2024-2025高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法教案新人教A版选修4-5

PAGEPAGE12.1比较法一、教学目标1．理解比较法证明不等式的依据．2．驾驭利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培育对转化思想的理解和应用．二、课时支配1课时三、教学重点驾驭利用比较法证明不等式的一般步骤．四、教学难点通过学习比较法证明不等式，培育对转化思想的理解和应用．五、教学过程（一）导入新课已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.（二）讲授新课教材整理1作差比较法1．理论依据：①a＞b⇔；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔.2．定义：要证明a＞b，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①；②变形；③；④下结论．教材整理2作商比较法1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔；②a＜b⇔eq\f(a,b)＜1；③a＝b⇔eq\f(a,b)＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③推断商与1大小；④下结论．（三）重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).【精彩点拨】eq\x(推断aabb与ab\s\up21(\f(a＋b,2))的正负)→eq\x(作商变形)→eq\x(与1比较大小)→eq\x(下结论)【自主解答】∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，作商eq\f(aabb,ab\s\up21(\f(a＋b,2)))＝aaeq\s\up21(－\f(a＋b,2))·beq\s\up21(b－\f(a＋b,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2)).∵a≠b，∴当a＞b＞0时，eq\f(a,b)＞1且eq\f(a－b,2)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).当b＞a＞0时，0＜eq\f(a,b)＜1且eq\f(a－b,2)＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up21(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)eq\s\up21(\f(a＋b,2)).规律总结：1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔eq\f(a,b)＞1证明不等式时，肯定留意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应留意分类探讨．[再练一题]1．已知m，n∈R＋，求证：eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).【证明】因为m，n∈R＋，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(mn)＝eq\r(m＋n,mn\s\up21(\f(m＋n,2)))，令ω＝eq\f(mn\s\up21(\f(m＋n,2)),mn·nm)＝meq\s\up21(\f(m－n,2))·neq\s\up21(\f(n－m,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up21(\f(m－n,2))，则：①当m>n>0时，eq\f(m,n)>1，m－n>0，则ω>1.②当m＝n时，ω＝1.③当n>m>0时，0<eq\f(m,n)<1，m－n<0，则ω>1.故对随意的m，n∈R＋都有ω≥1.即eq\r(m＋n,mn\s\up21(\f(m＋n,2)))≥eq\r(m＋n,mn·nm)，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).题型二、比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路途走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．假如m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从动身地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．【自主解答】设从动身地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：eq\f(t1,2)m＋eq\f(t1,2)n＝s，eq\f(s,2m)＋eq\f(s,2n)＝t2.∴t1＝eq\f(2s,m＋n)，t2＝，∴t1－t2＝eq\f(2s,m＋n)－＝＝－.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．规律总结：1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来推断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特别值加以推断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，假如水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2，截面是正方形的水管的截面面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2).∵π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up21(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2)＝eq\f(l2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)－\f(1,4)))＝.由于l＞0,0＜π＜4，∴＞0，∴π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up21(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up21(2).因此，通过水管放水，当流速相同时，假如水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．题型三、作差比较法例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可依据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.规律总结：1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于推断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于推断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．[再练一题]3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【证明】∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.（四）归纳小结比较法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(作差法),—\x(作商法),—\x(实际应用)))（五）随堂检测1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD.t≤s【解析】s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.【答案】D2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD.大小不确定【解析】P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜eq\f(a3＋1,a2＋1)＜1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f(a3＋1,a2＋1)＞1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.综上总有P＞Q，故选A.【