2025年中考数学总复习《全等三角形的判定与性质》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《全等三角形的判定与性质》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：；(3)如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值．2．如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．(1)如图1，当点与重合时，求证：；(2)如图2，当点不与重合时，求证：四边形是平行四边形；(3)如图3，延长交于点，若，若，证明：．3．如图1，点P是对角线上的一点（），且使得，连接并延长，交于点E．(1)若，求的值．(2)如图2，将沿方向平移到，求证：．(3)如图3，连接，取的中点M，连接交于点F，若，求的值．4．在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是________．证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是______(2)点E在边上运动．①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．②如图3，连接，若正方形的边长为4，求周长的取值范围5．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，点在上，连接，且．(1)如图1，是______三角形；(2)若，求的值；(3)如图2，在（2）的条件下，点在上，且不与，两点重合，连接并延长到点，使得，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在的延长线上．当时，求的长．6．如图，四边形是正方形，点在上，点在上，且，和交于点．(1)求证：；(2)如图，与交于点，与交于点，与交于点，求证：；(3)如图，在（）的条件下，连接，过点作交于点，交于点，若，，求的长．7．利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称变换过程中的变化，及其蕴含的数学思想和方法．已知，矩形纸片的边，E为边上的动点（E不与B，C重合），将矩形纸片沿着对折，点B落在点F处．(1)如图1，若点F恰好落在矩形的对角线交点处，求的长．(2)如图2，若的延长线恰好经过点D，，求的长．(3)如图3，若，连接，，当是等腰三角形时，求的长．（直接写出结果）8．如图1，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点．(1)求证：；(2)如图2，延长交于，连接交于点，过点作交的延长线于点，求证：；(3)在（2）问的条件下，当时，若，求的长．9．正方形的边长为，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．(1)如图1，当点为中点时，连接，求的长；(2)如图2，当点为线段上任意一点时，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，分别连接，依题意补全图形，猜想与的数量关系，并证明你的结论．(3)在（2）的条件下，当点在线段上运动，线段的最小值为__________．10．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长．(1)从特殊情形入手：①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________；②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．(2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程．11．已知在四边形中，，，(1)如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______；(2)如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明；(3)如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．(1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，求证：；(2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．(3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值．13．在正方形和正方形中，为上一动点（不与重合），在延长线上，(1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由．(2)如图2连接交于点，连接，判断与的数量关系，并说明理由．(3)如图3连接交于点，连接，若点在运动的过程中，当平分时，过点做于点，直接写出与的数量关系．14．在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，为轴正半轴上一点，以为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．(1)如图1，当时，求点的坐标；(2)如图2，当时，连接，过点作于，过点作轴于，交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由；(3)如图3，当时，点、分别为四边形的边、延长线上的两点．连接、、．若，点的纵坐标为，求点的横坐标（用含、的代数式表示）．15．如图1，在矩形中，垂直对角线于点E，交于点F，M是的中点，连接并延长，交于点N，于点H，连接．(1)求证：．(2)若，求的值．(3)如图2，若F是的中点，，求的长．参考答案1．(1)(2)见解析(3)【分析】（1）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，从而可得，即，设，则，，再由勾股定理计算即可得解；（2）由题意可得为等腰直角三角形，即可得出，由平行四边形的性质可得，，，从而可得，即，作交的延长线于，则，证明，得出，，证明，得出，，结合，求出，从而可得，由直角三角形的性质可得，即可得证；（3）由题意可得为等腰直角三角形，推出，，由平行四边形的性质可得，，，，，推出，即，由勾股定理可得，，求出，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于，则，，证明，求出，作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，得出，，，，作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，则四边形为平行四边形，得出，由轴对称的性质可得，，，即可推出，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于，则四边形为矩形，求出，，由勾股定理可得，即的最小值为，即可得解．