八年级数学下册专题171 勾股定理及其逆定理【九大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）

专题17.1勾股定理及其逆定理【九大题型】

【人教版】

【题型1勾股定理的运用】......................................................................1

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】.........................................................5

【题型3勾股定理解勾股树问通】...............................................................7

【题型4勾股定理解动点问题】.................................................................10

【题型5勾股定理的验证】.....................................................................14

【题型6直角三角形的判定】...................................................................19

【题型7勾股数问题1..........................................................................................................22

【题型8格点图中求角的度数】................................................................24

【题型9勾股定理及其逆定理的运用】..........................................................27

”7.三

【知识点1勾股定理】

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角

边长分别是a,b,斜边长为C,那么Q2+b252.

【题型1勾股定理的运用】

【例I】（2022•和平区三模）如图，在△/WC中，/C=90°,AD平分NC48,CD=1.5,80=2.5,则

4c的长为（）

A--------------------B

A.5B.4C.3D.2

【分析】过点。作。E_L48于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CO=OE,再利用勾股

定理列式求出BE,然后设4C=AE=x,根据勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图，过作。于石，

c

p

AEB

,/ZC=90°,A。平分NCAB,CD=1.5,

：.DE=CD=\.5,

在RlAOEB中，由勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=12.52-l.52=2,

*：AD=AD,CD=DE,ZC=ZAED,

/.RtAACD^RtA/lED,

：.AC=AE,

设AC=AE=x,贝ij48=x+2,

由勾股定理得：AB2=AC2+CB\

即（x+2）2=JT+42,

解得K=3,

；•AC=3.

故选：c.

【变式1-1］（2022春•上杭县期中）如图在RtAuABC中,ZB=90°,18=8,AC=10,AC的垂直平分线

DE分别交AB、AC于。、E两点，则8。的长为（）

【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CO=4O，故AB=BD+AD=BD+CD,设CO=x,则8。=8

・x,在Rt/XBCD中根据勾股定理求出x的值即可解答.

【解答】解：VZB=90°,A8=8,AC=10,

：.BC=6,

•・・OE是AC的垂直平分线,

：.CD=AD,

：.AB=BD+AD=BLHCD=S,

设CO=x,则80=8-x,

在RlZXBCD中，CU^Be+Bb2,

即^=62+(8-x)2,

解得x=6.25.

7

••・3。=8-6.25=1.75=4.

4

故选:B.

【变式1-2](2022春•汉阳区期中)如图，在△A8C中A8=AC=10,8C=16,若NBAD=3NDAC,则

【分析】先作于点£作。尸_L4C于点F,然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到

AE的值，AO平分NE4C,从而可以得到。£=。扛再根据等面枳法即可求得CO的长.

【解答】解：作AE_L3C于点入作OF_LAC于点凡如图所示，

**AB=AC=10>BC—16,

・・・CE=8,

：.AD=y/AC2-CE2=V102-82=6,

设NCAO=x,则NCAO=3x,

'：AELBC.AB=AC,

：.ZBAE=ZCAE=2xt

：,ZEAD=ZDAC,

:.DE=DF,

设CD=a,则DE=8-a,

CDAEACDF

•.•=9

22

.ax610x(8-a)

••---

22

解得。=5,

即CO=5,

【变式1-3］（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△46C中，NC=90°,AB=30,。是4c上一点，AD：

CD=25：7,且。8=D4,过A8上一点P,作PE_LAC于£，PFLBD于F,则PE+P/7长是.

【分析】如图作AHLBD交BD的延长线于H,设AD=BD=25k,CD=7k,在RtADCB中，BC=

y/BD2-CD2=24A:,在R【ZMC4中，由心+以外小於可得⑶4)2+⑵4)2=3()2,推出仁,,BC

=18,由△4。“g△BQC,推出AH=BC=\S,由SMBD=g・BD・AH=g.AD・PF+g・BD・PF,推出PE+PF

乙乙乙

=A〃=18,

【解答】解：如图作A”_LB。交8。的延长线于H,设AD=8O=253CD=7k,

在中，BC=、BD?-CD?=24&,

在RtZXACB中，,：AC2+BC2=AB2,

(32k)2+(24&)2=3。2,

..3

•4，

ABC=18,

在△AQH和△3OC中，

kADH=Z.BDC

乙H=LC=90。，

AD=BD

・•・△ADHm4BDC,

・・・AH=8C=18,

*：S2BD=yBD^AH=』・AD・PF+*・BD・PF，

乙乙乙

・•・PE+PF=AH=\S,

故答案为18.

