北京市西城区市级名校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测模拟试题含解析

北京市西城区市级名校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上的最大值为（）A． B． C． D．2．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（）A． B．C． D．3．下列值等于1的积分是（）A． B． C． D．4．设集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,5．已知函数的导函数为，则（）A． B． C． D．6．设a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c7．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，()A． B． C． D．8．已知函数为奇函数,则（）A． B． C． D．9．若偶函数满足且时,则方程的根的个数是()A．2个 B．4个 C．3个 D．多于4个10．设命题，则为（）A． B．C． D．11．己知函数,若,则()A． B． C． D．12．如图，设D是边长为l的正方形区域，E是D内函数与所构成(阴影部分)的区域，在D中任取一点，则该点在E中的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，则___________．14．已知，区域满足：，设，若对区域内的任意两点，都有成立，则的取值范围是______.15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价（元）456789销量（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为，则实数______.16．若方程有实数解，则的取值范围是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设，已知，为关于的二次方程两个不同的虚根，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，，求实数，的值.18．（12分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个．从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望；每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．19．（12分）已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，点在上，平面平面.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.21．（12分）如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且．试用向量，，表示向量；若，，，，求的值．22．（10分）已知函数f(x)=4ax-a（1）当a=1时,求曲线f(x)在点(1,（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围；（3）设函数g(x)=6ex,若在区间[1,e]上至少存在一点x0

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值．【详解】，，令，由于，得.当时，；当时，．因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，，，因此，，故选A．本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性；（2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值．2、B【解析】

假定ABCD和BCEF均为正方形，过D作，可证平面BCEF，进而可得直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，即直线与所成角的正弦值的最小值，当直线与异面垂直时，所成角的正弦值最大.【详解】过D作，垂足为G，假定ABCD和BCEF均为正方形，且边长为1则平面CDG，故又，平面BCEF故直线BD在平面BCEF内的射影为BG，由已知可得，则以直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，所以直线BD与平面BCEF内直线所成的角正弦值最小为，而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1.故选：B本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.3、C【解析】

分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．【详解】解：选项A，xdxx2，不满足题意；选项B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不满足题意；选项C，1dx＝x1﹣0＝1，满足题意；选项D，dxx0，不满足题意；故选C．考点：定积分及运算．4、D【解析】

先求出CUA,再求∁【详解】由题得CU所以∁UA∩B故选：D本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.5、D【解析】

求导数，将代入导函数解得【详解】将代入导函数故答案选D本题考查了导数的计算，把握函数里面是一个常数是解题的关键.6、B【解析】

依据y=lnx的单调性即可得出【详解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b本题主要考查利用函数的单调性比较大小。7、D【解析】

先将直线直线与曲线转化为普通方程，结合图形分析可得，要使的面积最大，即要为直角，从而求解出。【详解】解：因为曲线的方程为，两边同时乘以，可得，所以曲线的普通方程为，曲线是以为圆心，2为半径的上半个圆.因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为，因为，所以当为直角时的面积最大，此时到直线的距离，因为直线与轴交于，所以，于是，所以，故选D。本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想。8、A【解析】

根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算【详解】由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.9、B【解析】

在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数满足，所以函数的周期为2，又当时，，故当时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，即方程有4个根，故选B.本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10、D【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得为：，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)全称命题：,全称命题的否定（）：.11、D【解析】分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数的等量关系式，即可求得结果.详解：根据题意有，解得，故选D.点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.12、A【解析】试题分析：正方形面积为1，阴影部分的面积为，所以由几何概型概率的计算公式得，点在E中的概率是，选A.考点：定积分的应用，几何概型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先化简已知得，再利用平方关系求解.【详解】由题得，因为，所以故答案为：本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

由题意可知直线与圆相切，由相切定义可得，令，由可求其范围.【详解】由题意可得：直线与圆相切即，化简得：，令故答案为：本题考查了直线与圆的位置关系，考查了三角换元法，本题的关键在于题干条件的转化，由线性规划知识可知位于直线同一侧的点正负性相同，满足题目要求.属于难题.15、106【解析】

求出样本中心坐标，代入回归方程即可求出值.【详解】解：，，将代入回归方程得，解得.故答案为：.本题考查回归方程问题，属于基础题.16、【解析】

关于x的方程sinxcosx＝c有解，即c＝sinxcosx＝2sin（x-）有解，结合正弦函数的值域可得c的范围．【详解】解：关于x的方程sinx-cosx＝c有解，即c＝sinx-cosx＝2sin（x-）有解，由于x为实数，则2sin（x-）∈[﹣2，2]，故有﹣2≤c≤2本题主要考查两角差的正弦公式、正弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2),【解析】

(1)由题可得二次函数的判别式小于0,列式求解即可.

(2)利用韦达定理代入可求得的关系,再化简利用韦达定理表示,换成的形式进行求解即可.【详解】(1)由题二次函数的判别式小于0,故,解得.

(2)由为关于的二次方程两个不同的虚根可得,,又则,得,因为,故,又,故故,本题主要考查了一元二次方程的复数根的性质,注意的意义为的模长为2,故.属于中等题型.18、（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】

利用互斥事件的概率求和公式计算即可；由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值；由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，求出对应的概率值．【详解】解：从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为；从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2，3；则，，，，随机变量X的概率分布为；

X0123

P

数学期望；记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A，则．本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．19、(1)；(2)或.【解析】

(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【详解】(1)令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2)二项式的通项公式为：.因为是中的最大项,所以有：,因此或.本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.20、（1）详见解析（2）【解析】

（1）在平面内知道两条相交直线与垂直，利用判定定理即可完成证明；（2）通过辅助线，将与平行四边形关联，从而计算出长度，然后即可求解三棱锥的体积.【详解】解：（1）平面，，又四边形为正方形，，且，平面，为的中点，，且，平面；（2）作于，连接，如图所示：平面平面，面，由（1）知平面，，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四边形为平行四边形，为的中点，，本题考查立体几何中的线面垂直关系证明以及体积计算，难度一般.计算棱锥体积的时候，可以采取替换顶点位置的方式去计算，这样有时候能简化运算.21、（1）；（2）.【解析】

又，由此即可求出结果；（2）利用，和数量及的定义，代入得结果．【详解】解：又由问知．本题考查平面向量的基本定理，和平面向量的数量积的运算公式及平面向量基本定理的应用．22、(1)y=3x(2)[12【解析】

（1）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；（3）构造函数ϕ（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需ϕ（x）max＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x）max，从而求出a的范围．【详解】（1）解:当a=1时,f(x)=4x-1x-2lnx,曲线f(x)在点(1,f(1))处的斜率为f'(1)=3,故曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=3(x-1)（2）解:f'(x)=4a+ax2-2x=4ax2-2x+ax2.令h(x)=4ax2-2x+a,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在区间(0,+∞)内恒成立.依题意a>0,此时h(x)=4ax2-2x+a的图象为开口向上的抛物线,h(x)=4a(x-14a所以f(x)定义域内为增函数,实数a的取值范围是[1（3）解:构造函数ϕ(x)=f(x)-g(x),x∈[1,e],依题意由（2）可知a