2003年内蒙古通辽市中考数学真题【含答案、解析】

试卷第=page66页，共=sectionpages77页试卷第=page11页，共=sectionpages66页2003年内蒙古通辽市中考数学真题【含答案、解析】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题中，真命题为（

）A．一个正数与一个负数的和是负数 B．两个锐角的和是钝角C．同角的余角相等 D．有理数的绝对值是正数2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．

3．如果把560000这个数用科学记数法表示，正确的是（

）A． B． C． D．4．若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形是（

）A．十二边形 B．十边形 C．八边形 D．六边形5．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱：每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价y钱，下面所列方程组正确的是（）A． B．C． D．6．如图，，，若，则的大小为（

）A． B． C． D．7．把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（

）A． B． C． D．8．如图，点的坐标依次为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．9．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值为（

）A． B．0 C． D．或010．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（

）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2） D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）11．如图所示的是一张正方形纸板，现将一个飞镖随机地投掷到正方形纸板上，则飞镖恰好落在阴影区域的概率是（

）A． B． C． D．12．如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，则正方形的面积是（

）A．8 B．16 C． D．12二、填空题13．如图，小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，接着将该活动学具调成图2所示正方形，测得正方形的对角线，则图1中对角线AC的长为．14．如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有：（填上所有符合要求的条件的序号）15．已知：如图，直线MN和直线l相交于点O，其中两直线相交所构成的锐角等于45°，且OM=6，MN=2，若点P为直线l上一动点，那么PM+PN的最小值是．16．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧对应的中心角为，的长为，则图中阴影部分的面积为．

17．如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，点B恰好在斜边上，则线段CA扫过的面积为．则点A经过的路径的长为．三、解答题18．计算：．19．先化简再求值：，其中20．将如图所示的牌面数字为1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．(1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是______；(2)先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将剩余的牌重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍数的概率．21．如图，在⊙O中，点D为AB的中点，点P为半径OC延长线上一点，连结AC，AP，且AC平分∠PAB．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB平分OC，且⊙O的半径为2，求PA的长度．22．某中学开展了“手机伴我行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成图①、图②不完整的统计图，已知问卷调查中“查资料”的人数是40人，条形统计图中“0～1表示每周使用手机的时间大于0小时而小于或等于1小时，以此类推．（1）本次问卷调查一共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）该校共有学生1200人，估计每周使用手机“玩游戏”是多少名学生？23．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表：型号甲乙每台每小时分拣快递件数（件）每台价格（万元）该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件．（1）设购买甲种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的费用为万元，求与之间的关系式；（2）利用一次函数的知识说明购买几台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少?最少费用是多少?24．已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连结CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．25．正方形的四个顶点都在上，E是上的一点．