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】

[ft2](2022春•长沙月考)己知△A8C中，AB=\3,AC=\5,8。边上的高为12.则△ABC的面积为

()

A.24或84B.84C.48或84D.48

【分析】在RIA48。和RtAAC。中分别进行计算，求出8。和CD,再根据三角形的面积公式即可求解.

【解答】解：：4B=13,AC=15,边上的高4。=12,

在Rt^ABD中，

BD=>JAB2-AD2=5,

在RtAACD中，

DC=y]AC2-AD2=9,

：.BC=BD+DC=\4,BC=DC-BD=4,

•••△48C的面积=/xl4X12=84,或=/x4x12=24；

故选：A.

【变式2-1]（2022春•宁津县期中）△人4c中，AB=\5,AC=13,高AO=12,则△ABC的周长是（）

A.42B.32C.42或32D.42或37

【分析】本题应分两种情况进吁讨论：

（1）当△A8C为锐角三角形时，在RtaABO和RtZ\AC。中，运用勾股定理可将8。和CD的长求出，

两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；

（2）当△ABC为钝角三角形时，在RtaABO和RtZ\ACD中，运用勾股定理可将BQ和CZ）的长求出，

两者相减即为BC的长，从而可将△48C的周长求出.

【解答】解：此题应分两种情况说明：

（1）当△/IBC为锐角三角形时，在RtZvWO中，

BD=y]AB2-AD2=9,

在RtaACO中，

CD=>JAC2-AD2=5

，BC=5+9=14

.'.△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在Rl△人8。中，80=9,

在RtZ\AC。中，CD=5,

ABC=9-5=4.

•:△ABC的周长为：15+13+4=32

・•・当△48C为锐角三角形时，AABC的周长为42：当AABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

综上所述，△ABC的周长是42或32.

故选：C.

【变式2-2]（2022春•香河县期中）己知直角三角形两边的长为5和12,则此三角形的周长为（）

A.30B.7119+17C.VIT^+17或30D.36

【分析】先设RtZ\A8C的第三边长为1,由于12是直角边还是斜边不能确定，故应分12是斜边或x为

斜边两种情况讨论.

【解答】解：设RtZkABC的第三边长为「

①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，

由勾股定理得，.r=V52+122=13,此时这个三角形的周长=5+12+13=30；

②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，

由勾股定理得，x=V122-52=VH9,此时这个三角形的周长=5+12+4^=419+17,

综上所述，该三角形的周长为30或g+17.

故选：C.

【变式2-3]（2022春•海淀区校级期中）在RLAA8C中，NAC8=90°,AC=4,A8=5.点。在直线AC

上，且8P=6,则线段AP的长为.

【分析】当点P在CA延长线上时，当点尸在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：在Rt^AOC中，ZACZ?=90°,AC=4,AD=5,

：.BC=y/AB2-AC2=3,

当点?在C4延长线上时，，：BP=6,8C=6,PK

・•・CP=yiBP2-BC2=V62-32=3技

：.AP=CP-AC=3y[3-4；\

当点夕在AC延长线上时，•:RP'=6,BC=3,\\

C----节

:.CP，=3V3,/

:,AC+CP1=4+375,/

综上所述，线段AP的长为36-4或3痘+4；/

故答案为：30一4或30+4.P

【题型3勾股定理解勾股树问题】

【例3】（2021秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若

A.4B.6C.8D.12

[分析]根据勾股定理的几何意义：S正方形4+S正方形B=S正方形£1,S正方形D-S正方形c=S正方形/解得即M.

【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形8=S正方形E'S正方形。-S正方形C=S正方形E，

；・S正方形A+S正方形B=Siu/if；D-5正方形c

•・•正方形A、B、。的面积依次为6、10、24,

**•24-S正方形。=6+10,

；・S正方形c=8.

故选：C.

【变式3-1]（2021秋•高新区校级期末）如图，在四边形/WCD中，ZDAB=ZBCD=90°,分别以四边

形的四条边为边向外作四个正方形，若SI+S4=135,S3=49,则S2=（）

A.184B.86C.119D.81

【分析】利用勾股定理的几何意义解答.

