2025版高考数学二轮复习第1篇专题4统计与概率第1讲小题考法-统计统计案例与概率学案

PAGEPAGE1第1讲小题考法——统计、统计案例与概率一、主干学问要记牢1．概率的计算公式(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝eq\f(事务A包含的基本领件数m,基本领件总数n)；(2)互斥事务的概率计算公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)对立事务的概率计算公式：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)；(4)几何概型的概率计算公式P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)．2．抽样方法(1)三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简洁随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采纳简洁随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采纳简洁随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成__(2)分层抽样中公式的运用①抽样比＝eq\f(样本容量,个体总量)＝eq\f(各层样本容量,各层个体数量)；②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．3．用样本数字特征估计总体(1)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小依次依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个平均数样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小．①方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]；②标准差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2)]．二、二级结论要用好1．频率分布直方图的3个结论(1)小长方形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．(2)各小长方形的面积之和等于1．(3)小长方形的高＝eq\f(频率,组距)，全部小长方形高的和为eq\f(1,组距)．2．与平均数和方差有关的4个结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．求s2时，可依据题目的详细状况，结合题目给出的参考数据，敏捷选用公式形式．3．线性回来方程线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))肯定过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．三、易错易混要明白1．应用互斥事务的概率加法公式，肯定要留意首先确定各事务是否彼此互斥，然后求出各事务分别发生的概率，再求和．2．正确区分互斥事务与对立事务的关系：对立事务是互斥事务，是互斥中的特别状况，但互斥事务不肯定是对立事务，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．在求解几何概型的概率时，要留意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等).考点一用样本估计总体1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再依据方差的计算公式进行计算．(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可依据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．1．(2024·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是(A)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，改变比较平稳解析对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，视察折线图的改变趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知明显正确．故选A．2．(2024·齐齐哈尔二模)某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．依据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是(B)A．68 B．72C．76 D．80解析由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是320×(0.02＋0.07)×2.5＝72人．选B．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温状况，绘制了一年中各月平均最高气温柔平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(D)A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个解析由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃4．(2024·南充三联)为了从甲、乙两人中选一人参与数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分状况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成果分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是(D)A．x甲＞x乙，乙比甲成果稳定，应选乙参与竞赛B．x甲＞x乙，甲比乙成果稳定，应选甲参与竞赛C．x甲＜x乙，甲比乙成果稳定，应选甲参与竞赛D．x甲＜x乙，乙比甲成果稳定，应选乙参与竞赛解析由茎叶图知，甲的平均成果是eq\f(72＋78＋79＋85＋86＋92,6)＝82，乙的平均成果是eq\f(78＋86＋87＋87＋91＋93,6)＝87，所以乙的平均成果大于甲的平均成果，从茎叶图看出乙的成果稳定，故选D．考点二变量间的相关关系、统计案例求回来直线方程的关键及实际应用(1)求回来直线方程的关键是正确理解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的计算公式和精确地求解．(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可依据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回来方程估计和预料变量的值．1．(2024·永州三模)党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能．共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，依据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是(D)解析依据四个列联表中的等高条形图可知，图D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．2．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y304050m70依据表中供应的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则表中m的值为(D)A．45 B．50C．55 D．60解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋50＋m＋70,5)＝eq\f(190＋m,5)．∵当eq\o(x,\s\up6(－))＝5时，eq\o(y,\s\up6(－))＝6.5×5＋17.5＝50，∴eq\f(190＋m,5)＝50，解得m＝60．3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．假如k>3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(D)P(K2>k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706 P(K2>k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828A．5% B．75%C．99.5% D．95%解析由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不行信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D．考点三古典概型与几何概型1．利用古典概型求概率的关键及留意点(1)正确求出基本领件总数和所求事务包含的基本领件总数．(2)对于较困难的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏．2．几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑运用几何概型求解．(2)求解关键是找寻构成试验的全部结果的区域和事务发生的区域，有时须要设出变量，在坐标系中表示所须要的区域．1．(2024·攀枝花一模)中国人民银行发行了2024中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18mm，某同学为了算图中装饰狗的面积．他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是(C)A．eq\f(486π,5)mm2 B．eq\f(243π,5)mm2C．eq\f(243π,10)mm2 D．eq\f(243π,20)mm2解析由题意得，纪念币的面积为S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,2)))2＝81π，设装饰狗的面积为S1，则eq\f(S1,S)＝eq\f(150,500)，所以S1＝eq\f(150,500)×S＝eq\f(150,500)×81π＝eq\f(243π,10)mm2，故选C．2．(2024·菏泽二模)甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结