2025年中考数学总复习《直线与圆的位置关系综合》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《直线与圆的位置关系综合》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，的直径，弦于点H，．

(1)求的长；(2)延长到P，过P作的切线，切点为C，若，求的长．2．如图，内接于，为的直径，点D在上方的上，连接，过点D作的切线交的延长线于点E，．(1)求证：；(2)若，的半径为4，求的长．3．如图，在直角三角形中，，，，以直角顶点为顶点作，设的半径为．(1)请直接写出当为何值，与所在直线相切．(2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出的取值范围．(3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出的取值范围．4．如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长．解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切，过点C作于D，则由勾股定理，得＝，由三角形的面积公式，得，∴＝＝上述解答正确吗？如不正确，请说明理由．5．平面直角坐标系中的与上一点Q，若存在一点M（点M不与点Q重合）使得直线绕点M旋转，所得直线恰好经过中点，则称点M为的“内直点”．如图所示点M为的内直点，平面直角坐标系中半径为r．(1)若，下列各点：，，，中是的“内直点”的是；(2)在（1）条件下，若一次函数上存在的“内直点”，结合图形求k的取值范围；(3)直线与x轴交于点E与y轴交于点F，若线段上存在的“内直点”，直接写出此时半径r的取值范围．6．如图，在中，经过两点的与边交于点，圆心在上，过点作交于点，连接交于点，且．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，请完成以下问题：①的度数是______；②求的面积和图中阴影部分的面积（结果保留）．7．如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的长．8．如图，中，点O在边上，经过点A的与边相切于点D，与边交于点E，射线交的延长线于点F，连接，．(1)判断直线与的位置关系，并加以证明；(2)若，求的长．9．如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．(1)求扇形的面积；(2)点是优弧上任意一点，则求的最大值；10．如图，是的直径，C是上一点（与A、B两点不重合），过点C作直线，使得．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)过点A作于点D，交于点E．若的半径为1，，求图中阴影部分的面积．11．如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么：(1)所作的圆的半径是多少？(2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？12．等腰直角三角形和如图放置，，，的半径为，圆心与直线的距离为现以的速度向右移动，同时的边长、又以的速度沿、方向增大．(1)当的边边除外与圆第一次相切时，点移动了多少距离(2)若在移动的同时，也以的速度向右移动，则从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了多长时间(3)在（2）的条件下，是否存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动的时间．若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，对于点（不在坐标轴上）给出如下定义：以为圆心，为半径的与y轴的另一个交点为，若在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，则称点是完美点．如图，若点的坐标为点，则在线段，上分别存在点，，使得为等腰直角三角形，其中，所以点是完美点．

