数型函数的奇偶性，单调性；对数函数的图像及图像的平移变换.因为是奇函数，所以恒成立，整理得：恒成立，所以则又函数在R上是增函数，所以于是函数的图像是由函数性质平移1个单位得到.故选C12、D【解析】

分别取代入不等式，得到答案.【详解】不等式对任意的恒成立取得：取得：排除A,B,C故答案为D本题考查了不等式恒成立问题，用特殊值法代入数据是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

归纳前几行的第二个数，发现，第行的第2个数可以用来表示，化简上式由此可以得到答案．【详解】由图表可知第行的第2个数为：．故答案为：．本题是一道找规律的题目，考查归纳推理，掌握归纳推理找规律的方法是解题的关键．14、【解析】

求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程．【详解】解：双曲线M：，显然，双曲线的离心率，当且仅当时取等号，此时双曲线M：，则渐近线方程为：．故答案为：．本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．15、390【解析】

用2色涂格子有种方法,

用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有种,

所以涂色方法种方法,

故总共有390种方法.

故答案为:39016、【解析】

将变为，利用二项式定理展开可知余数因不含因数的项而产生，从而可知余数为.【详解】由题意得：除以的余数为：本题正确结果：本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）3【解析】

（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.【详解】⑴①当x＜-1时，；②当-1≤x≤2时，，；③当时，，；综上，不等式的解集为；⑵，由其图知，.(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.18、（1），；（2）在定点【解析】

（1）根据椭圆的焦点得到，根据椭圆过点，由椭圆的定义得到，再求出，从而得到椭圆的离心率和标准方程；（2）设，，则，，利用点差法，得到，从而表示出线段的垂直平分线，再根据直线过定点，得到关于的方程组，得到定点的坐标.【详解】（1）设椭圆方程：.∴.∵椭圆经过点，∴，∴，可得.椭圆的离心率为，椭圆标准方程：.（2）设，，因为为中点，则，.∵、在曲线上，∴，将以上两式相减得：.所以得到，∴线段的垂直平分线方程：，整理得令，得故线段的垂直平分线过定点.所以存在定点，使恒成立.本题考查根据椭圆定义求椭圆标准方程和离心率，直线与椭圆的位置关系，点差法表示线段垂直平分线，椭圆中直线过的定点，属于中档题.19、(1)；(2)【解析】

（1）已知，可得，则，并验证时，是否满足等式，从而知数列是等差数列，求其通项即可。（2）因为=，是由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列，用错位相减法即可求和。【详解】（1）因为，①所以当时，②①-②得：，因为的各项均为正数，所以，且，所以由①知，，即，又因为，所以故，所以数列是首项为，公差为的等差数列（2）由（1）得，所以，③④③-④得，当且时，，；当时，由③得综上，数列的前项和本题主要考查了等差数列，等比数列以及数列的求和。利用等比数列求和公式时，当公比是字母时，要注意讨论公式的范围。属于中档题。20、（1）在为增函数；（2）【解析】

（1）首先求出的导数，并且求出时的斜率，根据点处的切线与直线垂直即可求出，再对求二阶导数即可判断的单调区间。（2）根据（1）的结果转化成求的问题，利用单调性求解即可。【详解】（1）曲线在点处的切线与直线垂直.令当时为增函数，当时为减函数。所以所以，所以在为增函数（2）令，因为在为增函数，所以在为增函数因为，所以不等式的解集为本题主要考查了根据导数判断函数的单调性以及两条直角垂直时斜率的关系。在解决导数问题时通常需要取一些特殊值进行判断。属于难题。21、（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）【解析】

由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】由题意知，样本容量，，；因为成绩是合格等级人数为：人，抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，从这8人中随机抽取2人，基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；至少有一名是A等级的基本事件是：AB、AC、Ad、Ae、