重庆市三峡名校联盟高2025年高二下数学期末综合测试模拟试题含解析

重庆市三峡名校联盟高2025年高二下数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种2．设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|x>0}，B={x|x2-5x-14<0}，则A．{x|0<x<5} B．{x|2<x<7}C．{x|2<x<5} D．{x|0<x<7}4．若函数f（x）=有最大值，则a的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A． B．1 C． D．6．函数是（）A．偶函数且最小正周期为2 B．奇函数且最小正周期为2C．偶函数且最小正周期为 D．奇函数且最小正周期为7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（）A． B． C．或 D．8．函数在区间的图像大致为（）．A． B．C． D．9．已知定义在上的连续奇函数的导函数为，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式（为自然对数的底数）的解集为（）A． B． C． D．11．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（）A．1 B． C． D．－12．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是等差数列的前项和，已知，，则_______.14．设集合，则集合中满足条件“”的元素个数为_____.15．有一棱长为的正方体框架，其内放置气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为____________.16．某人从处向正东方向走千米，然后向南偏西的方向走3千米，此时他离点的距离为千米，那么___________千米.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，已知．（1）求证：；（2）若，求A的值．18．（12分）已知函数（且）的图象过定点P，且点P在直线（，且）上，求的最小值．19．（12分）已知数列满足，且.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．21．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．22．（10分）如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．2、A【解析】

分析两个命题的真假即得，即命题和．【详解】为真，但时．所以命题为假．故应为充分不必要条件．故选：A．本题考查充分必要条件判断，充分必要条件实质上是判断相应命题的真假：为真，则是的充分条件，是的必要条件．3、D【解析】试题分析：由B={x|x2-5x-14<0}={x|-2<x<7}，所以考点：集合的运算．4、B【解析】

分析函数每段的单调性确定其最值，列a的不等式即可求解.【详解】由题,单调递增，故单调递减，故,因为函数存在最大值，所以解.故选B.本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.5、B【解析】

根据题意得到，根据勾股定理得到，计算得到答案.【详解】为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点故，故，故即故选：本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.6、C【解析】

首先化简为，再求函数的性质.【详解】，是偶函数，故选C.本题考查了三角函数的基本性质，属于简单题型.7、D【解析】

先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.【详解】因为导函数，所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以，又，即，所以，所以.故选D.本题主要考查函数求导及二次函数的性质.8、A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当时，，当时，，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9、C【解析】

根据时可得：；令可得函数在上单调递增；利用奇偶性的定义可证得为偶函数，则在上单调递减；将已知不等式变为，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当时，令，则在上单调递增为奇函数为偶函数则在上单调递减等价于可得：，解得：本题正确选项：本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.10、B【解析】令所以,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等11、A【解析】

根据已知的偶函数以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函数f（x）在[﹣2，2]上的解析式，进而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，对g（x）进行求导可知g（x）的增减性，通过增减性求得最大值【详解】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时,,则时，，所以当时，;又函数为偶函数,所以当时，则,可知当，故在[-2，0)上单调递增,时，在[0,2]上单调递减,故.故选：A本题考查函数的基本性质：对称性，奇偶性，周期性．同时利用导函数的性质研究了函数在给定区间内的最值问题，是中档题12、B【解析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x1+）6展开式中，由通项公式可得,令11﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为，可得＝15，解得a＝1．曲线y＝x1和圆x1+y1＝1的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为．故选：B本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、49【解析】

.14、58024【解析】

依题意得的取值是1到10的整数，满足的个数等于总数减去和的个数.【详解】集合中共有个元素，其中的只有1个元素，的有个元素，故满足条件“”的元素个数为56049－1－1024＝58024.本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.15、【解析】

气球表面积最大时，球与正方体的各棱相切．【详解】由题意要使气球的表面积最大，则球与正方体的各棱相切，∴球的直径等于正方体的面对角线长，即为，半径为，球的表面积为．故答案为：．本题考查球与正方体的切接问题，解题时要注意分辩：球是正方体的内切球（球与正方体各面相切），球是正方体的棱切球（球与正方体的所有棱相切），球是正方体的外接球（正方体的各顶点在球面上）．16、6【解析】

根据题意作出图形，用正弦定理解出角，可得刚好构成直角三角形，可得答案.【详解】根据题意作出图形，如图.设向正东方向走千米到处，然后向南偏西的方向走3千米到处.即,由正弦定理得：.所以又,所以.所以，则.所以.则.故答案为：6本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）已知的向量的数量积，要证明的是角的关系，故我们首先运用数量积定义把已知转化为三角形的边角关系，由已知可得，即，考虑到求证式只是角的关系，因此我们再应用正弦定理把式子中边的关系转化为角的关系，即有，而这时两边同除以即得待证式（要说明均不为零）.（2）要求解的大小，一般是求出这个角的某个三角函数值，本题应该求，因为（1）中有可利用，思路是.试题解析：(1)∵,∴,即.2分由正弦定理,得,∴.4分又∵,∴.∴即.6分(2)∵,∴.∴.8分∴,即.∴.10分由(1),得,解得.12分∵,∴.∴.14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.18、【解析】

函数过定点，故，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】函数（且）的图象过定点，故，即，.当，即时等号成立，故的最小值为.本题考查了指数函数过定点，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）存在实数，符合题意.【解析】

（Ⅰ）由题意可整理为，从而代入，即可求，的值；（Ⅱ）当时和时，可得到一组、的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可.【详解】（Ⅰ）因为，整理得，由，代入得，.（Ⅱ）假设存在实数、，使得对任意正整数恒成立.当时，，①当时，，②由①②解得：，.下面用数学归纳法证明：存在实数，，使对任意正整数恒成立.（1）当时，结论显然成立.（2）当时，假设存在，，使得成立，那么，当时，.即当时，存在，，使得成立.由（1）（2）得：存在实数，，使对任意正整数恒成立.本题主要考查数学归纳法在数列中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑推理能力，比较综合，难度较大.20、（1）；（2）．【解析】

直接利用递推关系式，构造等比数列，求出数列的通项公式；

利用的结论，进一步利用分组法求出数列的和．【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，又所以是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，即．（2）因为，所以．本题考查了利用递推关系式求出数列的通项公式，等比数列的前n项和公式及分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．21、（1）（2）解:因为抛物线的焦点为,所以,故.所以椭圆.(1)设,则两式相减得，又的中点为,所以.所以.显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.(2)椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时,.当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，设,联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以同理可得.所以为定值.【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.22、（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成