2025年中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项测试卷(附含答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《二次函数综合压轴题》专项测试卷(附含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、二次函数与特殊三角形问题1．如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标；(3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形．①设的长为，求关于的函数解析式；②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围．2．如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，顶点为点D，对称轴是直线l．(1)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；(2)求四边形的面积；(3)在线段上是否存在一点M，使与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)E为线段上方抛物线上一动点，求四边形面积最大时，E的坐标以及面积的最大值；(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当时，求点的坐标；(3)设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上是否存在点，使四边形为矩形，若存在，请求所有符合条件的点坐标．5．已知抛物线．(1)如图，当抛物线的图象经过点，且对称轴在轴右侧时，①求抛物线的解析式；②抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，若点D是直线下方抛物线上一点，作，垂足为点E，设，求的最大值及此时点D的坐标；(2)若抛物线交轴于点P，设．①求与的函数解析式；②将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为M，当随的增大而增大时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．二、二次函数与面积问题6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)连接BC、BD、CD，求的面积：(3)已知点E的坐标为，点P在直线DE上，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．7．如图1，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C．(1)求搬物线C1的解析式；(2)若P是抛物线在第四象限上的一点，连接交线段于点K，是否存在点P，使得K刚好为的中点，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点M，N都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限，若，求证：直线经过一定点．8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴正半轴于点，，点在此抛物线上．(1)如图，求抛物线的解析式；(2)如图，点为第二象限内抛物线上一点，点的横坐标为，连接交轴于点，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，求的值；(3)如图，在的条件下，点在该抛物线上，，连接，点在上，点在该抛物线上，点的横坐标为，连接，，，的面积为，点在轴正半轴上，，连接交轴于点，连接，，若平分，求值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点F为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点为点的对应点，点为的对称轴上任意一点，在上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．10．如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点．(1)求该抛物线的解析式及点的坐标．(2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点．①若，求点的坐标；②连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．三、二次函数与线段周长问题11．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，的顶点为P．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，已知抛物线，与的一个交点为D．①判断抛物线是否过点C，并说明理由；②是否存在，使得以为直径的圆过点P，若存在求出t的值，若不存在说明理由；③记的面积为S，若对任意的正实数t均成立，求实数m的取值范围．12．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标．13．如图，已知双曲线，抛物线和直线．设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为．(1)若线段与线段的中点重合，求证：；(2)是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，拋物线如图所示，该拋物线与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的直线与轴正半轴交于点，且与拋物线的另一个交点为，的面积为5．(1)求拋物线和直线的解析式；(2)拋物线上的动点在直线的下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；(3)若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．15．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点．(1)求，两点坐标；(2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)(2)(3)①；②点在矩形外部时，或或【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可．（2）确定点A关于对称轴的对称点，连接对称点与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可．（3）①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解．【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线，得，∴，故抛物线的解析式为．（2）解：∵，∴抛物线的对称轴是直线，∵，点满足，∴两点是关于直线的对称点，连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点，∵，令，则，∴，设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴．（3）解：①∵点坐标为，点，∴线段的中点的横坐标为，∴，如图所示，点在点右边，∴，即时，点在点A的右侧，此时；如图所示，点在点左边，∴，即时，点在点A的左侧，此时．综上所述，l关于m的函数解析式为②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为，点坐标为，点是线段的中点，且，第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部，∴在点中，，则，在点中，，∴此种情况不存在；第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，，∴，即，∴，，∴，解得，或，∴；第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部，∴；第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，，∴，，∴，解得，，∴；综上所述，点在矩形外部时，或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键．2．(1)，；(2)9；(3)存在，或．【分析】本题考查了二次函数图象与性质，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强．（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；（2）由，即可求解；（3）当与相似时，存在或，则或，即或，即可求解．【详解】（1）解：把，代入，得，解得，∴抛物线的函数表达式为；∵；∴；（2）解：设直线的解析式为，把，代入得:，解得，∴直线的解析式为，∴当时，∴与直线l的交点，∵，，∴，∴，对于，当时，，解得，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由：由点A、C的坐标得，，当与相似时，存在或，则或，即或，解得：或，又直线的解析式为，设点，当时，则，解得：或（舍去），当时，同理可得，或（舍去），即M的坐标为或．3．(1)(2)最大面积为，点E坐标为(3)存在，点M的坐标为或或或【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求得点A坐标，进而得到，当最大时，最大，过E作轴交于D，设，，则，利用坐标与图形性质得，利用二次函数的性质求得的面积最大值即可求解；（3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可；【详解】（1）解：在中，令，得，∴，令，由得，∴，