(1)下列点中是完美点的有___________（填序号）；①；②(2)已知为抛物线上一点，若为完美点，求的取值范围：(3)已知直线l：，点为直线上一点，若以为圆心，半径为的上无完美点，求的取值范围．14．如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长．15．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．(1)某天海面上出现可疑船只C，在监测点A测得C位于南偏东，同时在监测点O测得C位于南偏东，求监测点O到C船的距离．（结果精确到，参考数据：，，，）(2)当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答．参考答案1．(1)；(2)．【分析】（1）根据垂径定理和相交弦定理求解；（2）根据切割线定理进行计算．【详解】（1）解：∵直径，弦于点H，∴，∴，∴，∴；（2）解：∵切于点C，∴，∵，∴，或（舍去），∴．【点睛】此题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用．掌握这两个定理的内容是解题的关键．2．(1)详见解析(2)【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义，相似三角形的判定以及性质．（1）由圆周角定理得出，即可得出，由直径所对的圆周角等于90度和切线的定义得出，，根据直角三角形两锐角互余可得出，进而可得出．（2）证明，由相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图：则∵，∴．∵为的直径，∴．∵为的切线，∴，∴．∴，即（2）解：，的半径为4，∴，，由（1）可知，，，∴∴，即，解得∶3．(1)(2)或(3)或【分析】（）如图，过点作于，当时，与所在直线相切，利用求出即可求解；（）由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点；再利用图形可求出当时，与斜边只有一个公共点，据此即可求解；（）利用（）图解答即可求解；本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：如图，过点作于，当时，与所在直线相切，∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴当时，与所在直线相切；（2）解：由（）知，当时，与所在直线相切，即此时与斜边只有一个公共点；如图，可知当时，与斜边只有一个公共点；综上，与斜边只有一个公共点时，或；（3）解：由上图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点．4．解答不正确，理由见详解【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围．【详解】解：上述解答不正确，理由如下：如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即，结合题干可知：R的取值范围为：或5．(1)；(2)或；(3)【分析】（1）可得出点的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），进一步判断即可得解；（2）直线过，求出相切时的的值，即可得解；（3）求出与相切时的值，结合题意分析即可得解．【详解】（1）解：如图1，设半径的中点为A，则点A的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，∵，∴点M的轨迹是以为直径的圆（不包括与半径为2和4相切的点），∴点M在圆环内，∵，，，∴点，，不是的“内直点”，∵，∴是的“内直点”，故答案为：；（2）解：如图2，∵，∴直线过，设直线与半径为4的圆且与点A和点B，连接，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴或；（3）解：如图3，直线记作直线l，直线l与x轴交于点B，交y轴于点C，当直线l与相切于点A，连接，可得，，，，∵，∴，∴，如图4，当时，和圆环交于点C，∴．【点睛】本题在新定义的基础上，考查了确定圆的条件，直线和圆的位置关系，一次函数的有关知识点，解直角三角形等知识点，解决问题的关键是数形结合的思想．6．(1)与的相切，见解析(2)①；②，【分析】（1）等边对等角，得到，，对顶角相等，得到，根据，结合等量代换，得到，即可得出结论；（2）①设，在中，勾股定理求出的值，进而求出，求出的度数，进而求出的度数即可；②作于点，利用三角形的面积公式以及分割法求出阴影部分的面积即可．【详解】（1）解：与的相切，理由如下，，，，，，，，，，，与的相切；（2）①，，设，，∴，在中，，，，，，，，∴；②∵，，作于点，，，，．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．7．(1)相切，理由见解析(2)【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质：（1）连接，根据角平分线的定义结合等边对等角，推出，进而得到，推出，即可得出结论；（2）连接，圆周角定理，得到，勾股定理求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式求出的长即可．【详解】（1）解：与相切，理由如下：连接，则：，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，即：，∵为的半径，∴与相切于点；（2）连接，由题意，得：为的直径，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．8．(1)直线与相切，见解析(2)【分析】本题考查切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理：（1）连接，证明，得到，根据与相切，得到，即可得出结论；（2）勾股定理求出，证明，设⊙O的半径为r，列出比例式求出的值，勾股定理求出的长，用进行求解即可．【详解】（1）解：直线与相切，证明如下：如图，连接，则．∴，，∴，，∵，∴．在和中，∴，∴，∵与相切，∴，∴，∴，∴是的切线；（2）由（1）知：，∴，∵，，∴，∴．设⊙O的半径为r，则，，∴．在中，，∴．9．(1)(2)【分析】本题考查特殊角三角函数值，扇形面积公式，圆的切线：（1）根据得出，进而得出优弧所对的圆心角，再利用扇形面积公式求解；（2）当与优弧相切时，最大，根据的正弦值确定度数．【详解】（1）解：点在数轴上对应的数是，原点为圆心，，，优弧所对的圆心角为：，．（2）解：如图，当与优弧相切时，最大，，．10．(1)相切，理由见解析；(2)【分析】（1）连接，根据等边对等角的性质，得出，再根据，推出，即可得出答案；（2）连接，过点作于点，利用圆周角定理，证明是等边三角形，进而得出，再求出和扇形的面积，即可求出图中阴影部分的面积．【详解】（1）解：相切，理由如下：如图，连接，，，，，是直径，，，，是半径，直线与相切；（2）解：如图，连接，过点作于点，，，，，，，，是等边三角形，，，，，，，阴影部分的面积为．【点睛】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．11．(1)2(2)相离．理由见解析【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．（1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案；（2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定．【详解】（1）作于，连接，则，则，答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2；（2）作于，则，，，所作的圆与直线相离．12．(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，设，可得，根据即可求出，从而求出点运动的时间，即可求出点移动的距离；（2）根据三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，再结合路程差与速度差即可求解；（3）求出三角形和从开始移动到第二次相切所用时间，求出圆心到的距离，判断其与半径的大小，即可求解．【详解】（1）解：设第一次相切时，三角形移至三角形处，与相切于点，连接并延长交于点，设与直线相切于点，连接，如图所示：则：，设，∵∴，∵∴∵∴，解得：，∴∴点运动的时间为：∴点移动的距离为：（2）解：∵三角形和从开始移动到最后一次相切时，是边与圆相切，且圆在的右侧，∴路程差为，∵和的速度差为，∴从开始移动，到它的边边除外与圆最后一次相切，一共经过了（3）解：∵三角形和从开始移动到第二次相切，路程差为，速度差为，∴三角形和从开始移动到第二次相切用时此时三角形移至三角形处，∴∵∴平分∴∴∴∵∴∴∵∴∴，∴此时与相交，故不存在某一时刻，使与的公共部分等于的面积【点睛】本题以几何动点问题为背景，考查了直线与圆的位置关系、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础．13．(1)②(2)(3)【分析】（1）根据新定义分析，设，则，得出当时，是完美点，进而分别判断①，②；（2）依题意，，根据为完美点，得出，解不等式，即可求解．（3）依题意，当时，半径为的上有完美点，则当时，半径为的上无完美点，依题意，解不等式，即可求解．【详解】（1）解：依题意，是等腰直角三角形，∴，则在半径为的上，设，则，根据直线与圆的位置关系，可得，当时，是完美点，∵①；②∴，而，则不是完美点∵,∴点是完美点；故答案为：②（2）解：∵为抛物线上一点∴∵为完美点，∴即即解得:∴；（3）解：如图所示，当为圆心，半径为的上有唯一完美点，

依题意，当时，半径为的上有完美点，∴当时，半径为的上无完美点∵在，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了几何新定义，勾股定理，二次函数的性质，一次函数的性质，解不等式,直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键．14．(1)直线与相切，理由见解