【解答】解：由题意可知：S\=AB2,S?=Bd,S3=CD2,S^AI）2,

连接B。，在直角△ABO和△BC。中，

BD2=AD2+AB2=CDr+BC2，

即S1+S4=S3+S2，

因此52=135-49=86,

故选:B.

【变式3-2]（2022春•泗水县期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生

出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，

如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请你计算出“生长”了2022次后形成的图形中所有正

方形的面积之和为（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【分析】根据勾股定理求出“生长”了I次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律,

根据规律解答即可.

【解答】解：由题意得，正方形A的面积为I,

由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面枳=1,

，“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面枳和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

・•・“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

・•・“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023.

故选：D.

【变式3-3］（2022春•张湾区期中）如图①，在△48C中，4c8=90°,AC：BC=4：3,这个直角三角

形三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三

角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是I次操作后的图形，图③是2次

操作后的图形.如果图①中的直角三角形的周长为12,那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和

为（）

ccc

图②图③

A.225B.250C.275D.300

【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出AC=4,BC=3,A8=5,根据勾股定理计算得出规

律，根据规律解答即可.

【解答】解：设4C=4x,则8c=3x,

由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=5X,

•••△ABC的周长为12,

3x+4x+5x=12,

解得：尸1，

・"C=4,BC=3,AB=5,

第1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52=25+50,

第2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42-P32+42+52=25X2+50,

第3次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+424-32+42+32+42+52=25X3+50,

第10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25X10+50=300,

故选：D.

【题型4勾股定理解动点问题】

[例4]（2021秋•开福区校级期末）如图，RI/X4CB中，N4CB=90°,AB=25cm,AC=7cm,动点P

从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为由当△AP4为等腰三角形时，/的值为（）

25——

B.一或24或12

2

62562525

C.—或24或12D.标域三或24

96

【分析】当AABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=B0时；②当AB=AP时；③当3P=A尸时,

分别求出BP的长度，继而可求得，值.

【解答】解：VZC=90°,AB=25cm,AC=7cm,

BC=24cm.

①当HP=BA=23时,

25

/=’

②当AB=AP时，BP=2BC=48cm,

Ar=24.

③当户8=以时，PB=PA=Zcm,CP=(24-2r)cm,AC=lcm,

在RtZUCP中，AP2=AC2+CP2,

：.(2t)2=72+(24-2/)2,

解得=零・

综上，当△4BP为等腰三角形时，右发”或24或6年25,

故选：D.

【变式4-1](2021秋•宛城区期末)如图，在中，NAC8=90",BC=4()cnbAC=30cm,动点

P从点B出发沿射线BA以2cnt/s的速度运动.则当运动时间/=$时，ABPC为直角三角形.

【分析】首先根据勾股定理求出斜边的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高CQ,再分两种情况

进行讨论：①当NBCP为直角时，②当NBPC为直角时，分别求出此时的/值即可.

【解答】解：在8△48C中，NAC4=90°,BC=4()cm,AC=30cmf

：.AB=y/BC2+AC2=V402+302=50(cm).

如图，作A8边上的高CD

•・・SA48C=^AB^CD=

,6八ACBC30x40x（、

・・CO=R-=F-=24（州）.

①当N8CP为直角时，点P与点A重合，BP=BA=50cm,

・・・f=5O+2=25（秒）.

②当N3PC为直角时，。与。重合，BP=2tcm,C尸=24cw,BC=40n〃,

在RtABCP中，*.*B声+cA=Bd,

・•・⑵）2+242=402,

解得/=16.

综上，当1=25或16秒时，△3PC为直角三角形.

【变式4-2]（2022春•蚌山区校级期中）如图，在△4BC中，/ACB=90°,AB=\0,4c=8,点P从点

A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线4-B-C运动.设点P的运动时间为f秒（/＞（））.

（1）BC的长是.

（2）当点P刚好在NZMC的角平分线上时，，的值为.

C

【分析】（1）由勾股定理可直接求解；

（2）过点P作PQ_LAB,结合题意，由角平分线的性质可推得BP,PD,B。的长，再根据勾股定理即

可求解.

22

【解答】解：（1）在△ABC中，NACB=90°,A8=IO,AC=8,BC=\/AB-AC=6f

故答案为：6；

（2）当点。在NB4C的角平分线上时，过点。作如图.

I)B

・・・A尸平分NBAC,BCYAC,尸。_L4B,点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-8-C

运动.

APD=PC=\6-2t,BP=2t-10,

：.AD=AC=S,

80=2.