把两点的坐标代入中得，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：对于，令，由得，，∴，∴，则，当最大时，最大，设，，则，∴，∴，∵，，∴当时，的面积最大，最大值为，此时四边形面积最大，最大值为，由得点E坐标为；（3）解：存在．将抛物线沿射线方向平移个单位长度，，相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，∴平移后新抛物线为，设点M的坐标为，，要使点N与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，点N的坐标为；此时若点N在抛物线上，则，解得，，；②当为对角线时，点N的坐标为，此时若点N在抛物线上，则，解得，，；③当为对角线时，点N的坐标为；此时若点N在抛物线上，则，解得，当时，得到，；当时，得到，，综上，点M的坐标为或或或．【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、坐标与图形等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．4．(1)(2)(3)N点坐标为或【分析】（1）将点和点的坐标代入解出、的值即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线解析式求得点坐标，可得为等腰直角三角形，则有，当时，即，内错角相等可得，即点纵坐标与点纵坐标相等，将代入抛物线解析式即可得到点的坐标；（3）分成两种情况考虑：第一种，当点在轴上时，此时只能为抛物线的顶点，由矩形性质即可推得点坐标；第二种，当点在轴负半轴上时，过作轴的垂线，垂足为，过作x轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，结合矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可以得出点的坐标为，最后根据点在抛物线上解出的值，即可得点坐标．综合两种情况即可得到完整解答．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，与轴交于点，代入得，解得，抛物线的解析式为．（2）解：由（1）得，令时，得，，，，为等腰直角三角形，，，，，即点纵坐标与点纵坐标相等，在中，令时，解得，，．（3）解：，抛物线的顶点坐标为，对称轴为，情况一：如图，当点在轴上时，只能为抛物线的顶点，四边形为矩形，点为抛物线对称轴上一动点，，与纵坐标相同，点坐标为；情况二：如图，当点在轴负半轴上时，四边形为矩形，过作轴的垂线，垂足为，过作x轴的垂线，垂足为，设点坐标为，则，矩形中，，，又，，，，，抛物线对称轴为，点在对称轴上，点坐标为，，，，即，，，，，，和中，，，，，，点的坐标为，点在抛物线上，，解得，，点在轴负半轴上，，即需舍去，点坐标为．综上所述，符合条件的点坐标为或．【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、等腰三角形的判定与性质、二次函数的图像与性质、矩形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，解题关键是方程思想的应用．5．(1)①②有最大值为，此时点(2)①②【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②过点作轴交于点，则，求得，设点，则点，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（2）①分当点在轴上方或与点重合时，当点在轴下方时，两种情况讨论，据此求解即可；②画出图形，知当时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，据此求解即可．【详解】（1）解：①抛物线的图象经过点，，，．对称轴在轴右侧，，，，；②过点作轴交于点，则，如图，当时，；当时，，，点，，，．,为等腰直角三角形，，设：，，解得，：．设点，则点，．，，当时，有最大值，，的最大值为，此时；（2）解：①当时，，点．当点在轴上方或与点重合时，或，；当点在轴下方时，，．综上所述，；②，当时，，当，，，当时，，当，，画出两个一次函数图像如下，将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为M，那么中横、纵坐标均为整数的点有：，，，，，，,，共8个，，时，，时，，如图所示：观察图像，可知当随的增大而增大时，或，对称轴为，当时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，此时对称轴在轴的右侧，即，如图所示：解方程，得（舍去负值）；解方程，得（舍去负值）；．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，待定系数求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．6．(1)，(2)3(3)或或或【分析】本题主要考查求二次函数解析式、勾股定理逆定理、两点间距离公式、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）先求得，再结合可得、，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，最后根据三角形的面积公式计算即可．（3），，，再运用勾股定理逆定理结合已知条件可得，然后求得直线的解析式为；设，则，然后分和两种情况解答即可．【详解】（1）解：将两点代入可得：，解得：，∴抛物线的解析式为；∵，∴顶点为D为．（2）解：∵抛物线的解析式为，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，且．∴．（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为，设，则，当时，，∴，解得：或，∴点P的坐标为或；当时，，∴，解得：或，∴点P的坐标为或．综上，点P的坐标为或或或．7．(1)(2)不存在，见解析(3)见解析【分析】（1）根据二次函数的交点式即可得到结论；（2）过点A作y轴的平行线交于点M，过点P作y轴的平行线交于点N，根据相似三角形的性质得到，求得，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点则，整理得到，由于，得到原方程无实数根，得到不存在点P，使得K刚好为的中点；（3）过M作轴于K，过N作轴于T，如图：根据将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，得到抛物线的解析式为，设，根据相似三角形的性质得到，即，整理化简得到，由点M、N的坐标得，直线解析式为，求得，当时，，得到直线经过．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，∴，即；（2）解：不存在，理由：过点A作y轴的平行线交的延长线于点M，过点P作y轴的平行线交BC于点N，则，∴，∴，∴，由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得直线的表达式为：，则点，即，则，设点，则点，则，整理得，，∵，∴原方程无实数根，∴不存在点P，使得K刚好为的中点；（3）证明：过M作轴于K，过N作轴于T∵将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，∴抛物线的解析式为，设，∵M，N分别在第四象限和第二象限，∴，∵，∴，∴，即，整理化简得：，由点M、N的坐标得得直线解析式为，∴，当时，，∴直线经过，∴直线经过一定点．【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．8．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2），，，，在内，

