2025年中考数学总复习《反比例函数与三角形的综合应用》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《反比例函数与三角形的综合应用》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．是反比例函数的图像在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为2．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点在射线上时，为轴正半轴上一点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．2．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点．(1)求反比例函数表达式及点的坐标；(2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；(3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，轴，垂足为点．(1)求出点，，的坐标；(2)若点是反比例函数图象上的一个动点且位于点右侧，连接，过点作轴，垂足为点．是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．(1)求直线和反比例函数的解析式；(2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；(3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．5．在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是．(1)求，的值；(2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围；(3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标．6．如图，一次函数与反比例函数相交于点两点，点的坐标为，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一点，轴交反比例函数图象于点，交轴于点，连接．(1)请直接写出________，_____(2)当时，是_____三角形，并求点的坐标；(3)在第（2）问条件下，连接，问直线是否经过原点，请说明理由．7．如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．(1)求的值；(2)若将四边形分成两个面积相等的三角形，求点的坐标．8．如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，．(1)求正比例函数，反比例函数解析式；(2)求的面积．(3)点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标．9．如图，直线经过两点，与双曲线交于点．(1)求直线和双曲线的解析式．(2)过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，．P是反比例函数的图象在第一象限内的一动点，当轴时，的面积为．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，当点P在射线上时，Q为x轴正半轴上一点，若以P，O，Q为顶点的三角形与相似，求点Q的坐标；(3)若点P是使的面积取得最小值的点，将线段沿着x轴向右平移n个单位长度，平移后对应的线段为的垂直平分线恰好经过点P，求n的值．11．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；(3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A坐标为，点B的坐标为．(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)观察图象直接写出满足时的x的取值范围；(3)P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时，求点P的坐标．13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

(1)点的坐标为_______；(2)连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以为顶点的三角形与相似，求点的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标；(3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标．15．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，一次函数的图象交y轴于点B．(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；(2)如图，直线交反比例函数图象一象限分支于点F，连接，作射线轴．求证：射线平分；(3)目前，数学家探究出三角形的“几何心”有四万余个，某校兴趣小组研究后定义：三角形内有一点，将三角形的某两个顶点分别与该点连接产生两条线段，若两条线段相互垂直且其中有一条线段平分一个内角，则称该点为该三角形的“蓉心”．点D、E分别是反比例函数一、三象限分支上的点，连接、、，若点B是的“蓉心”，求点D的坐标．参考答案1．(1)(2)或【分析】本题考查待定系数法求反比例解析式，相似三角形判定及性质等．（1）设点，继而得到，根据面积列式得，求出，再代入反比例解析式即可求出；（2）先求出，后分两种情况讨论，①当时和②当与不平行时，分别利用相似三角形判定及性质即可作答．【详解】（1）解：轴，，设点，，的面积为，，解得，，点在反比例函数图像上，，反比例函数表达式为：；（2）解：点，直线表达式为，点是射线与反比例函数交点，，∴，①当时，，，即，，，②当与不平行时，，，即，，，综上，符合条件的点坐标为或．2．(1)，(2)点N的坐标为或(3)【分析】（1）先由一次函数表达式求出A坐标，进而得到k值，再联立两个函数表达式求B点坐标即可；（2）先求出D点坐标和直线解析式，进而求得M坐标，可知，所以只需讨论是以为腰的等腰三角形即可得解；（3）过作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N，则，进而求出最大值即可得解．