(1)如图1，若点E在弧上，连接，F是上的一点，．求证：；(2)在（1）的条件下，请你判断线段之间的等量关系，并请说明理由：(3)如图2，若点E在弧上，且，，求正方形的面积．26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为，且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；(2)过点A作轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合），过点D作轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长．答案第=page22页，共=sectionpages2020页答案第=page11页，共=sectionpages1818页《初中数学中考真题》参考答案题号12345678910答案CDCBBDADDB题号1112答案CB1．C【分析】本题考查了命题与定理．根据有理数的加法，绝对值，角的和差以及余角的性质分别判断即可．【详解】解：A、一个绝对值较大的正数与一个绝对值较小负数的和是正数，故原命题为假命题；B、两个锐角的和有可能是锐角，故原命题为假命题；C、同角（或等角）的余角相等，故为真命题；D、0的绝对值是0，故原命题为假命题；故选：C．2．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．C【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：，故选：C4．B【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出每一个外角的度数，再根据边数一个外角的度数计算即可．【详解】解：，，故这个多边形的边数是10．故选：B．5．B【分析】设设合伙人数为人，羊价为钱，根据羊的价格不变列出方程组．【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为：．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．6．D【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质解题的关键．根据平行线的性质求解即可．【详解】解：，，，．故选：D．7．A【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”．即可求解．【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为．故选：A．8．D【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，过点C作于点E，利用勾股定理解和求出，再根据锐角三角函数的定义逐项求解，即可得出答案．【详解】解：点的坐标依次为，，，，，，如图，过点C作于点E，设，则，在中，，在中，，则，解得，即，，，，故A选项错误；，，，故B选项错误；，，，故C选项错误；，，故D选项正确；故选：D．9．D【详解】原方程去分母，得，解得，∵分式方程有正整数解且，∴或，解得或10．B【分析】首先将前三项利用完全平方公式分解因式，进而结合十字相乘法分解因式得出答案即可．【详解】x2−10xy＋25y2＋2（x−5y）−8＝（x−5y）2＋2（x−5y）−8＝（x−5y＋4）（x−5y−2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及十字相乘法法分解因式，正确应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．C【分析】本题考查了几何概率；设正方形纸板的边长为，则正方形纸板内圆形的半径为，求出阴影部分的面积，根据几何概率的计算方法求解即可．【详解】解：设正方形纸板的边长为，则正方形纸板内圆形的半径为，∴，∴飞镖恰好落在阴影区域的概率是，故选：C．12．B【分析】本题考查了反比例函数的应用、正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，，根据正方形的性质求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入反比例函数的解析式可求出，由此即可得．【详解】解：设点的坐标为，则，，∵四边形是正方形，∴，∴，，，∵为的中点，∴，将点代入反比例函数得：，整理得：，∴，∴正方形的面积是，故选：B．13．【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∵AC=30，∴AB=BC=，在图1中，∵∠BAD=120°，∴∠B=60°，且BA=BC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=，故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．①④/④①【分析】本题考查了尺规作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，勾股定理．利用角平分线的作法，角平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，勾股定理对选项逐一分析即可．【详解】解：①根据作图痕迹知射线平分，故①说法正确；②因为平分，∴，，，，，，，故②说法错误；③、，，，，，故③说法错误；④、，，∴为等边三角形，，，故④说法正确；故答案为：①④．15．10【分析】作点M关于l的对称点M′，连接M′N，交l于点P，则此时PM+PN的值最小.连接OM′，根据轴对称的性质可知∠MOM′=90°，然后根据勾股定理可求出NM′，即PM+PN的最小值.【详解】作点M关于l的对称点M′，连接M′N，交l于点P，则此时PM+PN的值最小.连接OM′，∵NOM=45°，∴∠MOM′=90°.∵OM=6，MN=2，∴ON=8，OM′=6，∴,∴PM+PN的最小值是10.故答案为10.【点睛】本题考查了轴对称的性质—最短路径问题和勾股定理，根据轴对称的性质求出点M的位置是解答本题的关键.16．【分析】根据题意可得“阴影部分的面积扇形的面积的面积”，再利用三角形面积公式、扇形面积公式代入数据计算解答．【详解】解：，，，，在中，，；故阴影部分的面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，把阴影部分合理分割为规则图形的面积是解答本题的关键．17．8π【分析】解直角三角形求出BC、AC、∠ABC的度数，根据旋转的性质求出CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，求出∠ACA′,再根据扇形的面积公式和弧长公式求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=AB=4，∠ABC=90°-∠A=60°，∴AC=，∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转，使斜边A′B′过B点，∴CB′=CB，∠B′=∠ABC=60°，∠A′CB′=∠ACB=90°，∴△BCB′是等边三角形，∴∠BCB′=60°，∴∠A′CB=90°-60°=30°，∴∠ACA′=∠ACB-∠A′CB=90°-30°=60°，∴线段CA扫过的面积为，点A经过的路径的长为，故答案为：8π；．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形和扇形的面积以及弧长计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．18．【分析】本题考查实数的混合运算，先进行零指数幂，负整数指数幂，去绝对值和开方运算，再进行加减运算即可．【详解】解：原式．19．，【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．(1)(2)列表见解析；【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）先列表，然后根据概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵牌面数字为1，2，3，4的四张扑克牌中有两个奇数，∴从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率为；故答案为：．（2）解：根据题意列表如下：

