2025年中考数学总复习《新定义函数综合题》专项测试卷(附答案)

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《新定义函数综合题》专项测试卷(附答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．新定义：A是函数y的图象上一点，过A做一条直线l，如果函数y的图象沿直线l翻折，直线l两旁的函数图象能够完全重合，那么点A叫做这个函数的“和谐点”，直线l叫做这个函数的“和谐线”，一个函数可以有多个“和谐点”和多条“和谐线”．

(1)①若一次函数的一个“和谐点”是，则过A的“和谐线”是直线；②反比例函数的“和谐点”是点，“和谐线”是直线；③二次函数的“和谐点”是点；(2)如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B，C均在坐标轴上，，对角线，相交于点D，已知函数的图象经过点A，函数的“和谐点”在矩形的边上，若函数的图象与直线的另一个交点为点E，且，求a的取值范围．2．新定义：如果实数m，n满足时，则称为“基础点”，称为“创新点”．例如，是“基础点”，是“创新点”．(1)求正比例函数图象上“创新点”的坐标；(2)若点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，点B，C是反比例函数函数图象上的“创新点”，点M是反比例函数图象上的动点．求当面积与的面积相等时点M的坐标；(3)已知点是抛物线上的“创新点”，若，且，求的取值范围．3．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．

(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象；(2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，直接写出的值．4．我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是【0，1，2】，函数的“特征数”是．(1)若二次函数，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是______．(2)将“特征数”是的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是______．(3)在（2）中，平移前后的两个函数图象分别与轴交于、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，直接写出以、、、四点为顶点的四边形的周长．5．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．(1)试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”；(2)若定点抛物线与直线只有一个公共点，求的值；(3)若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求的取值范围．6．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点、和点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；(2)将抛物线平移，点平移到点．①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”．如果平移所得新抛物线经过原点，且点是“平衡点”，求的长；②如果平移所得新抛物线的顶点在轴正半轴上，与轴交于点，且与相似，求点的坐标．7．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E．(1)若点E的坐标为，求的解析式；(2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N．①当MN=6a时，求点P的坐标；②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．8．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．(3)以如正方形的顶点分别为：，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．9．如图，抛物线上的点，，，分别关于直线的对称点为，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，如下表：…………

（1）①补全表格；②在下图中，描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点得到的图象记为；描出表格中的点，，，，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．形成新定义：直线与轴交于点，我们把抛物线关于直线的对称抛物线，叫作抛物线的“共线抛物线”；把抛物线关于点中心对称的抛物线，叫作抛物线的“共点抛物线”．问题探究（2）①若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，求的取值范围；②若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，求的取值范围．③已知抛物线：的“共线抛物线”的解析式为．请写出抛物线的“共点抛物线”的解析式．10．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y＝x2﹣x+1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线y＝x2﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．11．新定义：对于关于的函数，我们称函数为函数y的m分函数（其中m为常数）.例如：对于关于x一次函数的分函数为（1）若点在关于x的一次函数的分函数上，求的值；（2）写出反比例函数的分函数的图象上y随x的增大而减小的x的取值范围：；（3）若是二次函数关于x的分函数，①当时，求y´的取值范围；②当时，，则的取值范围为；③若点，连结，当关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点，直接写出m的取值范围.12．新定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y=-x2+2x+3的“图象数”为[-1，2，3]（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为．（2）若图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．13．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于两点、，平面直角坐标系中存在一点，使得，则称为线段的“奇妙点”．例如：如图1，，为线段的“奇妙点”．

(1)已知点，点．下列是线段的“奇妙点”的有；①；②；③；④(2)如图2，已知直线上有两点、，若x轴上存在线段的“奇妙点”，求m的取值范围；(3)如图3，二次函数与x轴交于、B两点，直线与抛物线交于、两点，连接，已知点为直线上方一点，点为线段的“奇妙点”，连接，点是线段上一点且，连接，求的最大值．14．已知，二次函数．(1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点．①求该二次函数表达式；②当时，求点的坐标；(2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围．15．若抛物线与顶点不同，且都经过对方顶点，则称与是一对“孪生抛物线”，它们顶点的连线称为它们的“纽带线”．例如：抛物线与抛物线是一对“孪生抛物线”，它们的“纽带线”是直线l：．请根据上述定义解答下列问题：(1)已知抛物线，下列是它的“孪生抛物线”的是________；（填写序号即可）①；②；③(2)若一对“孪生抛物线”与的顶点分别为，，如图，它们的“纽带线”与抛物线交于，两点．与双曲线交于，两点．已知，是线段的三等分点．求，的值；(3)已知抛物线：与抛物线：是一对“孪生抛物线”，将它们的“纽带线”与轴、轴围成的三角形面积记作，请求出的取值范围．参考答案1．(1)①；②和；；③(2)a的取值范围为且．【分析】（1）①求出“和谐线”与轴的交点，再用待定系数法求“和谐线”解析式即可；②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，得到“和谐线”是直线，再联立函数即可求出“和谐点”；③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，再将二次函数解析式化为顶点式即可解答；（2）根据函数的“和谐点”在矩形的边上，且图象经过点A，可得，联立和直线解析式，得到方程，由根与系数的关系得到，再结合求解a的取值范围即可．【详解】（1）解：①画出一次函数及其“和谐线”，

