河南省郑州市2025届高三下学期第三次质量预测数学试卷（郑州三模）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省郑州市2025届高三下学期第三次质量预测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x−1|<1}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∪B=A.{x|0<x<2} B.{x|−1≤x≤2} C.{x|0≤x<2} D.{x|−1≤x<2}2.若复数z满足(1+2i)z=4+3i，则|z|=(

)A.3 B.2 C.5 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=7，A.3 B.4 C.5 D.64.在△ABC中，已知A=30∘，a=2，b=2，则角CA.45∘ B.105∘ C.45∘或135∘ 5.河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色.现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼.该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食).若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为(

)A.450 B.360 C.180 D.906.4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围.某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(

)(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)

A.阅读量的众数估值为8 B.阅读量的中位数估值为6.5

C.阅读量的平均数估值为6.76 D.阅读量的第70百分位数估值为8.867.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x−3)f(x)的图象关于x=3对称，若g(−2)=−5，则f(4)=(

)A.−3 B.−1 C.0 D.18.已知P点坐标为(2cosθ,sinθ)，直线l:(m+2)x+(m+1)y−3m−23=0与圆M:A.[−1,1] B.[−4,4]

C.[6−43,6+4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=3sin2x+2cos2A.最小正周期是π B.最大值是2

C.是区间(−π6,π6)10.如图，在棱长为6的正四面体P−ABC中，点O是顶点P在底面ABC内的射影，N为PO的中点，则(

)

A.AN⊥PC

B.点C到平面ABN的距离为32

C.如果在此正四面体中放入一个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63

D.动点Q在平面ABC内，且满足|PQ|≤511.群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“⋅”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的a，b∈G，有a⋅b∈G; ②对任意的a，b，c∈G，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c); ③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e⋅a=a⋅e=a，e称为单位元; ④对任意的a∈G，存在b∈G，使a⋅b=b⋅a=e，称a与b互为逆元.则称G关于“⋅”新构成一个群.则下列说法正确的有(

)A.G={−1,1,−i,i}(i为虚数单位)关于数的乘法构成群

B.有理数集Q关于数的加法构成群

C.G={a+2b|a,b∈Z}关于数的除法构成群

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线x+2y−2=0经过椭圆x2a2+y13.已知tan(α+β)tanβ=13，cos(α+2β)=14.若直线y=x为曲线y=eax+b的一条切线，则ba的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报.历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关.从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：触发警报时状态分布正常25台故障475台未触发警报时状态分布正常450台故障50台运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：状态/操作保持运行快速诊断深度检修正常013故障1046假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．(Ⅰ)若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率;(Ⅱ)某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器.现有三种操作方案：方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行;方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行;方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案更优．16.(本小题15分)已知函数f(x)=e(Ⅰ)若x=−12是函数f(x)的极值点，求a(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数g(x)=f(x)−m(x−1)有两个零点，求实数m的取值范围．17.(本小题15分)已知数列{an}的首项a(Ⅰ)求数列{an(Ⅱ)设bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn18.(本小题17分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(54(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)过F作互相垂直的两条直线l1，l2，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，(ⅰ)记△AOB和△POQ的面积为S1，S2，求S(ⅱ)过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由．19.(本小题17分)在空间直角坐标系O−xyz中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，经过点P0(x0,y(Ⅰ)求原点O到平面x−y−z−4=0的距离;(Ⅱ)根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出P(x0,y(Ⅲ)已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1，平面CDD1C1的方程为x−2y +z−2=0，平面ADD1A1经过点参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.A

6.D

7.D

8.C

9.AC

10.BD

11.ABD

12.25513.2314.−1

15.解：设服务器触发警报时其处于故障状态设为事件A，服务器未触发警报时其

处于故障状态记为B．

(Ⅰ)由题意可知，n(Ω)=500;n(A)=475，

P(A)=n(A)n(Ω)=475500=0.95;

(Ⅱ)∵P(A)=0.95，∴P(A)=1−P(A)=0.05，

又n(B)=50，

∴P(B)=n(B)n(Ω)=50500=0.1．

∴P(B)=1−P(B)=0.9，

方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为：

E1=0.95×6+0.05×3=5.85(千元)．

未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为：

E2=10×0.1+0×0.9=1(千元)．

∴E甲=E1+E2=6.85(千元)

16.

解：(Ⅰ)f′(x)=ex(ax−1+a)，

又x=−12是函数f(x)的极值点，所以f′(−12)=ex(−12a−1+a)=ex(12a−1)=0，即a=2．

此时f′(x)=ex(2x+1)，

f′(x)=ex(2x+1)>0，x>−12;

f′(x)=ex(2x+1)<0，x<−12，

所以函数f(x)在区间(−∞,−12)上单调递减，在区间(−12,+∞)上单调递增，所以，x=−12是函数f(x)的极小值点；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)=f(x)−m(x−1)=ex(2x−1)−m(x−1)有两个零点，

即方程g(x)=ex(2x−1)−m(x−1)=0有两个解，

当x=1时，g(1)=e≠0.

当x≠1时，ex(2x−1)=m(x−1)，即m=ex(2x−1)x−1．

设ℎ(x)=ex(2x−1)x−1，函数g(x)零点个数为函数y=ℎ(x)的图象与直线y=m的交点个数．

ℎ′(x)=ex(2x2−3x)(x−117.解：(1)由题意可知，an+1=−an+32×(12)n可得an+1−12n+1=−(an−12n)，

又a1−12=−1，故数列{an−12n}是以−1为首项，以−1为公比的等比数列，

所以an=(−1)n+12n

(2)由(1)可得bn=nan=(−1)nn+n218.解：(Ⅰ)依题意得，点M在抛物线上，且|MF|=74，

所以，p2+54=74，所以可得p=1，

所以，E的方程为y2=2x．

(Ⅱ)抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为F(12,0)，

设l1:x=my+12，l2:x=−1my+12，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，

(i)由y2=2x,x=my+12,消去x得y2−2my−1=0，

Δ=4m2+4>0，y1+y2=2m，y1y2=−1，

所以，S1=12OFy1−y2=14(y1+y2)2−4y1y2=144m2+4，

同理，S2=1419.解：(Ⅰ)根据题意，平面的法向量n1=(1,−1,−1)，

在平面x−y−z−4=0上任取点M(4,0,0)，可得OM=(4,0,0)，

设原点O到平面x−y−z−4=0的距离为d，

则d=OM·n1n1=433，

故原点O到平面x−y−z−4=0的距离为433;

(Ⅱ)由点到直线的距离公式d=|A′x0+B′y0+D′|A′2+B′2，

类比：点平面的距离公式为d=|A′x