在中,由勾股定理得22+(16-2r)2=(2/-10)2,

解得t=冬

20

故答案为：y.

【变式4-3](2022春•河东区期中)如图，已知△ABC中，N3=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,尸、。是

△人边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-8方向运动，且速度为每秒lc〃?，点。从点B开始

沿BfC—A方向运动，且速度为每秒2c加，它们同时出发，同时停止.

(1)。、Q出发4秒后，求。。的长；

(2)当点。在边。上运动时，出发几秒钟后，△CQA能形成直角三角形？

【分析】(I)根据题意可以先求出BQ和8P的长，然后根据勾股定理即可求得PQ的长;

(2)根据题意可知存在两种情况，然后分别计算出相应的时间即可.

【解答】解：(1)由题意可得，

BQ=2X4=8(cm),BP=AB-AP=\6-1X4=12(an),

VZB=90°,

22

/.PQ-y/BP+BQ-V122+82-4A/13(CHI),

即PQ的长为4X/T3CW：

（2）当3Q_LAC时，N4QC=90°,

VZB=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,

：-AC=5MB2+BC2=V162+122=20Cem）,

.ABBCACBQ

22

16X122OBQ

/.------=------,

22

解得BQ=普c〃?，

:.CQ=yjBC2-BQ2=J122-（等7=若（cm）,

・••当ACQB是直角三角形时，经过的时间为：（12+当）+2=9.6（秒）；

当NC8Q=90°时，点。运动到点A,此时运动的时间为：（12+20）4-2=16（秒）；

由上可得，当点。在边CA上运动时，出发9.6秒或16秒后，ACQB能形成直角三角形.

【题型5勾股定理的验证】

【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊

喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利

用图1证明勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中ND4B=90°,求证：a2^h2=c2

证明：连接。B,过点。作8c边上的高。F,则。尸=£。=小・。

.*S四边影人/JC8=S△4co+S△人月c=引厂+2（ib.

乂,**S四边形ADCB=S"DB+S么DCB=2。""+2a（匕-。）

.1,）,1,12.1/,、

..—/?~+2a^=2C+2a（。-a）

：,cr+b1=（r

请参照上述证法，利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中ND4B=90°.求证：。2+庐=。2.

D

【分析】首先连接BD,过点B作。E边上的高BF,则8尸=方-“，表示出S五边形ACBJS,两者相等，整

理即可得证.

【解答】证明：连接B。，过点5作。E边上的高则3尸=〃-〃，

2

•：S"边彪ACBED=S△ACB+SaABE+SMDE=|z?+■^ab,

][*>]

,又■：Sh_边形ACBED=S/\ACB+S/\ARD+S八BDE=（b-a）»

/.-«/?+*户+与山=3c2+%（力-a），

/.a2+b2=c1.

【变式5-1]（2022春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同

学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点8是正方形4COE边CO上一点，连接A&得到直角三角

形AC8,三边分别为小b,c,将△人C8裁剪拼接至△儿《尸位置，如图2所示，该同学用图I、图2的

面积不变证明了勾股定理.请你写出该方法证明勾股定理的过程.

【分析】连接8a由图I可得正方形AC'。石的面枳为序,由图2可得四边形A4O"的面积为二角形A8"

与三角形3。/面积之和，再利用正方形AC。石的面积与四边形的面积相等即可证明.

【解答】证明：如图，连接8匕

图1图2

•：AC=b,

・•・正方形ACDE的面积为从，

♦：CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a,

:.BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b,

VZCAf=90°,

・•・NB4C+NBAE=90°,

'：ZBAC=ZEAF,

/.ZEAF+Z^AE=90°,

・♦・△BAE为等腰直角三角形，

・•・四边形AB。/7的面积为：-c2+1(b-a)(a+b)=|c2+1(b2-a2),

22LZ

•.•正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，

・看+孤2=%,

a2+b2=c1.

【变式5-2](2021秋•朝阳区期末)【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个

直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形.其中四个直角三角形直角边长分别为。、b,

斜边长为c.图中大正方形的面积可表示为(a+b)之，也可表示为c2+4x±d?,即(〃+力)2=C2+4X1«/J,

所以a2+b2=c2.

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一

个直角梯形8CQE,其中△8CA丝△4QE,NC=NQ=90。，根据拼图证明勾股定理.

【定理应用】在RtZ\A3C中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边长分别为a、b、c.