【详解】（1）解：由题可知点A在上，∴，∴，把代入，∴，即反比例函数表达式为；依题意，得，则，整理得解得或，经检验：或是原分式方程的解，∵，∴把代入，得∴；（2）解：∵点B和点D关于点O对称，且，∴，依题意，设直线表达式为，将，代入得，，解得，∴直线表达式为，令得，解得，∵连接交轴于点∴，∵直线与轴交于点，∴令，则，解得，∴，∵，则，，∴；∵以点，，为顶点的三角形与相似，∴①若时，则，设∵，则，解得或（舍去）；∴，②时，此时，设，则，∴，解得，∴，综上，点N的坐标为或（3）解：如图，过D作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N，∵过D作轴，交延长线于点M，且∴，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，则，∴，∴要使的值最小，则求最大即可，设则，∴，∵∴∴则，当且仅当时取等，∴当（负值舍去）时，最大，∵，此时，∴∴，∵O是的中点，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了反比例函数综合，涉及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．3．(1)，，；(2)或．【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的性质，一元二次方程的解法，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键．（）由一次函数可得当，，，分别求解对应的，，从而可得点的坐标；（）代入的坐标可得反比例函数解析式，证明，由在的右侧，分两种情况：当时，设；当时，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于两点，∴当时，；当时，；当时，；∴，，；（2）解：∵在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数解析式为，∵，∴，当时，设，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴，当时，∴，解得：，（不符合题意，舍去），∴，∴，综上：或．4．(1)，；(2)或；(3)存在，点的坐标为或．【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式；将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．【详解】（1）解：把代入，可得：，，反比例函数的解析式为，把代入，可得：，，直线的解析式为；（2）解：，点的坐标是，，如下图所示，将直线沿轴方向向上平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则，，，，，直线与直线平行，，直线的解析式为；将直线沿轴方向向下平行移动时，设直线与，轴分别交于点，，则，，，，，直线与直线平行，，直线的解析式为；综上所述，直线的解析式为或；（3）解：点的坐标为或，点在图象上，点在直线上，设点，点，点是点的等和点，，，，，，经检验，，均是原分式方程的根，当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为，综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合性、求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、函数图象的平移，解决本题的关键是根据函数的图象与性质找到相应的点的坐标，再根据坐标求出解析式．5．(1)，(2)或(3)或【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）解：对于，当时，，∴，代入，得，∴，∴，当时，，解得，∴代入，得，解得；（2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或；（3）解：由（1）知：，当时，，∴，当时，，解得，∴，∴，，∴，∵，∴当时，如图，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；当时，如图，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；综上，点P的坐标为或．6．(1)；(2)等腰直角，(3)是，理由见解析【分析】（1）点分别代入和，求出结果即可；（2）过点作的垂线，垂足为，求出直线与y轴和x轴的交点为，得出，根据平行线的性质得出，证明是等腰直角三角形，设点，则，得出，根据点F在反比例函数图象上，得出，求出a的值即可；（3）先求出点的坐标为，根据点，得出B、F关于原点对称，得出经过原点．【详解】（1）解：将点分别代入和中得：，，解得：；（2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示：直线与轴，轴分别交于点，，是等腰直角三角形，即，垂直轴，轴，，，是等腰直角三角形，设点，则，，，点在反比例函数图象上，，，（舍去）；（3）解：∵点是直线与双曲线的交点，，，（舍去），点的坐标为，由（2）可知点，∵点与点的横纵坐标互为相反数，∴关于原点对称，直线会经过原点．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，关于原点对称点的特点，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法．7．(1)，(2)【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据解析式求出点的坐标，根据点的坐标和点的坐标得出三角形的面积，根据面积比求出三角形的面积，设出点的坐标，根据面积求出的值，再用待定系数法求出即可；（2）根据点的坐标得出点的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵直线与y轴交点为，∴，即，∵点的横坐标为，，，，设，，解得，∵点在双曲线上，把点代入得，；（2）解：∵将四边形分成两个面积相等的三角形，解得或(不符合题意，舍去)，∴点的坐标为．8．(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)18(3)点P的坐标为或，，【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键．