八年级数学下册专题184 矩形的性质与判定【九大题型】（举一反三）（人教版）

专题18.4矩形的性质与判定【九大题型】

【人教版】

【题型1由矩形的性质求线段的长度】...........................................................1

【超型2由矩形的性质求角的度数】.............................................................2

【题型3由矩形的性质求面积】.................................................................3

【题型4矩形的性质与坐标轴的综合运用】.......................................................4

【题型5矩形判定的条件】......................................................................6

【题型6证明四边形是矩形】...................................................................7

【题型7矩形中多结论问题】..................................................................10

【题型8矩形的判定与性质综合】..............................................................12

【题型9直角三角形斜边的中线】...............................................................14

?**一更三

【知识点1矩形的定义】

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【知识点2矩形的性质】

①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对

角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的

直线；对称中心是两条对角线的交点.

【题型1由矩形的性质求线段的长度】

【例1】（2022春•新泰市期末）如图，在矩形A8CO中，AD=472,对角线AC与8。相交于点。，DE

LAC,垂足为点E,CE=OE,则。E的长为（）

【变式1-1]（2022春•开州区期末）如图，在矩形/WCD中，对角线AC、8。相交丁点O,D尸垂直平分

0C,交AC于点E,交8C于点立连接AR若BD=2a,DF=2,则A尸的长为（

A.V6B.2^2C.V7D.3

【变式1-2］（2022•碑林区校级模拟）如图，在矩形A8CO中，。是B。的中点，E为A。边上一点，且有

AE=OB=2.连接OE,若NAEO=75°,则。E的长为（）

A.\B.V5C.2D.2V3-2

【变式1-3］（2022•南岗区期末）如图，矩形ABCO中，点E,尸分别在4。，C。上，且。/=2OF=2,

连接BE,EF,8F,且8/平分NEBC,NEFB=45°,连接CE■交8尸于点G,则线段EG的长为

【题型2由矩形的性质求角的度数】

【例2】（2022春•滦水区期中）如图，在矩形A8c。中，AC.8。交于点。，。从LAC于点E,ZAOD=

110°,则NCQE大小是（）

A.55°B.40°C.35°D.20°

【变式2-1］（2022•武昌区期末）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得NEOf=22°,则NFQ4

的大小是（）

E

C.24°D.68°

【变式2-2］（2022春•江夏区期中）如图，矩形4BCO中，AB=2,AO=1,点M在边。C上，若AM平

)

C.75°D.30°

【变式2-3］（2022春•莫旗期末）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形A8CO的形状,

并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABC。的最大内角的大小是.

【题型3由矩形的性质求面积】

［例3］（2022春•浦东新区期末）我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩

形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cw,则矩形的面积为。层.

【变式3-1］（2022•成都）如图，过矩形ABCD的对角线8。上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ,

那么图中矩形AWKP的面积S与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S—52;（填或或

“=”）

3。。

【变式32］（2022春•成都期末）如图，点E是矩形八8CD边人。上一动点，连接8E,以8E边作矩形

【变式4-1］（2022春•任城区期末）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三

角形为“智慧三角形”.如图，在平面直角坐标系X。），中，矩形O48C的边04=3,0C=4,点M（2,

0）,在边48存在点P,使得ACMP为“智慧三角形”，则点。的坐标为（）

B.（3,1）或（3,3）

C.（3,或（3,1）D.（3,；）或（3,1）或（3,3）

【变式4-2］（2022•西平县模拟）已知在矩形A8C。中，A8=4,BC=y,O为BC上一•点,BO=g如图

所示，以8c所在直线为x轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点.

（I）若点M的坐标为（1,0）,如图1,以OM为一边作等腰△OMP,使点P在矩形A8C。的一边上,

则符合条件的等腰三角形有儿个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标;

（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4,0）,其他条件不变，如图2,那么符合条件的等腰三角形有

几个？求出所有符合条件的点P的坐标.

图1图2

【变式4-3］（2022春•浦江县期中）如图，长方形O/WC中，。为平面直角坐标系的原点，八点的坐标为

（4,0）,。点的坐标为（0,6）,点4在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度

沿着O-C-8-A-O的路线移动（移动一周）.

（1）写出点8的坐标；

（2）当点尸移动了4秒时，求出点P的坐标；

（3）在移动过程中，当aOB尸的面积是10时，直接写出点尸的坐标.

八

y

C----------

OAx

【知识点3矩形的判定方法】

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）.

【题型5矩形判定的条件】

【例5】（2022春•夏邑县期中）如图，四边形A8CO为平行四边形，延长到E,使。石=A。，连接EB,

EC,DB,添加一个条件，不能使四边形OACE成为矩形的是（）

A.AB=BEB.BE1DCC.ZADB=903D.CELDE

【变式5-1］（2022春•江油市期末）在四边形ABC。中，AC.BD交于点、O,在下列条件中，不能判定四

边形A/3CO为矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,N%0=900

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=/BCD,/ABC+/8CO=180°,ACLBD

D.ZBAD=ZABC=9Qa,AC=BD

【变式5-2］（2022春•仙居县期末）如图，四边形ABC。为平行四边形，延长A。到E,使DE=AD,连

接EB,EC,DB,添加一个条件，不能使四边形D8CE成为甲.形的是（）

A.AB=BEB.CEA.DEC.ZADB=903D.BELDC

【变式5-3］（2022♦西城区一模）如图，在△ABC中，。，E分别是AB,AC的中点，点F,G在边上,

旦。G=M.只需添加一个条件即可证明四边形GE是矩形，这个条件可以是.（写出一个

即可）

【题型6证明四边形是矩形】

【例6】（2022春•南谯区期末）如图，在平行四边形ABC。中，对角线4C,8。相交于点O,若E,f是

线段AC上两动点，同时分别从4,。两点出发以Icm/s的速度向点C,4运动.