在内，，故，那么在内，；（3）先求，由，则设，代入，求得，联立直线和抛物线表达式得：，求得，可求，，设，过点作轴于点R，交于点K，可求直线：，设，则，由于，故，解得：，则，可得，那么，求得，同理可求：，则,过点作，垂足分别为，可证明，则，同理可得：，则，故，解方程即可求解．【详解】（1）解：抛物线交轴正半轴于点，，抛物线经过，可得：

，解方程组得：，抛物线的解析式为

；（2）解：点在抛物线上，且点的横坐标为，当时，点在第二象限，，，，，，，在内，

在内，，，

在内，，的值为；（3）解：设，则代入得：，∴，∵，∴设，代入，得：，解得：，∴，联立直线和抛物线表达式得：，∴，解得：或，∴，把代入得：，∴，∵，∴设直线表达式为：，则，解得：，∴，设，过点作轴于点R，交于点K，连接，∵，，∴同理可求直线：，∴设，∴，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，同理可求：，当，∴,过点作，垂足分别为∴∵平分，，∴，∴∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵∴，∴，整理得：，解得：或（舍）．所以．【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及解直角三角形，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理等知识点，两点间距离公式，难度较大．9．(1)(2)8(3)或或，【分析】（1）将，的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作轴交直线于E，设，用表示出的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为，转化为向右平移4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况进行讨论即可．【详解】（1）解：将，代入得，解得：，∴该抛物线的解析式为，（2）把代入中得：，∴，抛物线的对称轴l为，∵点D与点C关于直线l对称，∴，∵，设直线的解析式为；∴，解得：，∴直线AD的函数关系式为：，作轴交直线于M，设，∴，∴，∴，∴，∴当时，即点时，的面积最大，最大值为：8（3）∵直线的函数关系式为：，∴直线与轴正方向夹角为，∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，∵，，平移后的坐标分别为，，设平移后的抛物线的解析式为则，解得：，∴平移后，∴抛物线y1的对称轴为：，∵，∴，设，，∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴②当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴③当为对角线时，平行四边形的对角线互相平分∴，∴∴∴或或【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．10．(1)，(2)①；②，【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数解析式，二次函数与线段关系，二次函数与面积问题；（1）由对称轴是直线，得到，即可求出解析式；再令解方程即可求出点的坐标．（2）①先点坐标为，直线的解析式为，由轴表示出点的坐标为，点的坐标，即可得到，，再由列方程求解即可；②根据表示出四边形面积，再根据二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）解：抛物线（为常数）的对称轴是直线，，解得，该抛物线的解析式为，当时，有，解得，，点在点左侧，点的坐标是．（2）解：①由抛物线的解析式为可知点坐标为，设经过点，两点的直线的解析式为，∴，解得，直线的解析式为，抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，，点的坐标为，轴，交线段于点，点的坐标为，，，，，解得，，，取，此时点的坐标为；②∵点，，∴，，，由①知，，，当时，四边形面积最大，的最大值是，此时点的坐标为．11．(1)(2)①抛物线过点C

②存在，

③【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）①把代入即可；②求出的顶点的坐标，然后解和联立的方程组得到点D的坐标，根据勾股定理得到，列式计算即可求解；③求出直线的解析式，过作轴，交于点，可得点的坐标，然后得到即可得到的取值范围.【详解】（1）解：把，代入得：，解得，∴抛物线的解析式为，（2）①解：抛物线过点C，理由为：当代入得：，∴抛物线过点；②∵，∴点P的坐标为，解方程组得，，∴点D的坐标为，假设以为直径的圆过点P，则，∴，∴，整理得，解得(舍去)，，∴当时，使得以为直径的圆过点P；③设直线的解析式为，代入得：，解得，∴直线的解析式为，过点作轴交于点Q，则Q点的坐标为，∴，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．(1)，顶点坐标为：(2)最大值为，的坐标为(3)点坐标为，，，【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；（2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得；（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．【详解】（1）解：把点和点，点，代入抛物线，则，解得，∴抛物线的解析式为：；∵，∴；（2）解：由（1）知抛物线的顶点为，设直线的解析式为令，将代入，得，解得，∴直线的解析式为：，设点，则∴∴面积，∵，∴当时，面积的最大值为．此时；（3）解：∵抛物线的对称轴为：直线，设点坐标为，∵，∴，，，①当时，即，∴，解得，∴点的坐标为；②当时，即，∴，解得：，∴点的坐标为，；③当时，，∴，解得，∴点的坐标为；综上，点坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论．13．(1)见解析(2)存在，或或【分析】（1）分别联立和，可得出关于的一元二次方程，由根与系数的关系结合线段与的中点重合，即可得出，进而可证出；（2）由题意得，得到．将代入得，据此求解即可．【详解】（1）证明：设、、、．显然．联立，得，∴，．联立，得，∴，．若线段与的中点重合，则．∴；（2）解：若A、B为线段的三等分点，则线段与的中点重合，