（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解；（3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可．【详解】（1）解：∵正比例函数图像过点，∴，解得，∴正比例函数的解析式为．∵反比例函数图像过点，∴，解得，∴反比例函数的解析式为．（2）解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上，∴当时，，∴点C的坐标为，∵，且的解析式为，∴设直线的解析式为，∵直线过点，∴，解得，∴直线的解析式为．过点作轴，交于点E，∴点E的横坐标为4，把代入函数中，得，∴，∴，∴．（3）解：把代入函数，得，∴，∵把代入函数，得，解得，∴，∴．若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论：①如图，若，∵轴，∴点B与点P关于x轴对称，∴．②如图，若，∵，∴或．③如图，若，则设点P的坐标为，∵，，∴，，∵，∴，即，∴，解得，∴．综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，．9．(1)直线解析式为，双曲线解析式为(2)点P坐标为或或或【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质：（1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：直线经过两点，∴，解得：，∴，当时，，解得：，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论：①当，则：，∴，∴，∴或；②当，则：，∴，∴，∴或；综上：点P坐标为或或或．10．(1)(2)或(3)【分析】（1）设点，根据的面积为，列出方程，解得，求出反比例函数解析式即可；（2）先求出点坐标及长，分两种情况①当时，，②当与不平行时，讨论求出点坐标即可；（3）先求出当面积最小时点坐标，再求出线段的垂直平分线解析式为：，根据平移法则得到，代入点坐标求出值即可．【详解】（1）解：设点，轴，，的面积为，，解得，，，点在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为：；（2）解：点，直线解析式为，点是射线与反比例函数交点，，，，①当时，，，即，，，；②当与不平行时，，，即，，，．综上分析，符合条件的点坐标为或；（3）解：设直线解析式为，把点，代入得，解得，直线解析式为，设直线向上平移个单位与双曲线相切，则有，整理得：，，解得或（舍去），当时，，解得，即点是使的面积取得最小值的点坐标为，此时轴，点，，线段的中点坐标为，线段的垂直平分线解析式为：，将线段沿着轴向右平移个单位长度，即将线段的垂直平分线向右平移个单位长度，平移后线段的垂直平分线解析式为：，此时解析式过点，，解得：．【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，垂直平分线的性质，待定系数法解一次函数，相切的性质，一元二次方程的判别式，相似三角形判定的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定及函数平移法则是关键．11．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）待定系数法进行求解即可；（2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可；（3）分和两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；∴，∴，∴，，∴，解得：，∴；（2）设直线交轴与点，∵，∴当时，，时，，∴，∴，设，∴，∵，∴，∴，∴或，∴或；（3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，∵，∴，∴，∴，设的解析式为：，则：，∴，∴，联立，解得：或（舍去）；∴；②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，∴，∴，同法可得：的解析式为：，联立，解得：或，∴；综上：或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，分割法求面积，旋转的性质，综合性强，难度大，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．12．(1)，(2)或；(3)或或或．【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；（2）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；（3）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标．【详解】（1）解：点坐标为，把点的坐标代入得：，反比例函数的解析式是；把点的坐标为代入得：，解得：，；把、两点的坐标代入中得：，解得：，一次函数的解析式为：；（2）如图，由图象得：时的取值范围是：或；（3）当是等腰三角形时，存在以下三种情况：当时，如图，，，或；当时，如图，

设，∴，解得：或（不符合题意舍去），；当时，如图，过作轴于，

设，则，，，，，；综上，的坐标为或或或．【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，反比例函数与一次函数图像与性质，反比例函数与一次函数交点问题，本题难度适中，运用分类讨论思想是解答本题的关键．13．(1)；(2)，．【分析】（）将点的坐标代入关系式，求出的值，令即可得出答案；（）先求出，，，再确定点的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可；此题考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定，解题的关键是根据相似三角形的性质进行分类讨论．【详解】（1）∵一次函数图象过点A，∴，解得：，∴一次函数解析式为，当时，，∴点，故答案为：；（2）当点落在轴的正半轴上，则，∴与不可能相似．当点落在轴的负半轴上，若，∵，，∴，若，则，∵，∴，∴，综上所述：点的坐标为．14．(1)(2)点的坐标为、(3)点的坐标为、【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为；（2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三