【详解】（1）解：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，即，∵，∴设，则，∴，由勾股定理可得：，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴；（2）证明：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，，∴，即，如图，作交的延长线于，则，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，，∵四边形为平行四边形，∴，，，，，∴，即，∵，∴，∴，∴，如图，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于，则，，∵，且，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值，∴为等腰直角三角形，四边形为矩形，∴，，，∴，∵，∴，作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，则四边形为平行四边形，∴，由轴对称的性质可得，，，∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为，作交的延长线于，∴，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，∴，即的最小值为，∴的最小值为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．2．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了三角形的中位线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论；（3）取线段的中点I，连接，先判断出，，根据，得出，即可得证．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵是的中线，且D与M重合，∴，∴，∴，（2）解：如图2，过点M作交于G，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，由（1）同理可证：，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形；（3）解：如图3，取线段的中点I，连接，

∵，∴是的中位线，∴，，∵∴∵∴∴3．(1)(2)见详解(3)【分析】（1）由可得，再证，则可得，即，进而可得．（2）由可得，根据平移的性质可得，，进而可得，，再根据证明，即可得．（3）取的中点G，连接，则可得是的中位线，则．根据平行线分线段成比例定理可得．延长至Q点，使，连接，，则可得四边形是平行四边形，则，．再结合可得，，从而可得，由此可得，进一步可得．【详解】（1）解：∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，，∴，，又，，．（2）证明：，，∵将沿方向平移到，，，，，，，，．（3）解：如图，取的中点G，连接．设，则．∵，，，．∵M点是的中点，G点是的中点，∴是的中位线，，∴．延长至Q点，使，连接，，又，∴四边形是平行四边形，，．又∵四边形是平行四边形，，，，，，又，，，，，又，，．，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，综合性强，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．4．(1)，(2)①成立，理由见解析②周长c的取值范围是【分析】（1）取的中点P，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论；（2）①在上取一点P，使，连接，证，即可得出结论；②过D作交于点H，连接，证是等腰直角三角形，则点H与D关于对称，得，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；即可得出结论．【详解】（1）解：（1）如图1，取的中点P，连接．则，∵点E是的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：，；（2）解：①成立，理由如下：如图2，在上取一点P，使，连接，则，由（1）得：，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；②如图3，过D作交于点H，连接，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴点H与D关于对称，∴，∴，当A、F、H三点共线时，即最短，此时，，在中，由勾股定理得：，此时；当与相等时，即A、D、F三点共线，此时，则；∴的周长c的取值范围是．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．5．(1)等腰(2)(3)．【分析】此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理、折叠的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．（1）根据折叠的性质和平行线的性质得：，由等角对等边可得是等腰三角形；如图1，过点作于，根据等腰直角三角形的性质得：，设，，由勾股定理得，设，根据相似三角形的性质可得，最后利用勾股定理列方程可得与的关系，从而得结论；（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，从而由等腰三角形三线合一的性质得，证明，列比例式可得结论．【详解】（1）解：如图1，∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠得：，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如图1，过点作于，∵四边形是矩形，∴，∴，又∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴可设，，∴，∴，∵，∴，设，∴，∴，在中，由勾股定理得，即，解得或（舍去）∴；（3）解：如图2，过点作，由折叠得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，，∴，由（2）知：，则，∴，∵，，∴，∴，∴．6．(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明，则，所以，从而求证；（）由四边形是正方形，得，，，所以，，证明即可；（）过作，，则，故，故有平分，再证明，故有，，由勾股定理可得，连接，则有点与关于对称，，，即有，根据角度和差得，所以，则，过作于点，设，则，，最后由勾股定理求出的值即可．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，，∴，，∵，∴，又∵∴，∴，∴；（3）解：过作，，同理得：，∴，∴平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，连接，∵四边形是正方形，∴点与关于对称，，∴，∴，由（）得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，过作于点，∴，∴，∴，设，则，，∴，∴，解得：，（舍去），∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．7．(1)6(2)(3)或【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到点是的中点，，求得；根据勾股定理得到，得到；（2）根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到结论；（3）①当时，过点作于，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到求得，进而求解；②当时，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，求得；【详解】（1）解：如图，连接，将矩形纸片沿对折，点落在点处，点恰好落在矩形的对角线交点处，点是的中点，，，，；（2）解：将矩形纸片沿着对折，，，，，，，，，又，，，，；（3）解：①当时，过点F作于H，正方形沿着对折，，，，，是等边三角形，，，又，，，，，，，，，，，；②当时，如图，，点F在的垂直平分线上，点F在的垂直平分线上，，正方形沿着对折，，，是等边三角形，，，，，综上所述：的长为或．