求证：crc1+(rlr=ci-/74.

【分析】【尝试探究】根据阅读内容，图中梯形的面枳分别可以表示为必+之(/+从)4c2,即可

证得cr+b2=c2i

【定理应用】分解因式，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】证明：【尝试探究】梯形的面积为S=义(a+b)(b+a)=ab+^(i+庐)，

利用分割法，梯形的面积为S=△48C+5&48E+S/t/)E==ab+,

:.“人+：(cr+b~)=ab+,

:.a1+b1=czx

【定理应用】\，a2c1+a2b2=a2(c2+Z?2),c4-b4=(c2+b2)(c2-b2)=(c2+Z?2)a1,

.\a1c1+a1b1=c4-b4.

【变式5・3】(2022春•寿光市期中)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为。，较短的直角边为〃,

斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理.

（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24,0C

=3,求该飞镖状图案的面枳.

（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形43CQ,正方形由G”,正方形MNK7'

的面积分别为Si,S2,S3,若SI+S2+S3=40,则52=.

【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；

（2）可设AC=x,根据勾股定理列出方程可求-再根据直用三角形面积公式计穿即可求解：

（3）根据图形的特征得出四边形MNK7的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,从而

用x,『表示出Si,S2,S3,得出答案即可.

【解答】解:⑴S小正方形=（a-/?）2=a2-2ab+b2,另一方面5小正方形=。2-4x^ab=（T-2ab,

即b2-2ab+a1=c2-2ab,

则a2+b1=c1.

（2）24+4=6,

设AC=x,依题意有

（x+3）2+32=（6-x）2,

解得x=\,

1

-x（3+1）X3X4

2

=^X4X3X4

=24.

故该飞镖状图案的面积是24.

（3）将四边形M7KN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为户

•・•正方形4BC。，正方形EFG/7,正方形MNKT的面积分别为Si,S2,S3,Si+52+53=40,

，得出S\=8y+x>S2=4y+x,$3=x,

/.5i+52+53=3x+l2y=40,

・..x4+4)'=丁40,

S2=x+4y=孚

40

故答案为：y.

【知识点2勾股定理的逆定理】

如果三角形的三边长a,b,c满足小+肥=。2,那么这个三角形就是直角三角形.

【题型6直角三角形的判定】

【例6】(2022春•绥宁县期中)若△A3C的三边长分别为a、b、c,下列条件中能判断8c是直角三角

形的有()

①NA=N8-ZC,②N4：NB：ZC=3：4：5,③NA=90°-NB,@ZA=ZB=|zC,⑤/=(〃+c)

(b-c),⑥a：b：c=5：12：13.

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可.

【解答】解：①•・•/•=N8-NC,

ZA+ZC=ZB,

VZA+ZZ?+ZC=180°,

.・./O=9f)°.

.••是直角三角形；

②・・・NA：ZB：ZC=3：4：5,

NA+N8+NC=180°,

・・・/C=75°,不是直角三角形;

③・.・/4=90°-NB,

AZA+Z«=90n，

VZA+ZZ?+ZC=180o,

・・・NC=90°,

・••是直角三角形；

④•・,Z>4=ZB=1ZC,

ZA+Z5+ZC=180°,

・・・NC=90°,是直角三角形；

⑤二/=(〃+c)(/?-c)»

/.a2=lr-c2,

a2+c2=b2,是直角三角形；

⑥・・・。：b：c=5：12：13,

/.52+122=132,

••./+庐二科,是直角三角形；

故选：C.

【变式6-1](2022春•赣州月考)下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是()

Q4

A.在△ABC中，若“=**，b=^c.则△ABC为直角三角形

B.三边长的平方之比为1：2：3

C.三内角之比为3：4：5

D.三边长分别为小b,c,c=l+〃2,a=tj1-1»b=2nCn>1)

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项4、选项B和选

项。；根据三角形内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C.

4

--

【解答】解：A.•.,。=尹,5

・才”=射十景―

•••△A8c是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.•・•三边长的平方之比为1：2：3(1+2=3),

・•・此三角形的两小边的平方和等于最长边的平方，

・•・此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.•・•三角形的三内角之比为3：4：5,三角形的内角和等于180°,

5

・••最大角的度数是——X1800=75°<90°,

3+4+5

・•・此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

D.Vc=l+n2,a=n2-1,b=2n,

・•・/+/=(J-1)2+(2〃)2=n4-2ZZ2+I+4??2=H4+2H2+1,

(I+n2)2=]+2〃2+〃4,

.*.cj2=o2+/72>

・•・△A8C是直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C.

