2024高考数学大二轮复习专题7立体几何第1讲基础小题部分增分强化练理

PAGEPAGE1第1讲基础小题部分一、选择题1．(2024·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，简单求得PC＝3，CD＝eq\r(5)，PD＝2eq\r(2)，故△PCD不是直角三角形，故选C.答案：C2．(2024·临汾三模)已知平面α及直线a，b，则下列说法正确的是()A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不行能垂直C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不行能都垂直解析：对于A，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行、相交、异面，故错；对于B，若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直，如图，直角三角形ACB的直角顶点在平面α内，边AC，BC可以与平面都成30°角，故错．对于C，若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行，明显错；对于D，若两条直线与平面α都垂直，则直线a，b平行，故正确．故选D.答案：D3．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A.eq\f(2,3) B．2C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：依据三视图可知，该几何体是三棱柱截取一部分所得．如图，几何体的体积为三棱柱ABC­A1B1C1的体积减去三棱锥C­A1B1C1的体积，即V＝S△ABC×BB1－eq\f(1,3)×S△ABC×BB1＝2，故选B.答案：B4．如图，多面体ABCD­EGF的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()解析：正视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故正视图为选项B或D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不行视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D.答案：D5．(2024·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).故选A.答案：A6．(2024·平顶山一模)高为5，底面边长为4eq\r(3)的正三棱柱形容器(下有底)内，可放置最大球的半径是()A.eq\f(3,2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(2)解析：由题意知，正三棱柱形容器内有一个球，其最大半径为r，r即为底面正三角形内切圆的半径，因为底面边长为4eq\r(3)，所以r＝2.故选B.答案：B7．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件的棱长为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．2－eq\r(2)解析：依题意知该工件为圆锥，底面半径为eq\r(2)，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x，则有eq\f(\r(2)x,\r(2))＝eq\f(2－2x,2)，解得x＝eq\f(1,2)，故2x＝1，即新工件棱长为1.故选B.答案：B8．已知直线a，b以及平面α，β，则下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥α，则a⊥bC．若a∥b，b∥α，则a∥αD．若a⊥α，b∥β，则α⊥β解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a∥b或a，b相交、异面，不正确；对于B，若a∥α，则经过a的平面与α交于c，a∥c，因为b⊥α，所以b⊥c，因为a∥c，所以a⊥b，正确；对于C，若a∥b，b∥α，则a∥α或a⊂α，不正确；对于D，若a⊥α，b∥β，则α，β位置关系不确定，故选B.答案：B9．(2024·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA­A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DB′，由题意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故选C.答案：C10．(2024·大庆一中模拟)设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则m⊥β的一个充分条件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，依据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故A不正确；α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不肯定垂直，故B不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不肯定垂直，故C不正确；n⊥α，n⊥β⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故D正确．故选D.答案：D11.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接AD，DD1，AD1.明显DD1⊥B1C1，AD1⊥B1C1，故B1C1⊥平面ADD1，故平面AB1C1⊥平面ADD1，故DD1在平面AB1C1内的射影在AD1上，∠AD1D即为直线DD1与平面AB1C1所成的角．在Rt△AD1D中，AD＝eq\r(3)，DD1＝3，所以tan∠AD1D＝eq\f(\r(3),3)，所以∠AD1D＝eq\f(π,6).因为BB1∥DD1，所以直线BB1与平面AB1C1所成的角的大小为eq\f(π,6).答案：A12．(2024·临汾二模)已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上，且AB＝BC＝AC＝2eq\r(2)，DA＝DB＝DC＝2，过AD作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得截面分别为圆M，N，则()A．MN的长度是定值eq\r(2)B．MN长度的最小值是2C．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π解析：因为AB＝BC＝AC＝2eq\r(2)，DA＝DB＝DC＝2，所以DA，DB，DC两两相互垂直，M，N分别是AB，AC的中点，MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，故选A.答案：A二、填空题13．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝1，沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′­BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为________．解析：设H为AO和BD的交点，O为DC中点，依题意有AH＝OH＝eq\f(\r(2),2)，四面体A′­BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，所以A′H⊥平面BCD，所以A′O＝eq\r(A′H2＋HO2)＝1，又因为OD＝OC＝OB＝1，所以O为四面体A′­BCD外接球的球心，故半径R＝1.则该球的表面积为4πR2＝4π.答案：4π14．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2.解析：由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2cm，BD＝4cm，所以该几何体表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72(cm2)．答案：7215．(2024·高考天津卷)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M­EFGH的体积为________．解析：依题意，易知四棱锥M­EFGH是一个正四棱锥，且底面边长为eq\f(\r(2),2)，高为eq\f(1,2).故VM­EFGH＝eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)16．(2024·