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．8．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据证明；（2）先证明，得，再证明，即可得出结论；（3）过点F作，垂足为点Q，求出，得出，再证明，可得，设，列出方程，再求解即可．【详解】（1）证明：，，，平分，，，在和中，，，（2）证明：，，，，，在和中，，，，，，，，，，；（3）解：设，则，，，，，，，解得，，，，，，，，，，如图，过点F作，垂足为点Q，设，，，，，由（2）得：，，，，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．(1)(2)，证明见详解(3)线段的最小值为【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，最短线段的计算，掌握正方形的性质是关键．（1）根据正方形的性质，勾股定理得到，根据旋转的性质得到，再根据等腰直角三角形，勾股定理定理得到，由此即可求解；（2）过点作延长线于点，过点作延长线于点，则，可证，得到，同理，，再证明，即可求解；（3）在中，，当点共线时，的值最小，四边形是正方形，是对角线，，可得是等腰直角三角形，，结合（2）的证明即可求解．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，点为中点，∴，∴，∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，∴；（2）解：，证明如下，过点作延长线于点，过点作延长线于点，则，∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，，又，∴，∴，∴，即，同理，，∴，∴，即，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，在中，，∴当点共线时，的值最小，如图所示，∵四边形是正方形，是对角线，∴，∴是等腰直角三角形，，由（2）可得，∴，∴，∴线段的最小值为．10．(1)①；②成立，理由见解析(2)见解析【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解；（2）过点作于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得，由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解．【详解】（1）解：①∵点在的重心，∴点为三角形三条中线的交点，∴，，，∴；②成立，理由如下：∵为等边三角形，是的高，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴；（2）解：如图，过点作于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得，由图可得四边形和四边形是矩形，∴，，，∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．11．(1)；(2)成立，证明见解析；(3)不成立，，证明见解析；【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．（1）延长至点，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论；（2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，同（1）理可得，，即可证明结论；（3）在上取点，使得，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论．【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，连接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，故答案为：；（2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下：如图，延长至点，使得，连接，，，，在和中，，，，，同（1）理可得，，；（3）解：（1）中的结论不成立，，证明如下：如图，在上取点，使得，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．12．(1)证明见解答过程(2)点在运动过程中，的长度不变，值为(3)6【分析】（1）连接，证，得，再证，则，即可得出结论；（2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解；（3）过点在正方形外构造作，然后取中位线得，从而可得，再构造直角三角形求出即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，如图1所示：

∵四边形是正方形，∴，，在和中，，，，，，，，，，，；（2）解：的长度不变．理由如下：连接，与相交于点，如图2．

∵四边形是正方形，∴，∵，即，∴，∵，即，，在和中，，∴，，∵四边形是正方形，，，，，，(负值不合题意，已经舍去)，∴点在运动过程中，的长度不变，值为；（3）解：如图3所示：过点在正方形外作，使，在上取点，使，连接，

∵四边形是正方形，，，，∴，∴，∴，如图3所示：在上取点，使，连接、，又∵，∴，∴即：当、、三点共线时，最小，最小值为，如图3所示：过点作，垂足为，交于，∵正方形中，，∴四边形是矩形，∴，，，∵∴是等腰直角三角形，∵，，，在中，由勾股定理得：，∴∴的最小值为．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．13．(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）根据正方形性质，由两个三角形全等的判定定理即可得证；（2）过点作，交延长线于，如图所示，由（1）中全等得到，再进一步利用两个三角形全等的判定定理得到，即可得到，即点是线段的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰直角三角形性质即可得证；（3）由（2）可知，在中，是直角三角形斜边上的中线，则，进而可知，过点作于，则，先证，进而证得，得，即可求解，则，在上截取，则，，得，则，得，由可得结论．【详解】（1）解：，理由如下：在正方形中，；在正方形中，，，，，；（2）解：，理由如下：过点作，交延长线于，如图所示：由（1）可知，，，，，，，则是等腰直角三角形，，，，，，，即点是线段的中点，在中，是直角三角形斜边上的中线，则，在正方形中，是正方形的对角线，则是等腰直角三角形，，，即，，则；（3），理由如下：由（2）可知，在中，是直角三角形斜边上的中线，则，∵，∴，过点作于，则，∴，∴，∴，∴，，又∵，则，∴，∴，∴，∵平分∴，则，在上截取，则，，∴，则，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、正方形的性质、直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形等知识点，属于几何综合题，难度较大．解题的关键是通过相关图形的性质做出辅助线．14．(1)(2)四边形是矩形，理由见解析(3)点的横坐标为【分析】（1）过点作轴，轴，根据等量代