（I）求证：△人。石9△CBF；

（2）若BD=8cm,AC=14c/n,当运动时间/为多少秒时，四边形DEB尸是矩形?

【变式6-1］（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，。是边AC上的一个动点，过点O作直线MM

交N4CB的平分线于点E,交△相（7的外角NACO的平分线于点F.给出下列信息：①MN//BC；②OE

=OC；③OF=OC.

（I）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；

（2）在（1）的条件下，连接AE、AF,当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECT是矩形？

请说明理由.

【变式6-2](2022春•津南区期末)已知口ABC。，对角线AC,8。相交于点。(AC>4O),点£〃分

别是OA,OC上的动点.

(I)如图①，若AE=CF,求证：四边形£/近。是平行四边形；

(II)如图②，若OE=OB,OF=OD,求证：四边形E8如是矩形.

图①图②

【变式6-3］（2022春•洪泽区期末）在矩形"C。中，AB=6,/?C=8,E、〃是对角线AC上的两个动点,

分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为/秒，其中0W店10.

⑴若G、”分别是A。、8c的中点，则下列关于四边形EGFH（£、尸相遇时除外）的判断：①一定

是平行四边形；②一定是矩形；③一定是菱形，正确的是—；（直接填序号，不用说理）

（2）在（1）的条件下，若四边形EGF”为矩形，求，的值.

【题型7矩形中多结论问题】

【例7】（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB=4,BC=8,点E,产分别在A。，BC上,

将纸片ABCO沿直线E”折叠，点C落在A。上的点”处，点。落在点G处，连接CE,CH.有以下四

个结论：①四边形CFHE是菱形；②。七平分NOCH；③线段B尸的取值范围为3WB尸W4；④当点”与

点人重合时，EF=5.以上结论中，其中正确结论的个数有（)

【变式7-1]（2022春•南充期末）如图，矩形A8C。中，M,N分别是边A8,C。的中点，8P_LAN于P,

C尸的延长线交A。于Q.下列结论：①PM=CN；②PM_LCQ；®PQ=AQ,®DQ<2PN.其中结论正

确的有（）

【变式7-2]（2022春•泉州期末）如图，点P是矩形ABCO内一点，连结附、PB、PC、PD,设△以B、

△PBC、△PC。、△PDA的面积分别为S、S2、S3、8，以下四个判断：

①当/以8=/尸。4时，B、P、。三点共线

②存在唯---点P,使用=PB=PC=PD

③不存在到矩形ABC。四条边距离都相等的点P

④若S=S2，则S3=S4

其中正确的是—.（写出所有正确结论的序号）

【变式7-3]（2022春•兴文县期中）如图，矩形/WCD中，AC,8。相交于点O,过点B作BFLAC交CD

于点F,交AC于点M,过点。作OE〃8户交48于点石，交AC于点N,连接正MEM.则下列结论：

①ON=BM：②EM〃尸N；③。尸=N尸;④当人。=人。时，四边形OEBr是菱豚其中正确的结论是.

c

B

【题型8矩形的判定与性质综合】

【例8】(2022春•海淀区期末)如图，在△A6C中，D是A8上一点,AD=DC,DE平分乙4DC交AC■于

点、E,DF平分NBDC交BC于点F,/。/。=90°.

(I)求证：四边形CE。〃是矩形；

(2)若/8=3()°,人。=2,连接BE,求3£的长.

【变式81】(2022•息烽县二模)如图，菱形A8CD的对角线AC、8。交于点O,过点8作8E〃八C,且

BE=-AC,连接EC、ED.

（1）求证：四边形8ECO是矩形：

（2）若4C=2,ZABC=6Q°,求。E的长.

【变式8-2]（2022•开福区校级二模）如图，平行四边形A4C7）的对角线AC、BO相交于点。，过点A作

AF1CD,垂足为F,延长。。到点使CE=OF,连接

（1）求证：四边形A/3E尸是矩形；

(2)若A8=5,CF=2,AC1BD,连接OE,求OE的长.

【变式8-3]（2022•崇左）如图，。是矩形ABCO的对角线的交点，E、F、G、”分别是。4、OB、OC、

。。上的点，^.AE=BF=CG=DH.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若E、F、G、”分别是。4、OB、0C、0。的中点，且。G_LAC,OF=2cm,求矩形A8C。的面

积.

【知识点4直角三角形斜边中线】

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

【题型9直角三角形斜边的中线】

【例9】（2022•青县二模）如图,直角AA6c■中，ZB=9