【变式6-2]（2022春•汉滨区期中）若△A8C的三边长久4c满足（a-c）2=b2-2ac,则（）

A.N4为直角B.NB为直角

C.NC为直角D.ZVIBC不是直角三角形

【分析】根据已知条件可得。2+。2=庐，即可判定△A3C的形状.

【解答】解：,:（a-c）2=b2-lac,

.\a2+c2=b1,

•••△48C是直角三角形，且NB是直角，

故选:B.

【变式6-3]（2022春•开州区期中）下列是直角三角形的有（）个

①△AKC中/=02-庐

②△48C的三内角之比为3：4：7

③△ABC的三边平方之比为1：2：3

④三角形三边之比为3：4：5

A.IB.2C.3D.4

【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答】解：①・・・a2=c2-/,

a1+b1=c1,

・•・△A8C是直角三角形：

②•・・△ABC的三内角之比为3：4：7,

•••△A8c中最大角的度数为：180"x=90。,

O"iii"/

是直角三角形；

③・・•△ABC的三边平方之比为1：2：3,

・••设三边的平方分别为亿2k,3总

■:k+2k=3匕

•••△A8C是直角三角形；

④•・•三角形三边之比为3：4：5,

•••设三边分别为3a,4«,5a,

•・•（3。）2+（4a）2=（5。）2,

.二△ABC是直角三角形，

所以，上列是直角三角形的有4个，

故选：D.

【题型7勾股数问题】

【例7】（2022春•滑县月考一）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记

录在如下的表格中.

a68101214

b815243548

c1017263750

则当。=24时，He的值为（）

A.162B.200C.242D.288

【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出尻。的值，再求出答案即可.

【解答】解：从表中可知:a依次为6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,即24=2X（10+2）,

b依次为8,15,24,35,48,…,即当。=24时,b=122-1=143,

c依次为10,17,26,37,50,即当。=24时，C=I22+1=I45,

所以当a=24时，Z>+c=143+145=288.

故选：。.

【变式7-1]（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观

察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为

I.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17：若此类勾

股数的勾为2〃?（623,加为正整数），则其弦是（结果用含〃?的式子表示）.

【分析】根据题意得2〃?为偶数，设其股是“，则弦为。+2,根据勾股定理列为程即可得到结论.

【解答】解：•••，”为正整数，

・・・2m为偶数,设其股是。，则弦为°+2,

根据勾股定理得，（2/n）W=（。+2）2,

解得d=m2+l，

综上所述，其弦是〃尸+],

故答案为：〃/+］.

【变式7-2】（2022春•白云区期末）（1）3k,4匕5k（女是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明：

如果不是，请说明理由；

（2）如果a,力，c是一组勾股数，那么bk,欢（女是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；

如果不是，请说明理由.

【分析】（1）根据勾股数的定义：满足/+必=/的三个正整数，称为勾股数，即可判断弘，4k,5k（k

是正整数）是不是一组勾股数；

（2）根据勾股数的定义：满足/+必=）的三个正整数，称为勾股数，即可判断,次，伙，是正整

数）是不是一组勾股数.

【解答】证明：（1）3k,4k,5ka是正整数）是一组勾股数，理由如下：

•・”是正整数，

・・・3）,4七5%都是正整数,

•・•（3%）2+⑷）2=（5k）2,

：,3k,4匕5k（女是正整数）是一组勾股数；

（2）ak,bk,ck（人是正整数）是一组勾股数，理由如下：

•・％,b,。是一组勾股数，且A是正整数，

ak,bk,以是三个正整数，

122

\'a+b=cf

:.（ak）2+（尿）2=/必+必3=（/+/）必=?必=（ck）2.

・•・〃，bk,cka是正整数）是一组勾股数.

【变式7-3］（2022•石家庄三模）已知:整式A=/+1,8=2〃,C=n2-1,整式C>0.

（1）当〃=1999时，写出整式A+B的值（用科学记数法表示结果）；

（2）求整式屋■虫;

（3）嘉淇发现：当〃取正整数时，整式A、B、。满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明

理由.

