江苏省无锡市江阴市四校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测试题含解析

江苏省无锡市江阴市四校2024-2025学年高二数学第二学期期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，命题“若”的否命题是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．3．若复数满足，则复数的虚部为.A．-2 B．-1 C．1 D．2.4．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是()A．是函数的极小值点B．当或时,函数的值为0C．函数关于点对称D．函数在上是增函数5．设函数，则函数的定义域为（）A． B． C． D．6．在中，角的对边分别是，若，则的值为（）A．1 B． C． D．7．若为纯虚数，则实数的值为（）A．-2 B．2 C．-3 D．38．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．9．已知x，y为正实数，则（）A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgyC．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy10．已知随机变量服从正态分布，若，则（）A． B． C． D．11．曲线在处的切线的斜率为（）A． B． C． D．12．若，且，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则______.14．已知，则________.（用含的式子表示）15．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.16．若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，．18．（12分）已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．20．（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）（1）六个从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？（2）把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有几种？（3）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有几种？22．（10分）在新高考改革中，打破文理分科的“（选）”模式：我省实施“”，“”代表语文、数学、外语门高考必考科目，“”是物理、历史两科选一科，这里称之为主选，“”是化学、生物、政治、地理四科选两科，这里称为辅选，其中每位同学选哪科互不影响且等可能.（Ⅰ）甲、乙两同学主选和辅选的科目都相同的概率；（Ⅱ）有一个人的学习小组，主选科目是物理，问：这人中辅选生物的人数是一个随机变量，求的分布列及期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据否命题的定义：即否定条件又否定结论，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故选A2、A【解析】

根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体..故选：.本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3、D【解析】

根据复数除法的运算法则去计算即可.【详解】因为，所以，虚部是，故选D.本题考查复数的除法运算以及复数实部、虚部判断，难度较易.复数除法运算时，注意利用平方差公式的形式将分母实数化去计算4、D【解析】

由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．【详解】由函数f(x)的导函数图象可知，当x∈(−∞,−a),(−a，b)时,f′(x)<0，原函数为减函数；当x∈(b,+∞)时,f′(x)＞0，原函数为增函数.故不是函数的极值点，故A错误；当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；由图可知，导函数关于点对称，但函数在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点对称，故C错误；函数在上是增函数，故D正确；故答案为：D.本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.5、B【解析】

由根式内部的代数式大于等于0求得f（x）的定义域，再由在f（x）的定义域内求解x的范围得答案．【详解】由2﹣2x≥0，可得x≤1．由，得x≤2．∴函数f（）的定义域为（﹣∞，2]．故选：B．本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．6、C【解析】

在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得．【详解】∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换．7、C【解析】

本题首先可以确定复数的实部和虚部，然后根据纯虚数的相关性质即可列出方程组，通过计算即可得出结果．【详解】因为为纯虚数，所以，解得，故选C．本题考查复数的相关性质，主要考查纯虚数的相关性质，纯虚数的实部为0且虚部不为0，考查运算求解能力，考查方程思想，是简单题．8、D【解析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9、D【解析】因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式，故选D．10、C【解析】分析：先根据正态分布得再求最后求得=0.34.详解：由正态分布曲线得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.11、B【解析】

因为，所以.故选B.12、D【解析】

先利用特殊值排除A,B,C，再根据组合数公式以及二项式定理论证D成立.【详解】令得，，在选择项中，令排除A，C；在选择项中，令，排除B，,故选D本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、24【解析】

观察所告诉的式子，找出其中的规律，可得n的值.【详解】解：观察所给式子的规律可得：，，，故可得：.故答案为：24.本题主要考查归纳推理，注意根据题中所给的式子找出规律进行推理.14、【解析】

通过寻找，与特殊角的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【详解】因为，即，所以，所以，所以，又.本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．15、1【解析】

由题意可得，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，，通项公式为，令，求得，可得二项展开式常数项等于，故答案为1．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16、3【解析】

由复数除法求得复数z，再求得复数实部．【详解】由题意可得，所以的实部为3，填3.本题主要考查复数的除法以及复数的实部辨析，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，故期望．试题分析：（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，．（II）（i）由（I）知，服从正态分布，从而．（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．18、(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.19、(1)单调递减区间为,单调递增区间为(2)证明见解析【解析】

（1）函数定义域为，求导得到，根据导数正负得到函数的单调区间.（2），不等式等价于恒成立，设，求函数的最小值得到，得到证明.【详解】（1），定义域为，，令；令.∴函数的单调递减区间为,单调递增区间为（2），即证恒成立令，即证恒成立，，∴，使成立，即则当时，，当时，∴在上单调递减，在上单调递增.∴又因，即∴又因，即得证.本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.20、(1);(2).【解析】

（1）由题意结合递推关系式可得数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）由题意结合(1)的结论可得.错位相减可得数列的前项和.【详解】（1）①②①-②得，则，在①式中，令，得.数列是首项为，公比为的等比数列，.（2）.所以，③则，④③-④得，，.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．21、（1）216（2）36（3）120【解析】分析：（1）分两种情况讨论甲在最左端时，有，当甲不在最左端时，有(种）排法，由分类计数加法原理可得结果；（2）分三步：将看成一个整体，将于剩余的2件产品全排列，有3个空位可选，根据分步计数乘法原理可得结果；（3）用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，利用枚举法可得共有种，每一种排法种的三个，两个可以交换位置，故总的排法为种.详解：（1）当甲在最左端时，有；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有(种）排法，共计（种）排法.（2）根据题意，分3步进行分析：产品与产品相邻，将看成一个整体，考虑之间的顺序，有种情况，将于剩余的2件产品全排列，有种情况，产品与产品不相邻，有3个空位可选，即有3种情况，共有种；（3）法一：用表示歌舞类节目，小品类节目，相声类节目，则可以枚举出下列10种：每一种排法种的三个，两个可以交换位置，故总的排法为种.法二：分两步进行：（1）先将3个歌曲进行全排，其排法有种；（2）将小品与相声插入将歌曲分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有种.若两歌舞之间有两个其他节目时插法有种.所以由计数原理可得节目的排法共有（种）.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用