云南省保山市昌宁一中2025年高二下数学期末质量检测试题含解析

云南省保山市昌宁一中2025年高二下数学期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（）A． B．C． D．复数在复平面内表示的点在第四象限2．函数的图象可能是（）A． B．C． D．3．已知点，则它的极坐标是（）A． B．C． D．4．已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（）A． B．C． D．5．已知点P的极坐标是，则过点P且平行极轴的直线方程是A． B． C． D．6．若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）A．和 B．和 C． D．7．已知，若；，．那么p是q的（）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件8．函数y=x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）9．在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A．1 B． C． D．10．设，由不等式，，，…，类比推广到，则()A． B． C． D．11．某公司在年的收入与支出情况如下表所示：收入（亿元）支出y（亿元）根据表中数据可得回归直线方程为，依此名计，如果年该公司的收入为亿元时，它的支出为（）A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元12．曲线在点处的切线方程是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．随机变量的分布列如下：若，则__________.14．如图，正方体中，E为线段的中点，则AE与所成角的余弦值为____．15．已知等比数列为递增数列.若，且，则数列的公比__________.16．的二项展开式中含的项的系数是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）对任意正整数n，设表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，表示数列的前n项和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常数s，t，使得对一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.18．（12分）已知函数f(x)=m（1）当n-m=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数g(x)=f(x)-3m2x2的两个零点分别为x1,x2(19．（12分）（1）当时，求证：；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知，函数.（1）若，求的值；（2）若，求的单调递增区间.21．（12分）已知四棱锥的底面是正方形，底面.（1）求证：直线平面；（2）当的值为多少时，二面角的大小为？22．（10分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点（不与原点重合）处的切线交椭圆于、两点，线段的中点为.直线与过点且平行于轴的直线的交点为，证明：点必在定直线上.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由复数的乘法除法运算求出，进而得出答案【详解】由题可得，在复平面内表示的点为，位于第二象限，，故A,C,D错误；，，故B正确；本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题．2、A【解析】

求导，判断导函数函数值的正负，从而判断函数的单调性，通过单调性判断选项.【详解】解：当时，，则，若，，，若，，，则恒成立，即当时，恒成立，则在上单调递减，

故选：A.本题主要考查函数的图象，可以通过函数的性质进行排除，属于中档题.3、C【解析】

由计算即可。【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。4、B【解析】

利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.5、D【解析】分析：把点的极坐标化为直角坐标，求出过点且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点的极坐标化为直角坐标为故过点且平行极轴的直线方程是，

化为极坐标方程为，

故选D．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题．6、A【解析】由得函数一条对称轴为,因此,由得,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴7、C【解析】

转化，为，分析即得解【详解】若命题q为真，则，等价于因此p是q的充分不必要条件故选：C本题考查了充分必要条件的判定，及存在性问题的转化，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.8、B【解析】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域9、D【解析】

通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值．【详解】在中，又所以为AD的中点故选D．本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．10、D【解析】由已知中不等式：归纳可得：不等式左边第一项为，第二项为，右边为，故第个不等式为：，故，故选D.【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11、B【解析】，，代入回归直线方程，，解得：，所以回归直线方程为：，当时，支出为亿元，故选B.12、D【解析】

求导得到，故，计算切线得到答案.【详解】，，，所以切线方程为，即.故选：.本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值，最后利用方差的计算公式可求出的值。【详解】由题意可得，解得，因此，，故答案为：。本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题。14、；【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AE与CD1所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，﹣2，2），设AE与CD1所成角为θ，则cosθ，∴AE与CD1所成角的余弦值为．故答案为．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15、2【解析】

本题可以点把转化为一个关于公比的一元二次方程，再根据递增数列得出结论。【详解】，或因为等比数列为递增数列所以要注意一个递增的等比数列，它的公比大于1。16、60【解析】

，令即可.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，故的项的系数是60.故答案为：60本题考查求二项展开式中的特定项的系数问题，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），，，，；（2），见解析.【解析】

（1）根据定义计算即可；（2）先由，，确定出s，t的值，再利用数学归纳法证明.【详解】（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以，4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用数学归纳法证明：①当时，，成立；②假设当（，）时，结论成立，即，那么当时，易知当n为奇数时，；当n为偶数时，.所以.所以当时，结论成立.综合①②可知，对一切且恒成立.本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.18、（1）见解析；（2）见解析【解析】

（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间，（2）先求导数得函数g(x)的图像在x=x【详解】（1）∵所以当m≤0时，f'(x)=0⇒x=1，所以增区间(0,1)当0<m<1时，f'(x)=0⇒x=1,x=1m>1当m=1时，f'(x)≥0，所以增区间当m>1时，f'(x)=0⇒x=1,x=1m（2）因为g(x)=f(x)-3m所以g'因此函数g(x)的图像在x=x0因为函数g(x)的两个零点分别为x1所以m即(m(所以g令h(t)=-lnt+所以h(t)<h(1)=0，从而g本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数证明不等式，考查综合分析求解能力，属难题.19、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据不等式的特征，分，，，构造，研究其单调性即可.（2）将当时，恒成立，转化为时，恒成立，当时，显然成立，当且时，转化为，，利用（1）的结论求解.【详解】（1）当时，原不等式左边与右边相等，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，当时，原不等式，等价于，令，所以，所以在上递增，，所以，综上：当时，；（2）因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，当时，显然成立，当且时，恒成立，由（1）知当且时，，所以，所以.实数的取值范围是.本题主要考查导数于函数的单调性研究不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】

（1）由得，解出即可（2）用三角函数的和差公式和二倍角公式将化为，然后求出即可【详解】（1）又，.（2），，，的单调递增区间为解决三角函数性质的有关问题时应先将函数化为基本型.21、(1)证明见解析；(2)1.【解析】分析：（1）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；（2）设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：（1）证明：∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴平面.（2）解：设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，则，，∴.设平面的法向量为，，令，又，则，∴.要使二面角的大小为，必有，∴，∴，∴.即当时，二面角的大小为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）由得出，再由得出，求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）设点的坐标为，根据中定义得出直线的方程，并设点、，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点的