2025版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲课后作业理含解析

PAGEPAGE1第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第5讲A组基础关1．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案A解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本领件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).2．从集合A＝{－2，－1,2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,4)答案A解析(a，b)全部可能的结果为9种．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0))时，直线不经过第四象限，符合条件的(a，b)的结果为(2,1)，(2,3)，共2种，所以直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝eq\f(2,9)，故选A.3．某车间共有12名工人，随机抽取6名作为样本，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．要从这6人中，随机选出2人参与一项技术竞赛，选出的2人至少有1人为优秀工人的概率为()A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,9)答案C解析由已知得，样本均值为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(20＋60＋30＋7＋9＋1＋5,6)＝22，故优秀工人只有2人．故所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,6)－C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故选C.4．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案C解析由题意得以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3,9，－27，…，其中有5个负数，1个正数1，共计6个数小于8，所以从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．(2024·山东济宁检测)学校为了嘉奖数学竞赛中获奖的优秀学生，将梅、兰、竹、菊四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三位学生，每个学生至少获得一幅，则在全部送法中甲得到名画“竹”的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析先分3组，Ceq\o\al(2,4)＝6，再安排Aeq\o\al(3,3)＝6，由分步计数原理可知总方法数N＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，满意条件方法数N1＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12，概率P＝eq\f(N1,N)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故选C.6．某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)答案D解析3个红包安排给四人共有Aeq\o\al(3,4)种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个安排给甲、乙，其余1个安排给另外二人，其概率为eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)·A\o\al(1,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(3×2×2,4×3×2)＝eq\f(1,2)，故选D.7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中随意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故选C.8．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．答案eq\f(3,5)解析如图，从A，B，C，D，O这5个点中任取2个，共有10种取法，满意两点间的距离不小于正方形边长的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6种，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).9．(2024·抚州模拟)如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天．该同志到达当日空气质量重度污染的概率为________．答案eq\f(5,12)解析某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市，并停留3天，基本领件总数n＝12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天，即该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本领件个数m＝5，所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,12).10．(2024·江苏苏州模拟)若a，b∈{0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为________．答案eq\f(2,3)解析a，b∈{0,1,2}，当函数f(x)＝ax2＋2x＋b没有零点时，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3种状况：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本领件总数n＝3×3＝9，∴函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).B组实力关1．(2024·南昌模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱相互垂直的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，从该三棱锥的6条棱中任选2条，共有15种不同的选法，其中相互垂直的2条棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5种状况，所以这2条棱相互垂直的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2．下面三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(1,14) D.eq\f(13,14)答案D解析从九个数中任取三个数的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84(种)，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).3．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则构成椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1且离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种状况，当a>b时，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)⇒eq\f(b,a)<eq\f(1,2)⇒a>2b，符合a>2b的状况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种状况；当b＝2时，有a＝5,6两种状况．总共有6种状况，则概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理当a<b时，e>eq\f(\r(3),2)的概率也为eq\f(1,6).综上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率为eq\f(1,3).4．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学担当敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2名同学来自同一年级”，求事务M发生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事务M发生的概率为P(M)＝eq\f(5,21).C组素养关1．(2024·成都模拟)某医疗科研项目组对5只试验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：(1)若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系．试依据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率．参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由题意，可得eq\o(x,\s\up6(－))＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝110，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝255，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,2).∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\f(1,2).∴所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).(2)设1号至5号小白鼠依次为a1，a2，a3，a4，a5，则在这5只小白鼠中随机抽取3只的状况有a1a2a3，a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a随机抽取的3只小白鼠中至少有一只的B项指标数据高于3的状况有a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a∴从这5只小白鼠中随机抽取3只，其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率为eq\f(9,10).2．(2024·吉林模拟)12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发觉青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织举荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展快速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势状况，探讨人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的分布列及其数学期望．解(1)由表可知：空气湿度指标为0的有A1，空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空气湿度指标为2的有A4，A6，A7，在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本领件总数n＝Ceq\o\al(2,10)＝45，这两地的空气湿度的指标z相同包含的基本领件个数m＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,3)＝18，∴这两地的空气湿度的指标z相同的概率P＝eq\f(m