【分析】（1）根据题意可得，A+B=（〃2+I+2〃）=（〃+1）2,把«=1999代入计算应用科学记数法表

示方法进行计算即可得出答案；

（2）把A=M+I,B=2〃，代入储-广中，可得（/+］）2.（2〃）2,应用完全平方公式及因式分解的

方法进行计算即可得出答案；

(3)先计算用+上=⑵)2+(〃2・1)2,计算可得(〃2+[)2,应用勾股定理的逆定理即可得出答案.

【解答】解：(1)A+B-(/?~+1+2n)=(〃+1)2,

当〃=1999时，

原式=(1999+1)2

=208)2

=4X106；

故答案为:4X106；

(2)A2-B2=(n2+l)2-⑵)2

=(/)2+2/r+l-4/r

=(J)2-2ir+\

=(/-I)2;

(3)嘉洪的发现正确，理由如下：

V«2+C2=⑵)2+(/22-1)2

=4,a+(M)2-2/+1

=(n2+l)2,

:.B2+C2=A2,

・•・当〃取正整数时，整式4、B、C满足一组勾股数.

【题型8格点图中求角的度数】

[ft8](2021秋•伊川县期末)如图，正方形A8CQ是由9个边长为1的小正方形组成的，点E,尸均在

格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE,AF,则NE4/的度数是.

【分析】先连接ER然后根据勾股定理可以求得A£、EF、A”的长，再根据勾股定理的逆定理即可■判断

△A加'的形状，再根据AE和E尸的关系，即可得到NE4户的度数.

【解答】解：连接ER如右图所示，

设每个小正方形的边长为1,

22

则AE=Vl+2=V5,EF="2+22=遍，AF=仔与字=同,

：.AE1+EF2=(V5)2+(V5)2=5+5=10=(V10)2=AF1,

•••△AE/是直角三角形，NAE尸=90°,

又•：AE=EF,

/.ZEAF=ZEM=45°,

【变式8-1]（2022•惠山区一模）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A,B,尸是网格线

为交点，则

【分析】延长4尸交格点于。，连接B。，根据勾股定理和逆定理证明/尸。8=90°,根据三角形外角的

性质即可得到结论.

【解答】解：延长AP交格点于。，连接/3Q，

则P/92=BD2=l2+22=5,PB2=\2+32=10,

：.PD2+DB2=PB2,

：.ZPDB=90Q,

AZDPB=ZPAB+ZPBA=45°.

故答案为：45.

【变式8-2]（2022春•武侯区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,

C,D,P都在格点上，连接AP,CP,CD,则/%B-NPCD=.

p

【分析】连接4E，PE,求出N秒1B・N尸CO=N%E,根据勾股定理求出4尸、PE、AE,根据勾股定理

的逆定理求出△鬼三是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可.

【解答】解：如图所示：连接AE,PE,

则△PCOgZSEAF,

所以NPCD=NE4F,

：.^PAB-NPCD=/MB-ZEAF=ZR\E,

・・,由勾股定理得:AP2=PE2=22+\2=5,A£2=32+l2=10,

:.AP2+PE2=AE2,

・•・△弘E是等腰直角三角形，

：,ZPAE=45°,

3PZMB-ZPCD=ZPAE=45°,

故答案为：45°.

【变式8-3］（2022春•孝南区期中）如图所示的网格是正方形网格，△A8C和△CQE的顶点都是网格线交

点，那么N8C4+NDCE=.

【分析】连接40,构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：ZADC=90°,NACD=45°,最

后根据平角的定义可得结论.

【解答】解：连接A。，

由勾股定理得:AD2=12+32=1O,CD2=12+32=IO,AC2=22+42=20,

：.AD=CD,AD1+Cb1=AC2,

AZADC=90°,

：.ZCAD=ZACD=45°,

观察图形可知，△8FC和△CGE都是等腰直角三角形,

AZ«CF=45°，/石CG=45°,

・・・/8C4+/OCE=l80°-45c-45°-45°=45°,

故答案为:45°.

【题型9勾股定理及其逆定理的运用】

【例9】（2021秋•蓝田县校级期末）如图，在△人BC中，AB=AC,。是CA的延长线上一点，连接8D.

（1）若人C=8,AD=\1,BD=15,判断人8与8。的位置关系，并说明理由；

（2）若NO=28。，ZD/?C=121°,求NDA4的度数.

【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得出答案；

（2）由三角形内角和定理求出NC=31°,由等腰三角形的性质得出NC=N4BC=31°,则可得出答

案.

【解答】解：（1）AB_L4Q