第一次第二次12341121314221232433132344414243∵共有12种等可能的情况，其中恰好是3的倍数的有12，21，24，42四种结果，∴．【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，列表或画树状图求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图．21．（1）见解析；（2）【分析】（1）由垂径定理得OC⊥AB，再结合圆的性质和角平分线的性质证明∠CAP+∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可证明结论；（2）根据题意得AB与OC互相垂直平分，即可证明△OAC为等边三角形，得∠O=60°，再利用锐角三角函数求出PA的长即可．【详解】解：（1）∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠PAB，∴∠CAP=∠CAD，∵点D为AB的中点，OC⊥AB，∠CAD+∠OCA=90°，∠CAP+∠OAC=90°，∠PAO=90°，∴PA是⊙O的切线；（2）∵点D为AB的中点，AB平分OC，∴AB与OC互相垂直平分，∴OA=AC=OC，即△OAC为等边三角形，∴∠O=60°，∴在中，．【点睛】本题考查圆的性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理，切线的判定定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形的方法．22．（1）100；（2）见解析；（3）420人.【分析】（1）由“查资料”的人数是40人，占被调查人数为40%可得总人数；（2）根据时间段人数之和等于总人数求得3小时以上的人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中玩游戏人数所占百分比可得．【详解】（1）本次问卷调查的学生人数为40÷40%＝100人；（2）3小时以上的人数为100﹣（2+16+18+32）＝32人，补全图形如下：（3）估计每周使用手机“玩游戏”的学生人数为1200×（1﹣18%﹣40%﹣7%）＝420人．【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．23．（1）；（2）购买台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少，最少费用为万元【分析】（1）设购买甲种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的费用为万元，根据图表可得甲型号机器人每台5万元，乙型号机器人每台3万元，即可列出关于与之间的关系式；（2）设购买甲种型号的机器人台，根据“该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件．”可列出关于的不等式，可求出的取值范围，然后由函数的增减性，即可求解．【详解】解：（1）与之间的函数关系式为：；（2）由题可得：；解得；，．随的增大而增大，当时，取得最小值，，购买台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少，最少费用为万元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及其性质，一元一次不等式的应用，明确题意准确得到数量关系是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）连接OD，通过证△CBO≌△CDO来得到∠CDO＝∠CBO，由于BC且⊙O于B，根据切线的性质知∠CBO＝90°，从而得到∠CDO＝90°，问题得到证明；（2）根据切割线定理可求得AB的长，然后设CD＝BC＝x，则可得AC＝2＋x，然后根据勾股定理列方程进行求解即可得．【详解】解：（1）连接OD，∵ED∥OC，∴∠COB＝∠DEO，∠COD＝∠EDO，∵OD＝OE，∴∠DEO＝∠EDO，∴∠COB＝∠COD，在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CDO＝∠CBO，∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，又∵OD为圆的半径，∴CD为圆O的切线；（2）∵CD，BC分别切⊙O于D，B，∴CD＝BC，∵AD是切线，AB是割线，∴AD2＝AE•AB，即22＝1•AB，∴AB＝4，设CD＝BC＝x，则AC＝2＋x，∵AC2＝AB2＋BC2∴（2＋x）2＝42＋x2，解得：x＝3，∴CD＝3【点睛】本题考查圆的综合题，涉及全等三角形的判定和性质，切线的判定，切割线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键．25．(1)见解析(2)，理由见解析(3)13【分析】（1）如图（见解析），根据圆周角定理可得，再根据即可证明；（2）根据可得，进而证明是等腰直角三角形，可得，即可得出；（3）在上取点，使，连接，同（1）可证，再证是等腰直角三角形，依次求出和的长度，再用勾股定理解求出正方形的对角线长，即可求正方形的面积．【详解】（1）证明：如图1，在正方形中，，

和都是弧所对的圆周角，，在和中，，；（2）解：线段之间的等量关系为：，理由如下：由（1）有，，在正方形中，，，，，是等腰直角三角形，，，，即，；（3）解：在上取点，使，连接，

同（1）可证，，在正方形中，，，，，是等腰直角三角形，，，是的直径，，，，即正方形的面积为13．【点睛】本题考查正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是证明是等腰直角三角形．26．(1)，点B（-4，0）；(2)或或．(3)【分析】（1）设该抛物线解析式为，把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得设点，则，