设与轴交于点，“和谐线”与轴交于点，对于，令，则，解得：，，，，，，由题意得，，即，，，解得：，，设直线的解析式为，代入和得，，解得：，直线的解析式为，即过A的“和谐线”是直线；②根据题意得，反比例函数的“和谐点”是其图象与对称轴的交点，“和谐线”是与其图象有交点的对称轴，“和谐线”是直线，联立，解得：或，反比例函数的“和谐点”是点和；③根据题意得，二次函数的“和谐点”是其图象的顶点，，二次函数的顶点为，即二次函数的“和谐点”是点．故答案为：①；②和；；③．（2）矩形对角线，相交于点D，，即点D是的中点，，，函数的“和谐点”在矩形的边上，函数的顶点在边上，，，函数的图象经过点A，代入到得，，，函数，设直线的解析式为，将代入得，，解得：，直线的解析式为，联立，消去整理得：，函数的图象与直线的另一个交点为点E，方程的两根为点A和点E的横坐标，记为、，由一元二次方程根与系数的关系得，，又，，，，且点A、E、D共线，，，解得：，又，，解得：，综上所述，a的取值范围为且．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法，阅读与理解能力，求两函数的交点，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理等知识，运算量较大，理解题意中的概念将“和谐点”转化为其图象与对称轴的交点是解题的关键．2．(1)(2)或或(3)【分析】（1）设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，得到，据此计算即可求解；（2）设点A的坐标为，根据题意得，由题意，解得，得到反比例函数的解析式为，点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，求得点B，C的坐标分别为，，由面积与的面积相等，得到，分两种情况讨论即可求解；（3）利用根与系数的关系求得，根据题意求得，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设正比例函数图象上“创新点”的坐标为，根据题意得，解得，则，∴正比例函数图象上“创新点”的坐标为；（2）解：设点A的坐标为，根据题意得，整理得，∵点A是反比例函数图象上唯一的“基础点”，∴，解得，∴反比例函数的解析式为，当时，，解得，，∴点A的坐标为，设点是反比例函数图象上的“创新点”，根据题意得，消去并整理得，解得，，∴，，∴点B，C的坐标分别为，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵面积与的面积相等，∴，可设直线的解析式为，将代入得，∴直线的解析式为，联立得，解得或，∴，在中，令，则，将直线向下平移4个单位的直线，直线与双曲线的交点为，此时也满足面积与的面积相等，联立得，解得或，将或分别代入，得或，∴或，综上，点M的坐标为或或；（3）解：∵点是抛物线上的“创新点”，则即，则即，∴是方程的两个根，∴，∴，，∴，∵，且，∴，，，由，得；由，得；∴，设函数，∴当时，函数的值随自变量的增大而减少，当，；当，；∴，∴．【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．(1)见解析(2)n的值为或．【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图像即可；（2）分直线过“镜面函数”图像与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可．【详解】（1）解：如图，即为函数的“镜面函数”的图像．

（2）解：如图，

对于，当时，，函数与轴的交点坐标为；当直线经过点时，；此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：，整理得，，此时，，解得，综上，n的值为或．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．4．(1)【2，4，6】(2)(3)，14【分析】（1）根据“左加右减，上加下减”，得出，再结合“特征数”的定义，即可作答．（2）因为函数的“特征数”是，所以这个函数是，再结合图象向上平移2个单位，所以，即可作答．（3）依题意，分别求出，；因为证明四边形是平行四边形，运用勾股定理列式，即可作答．【详解】（1）解：∵先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，∴，结合定义：得出对应的函数“特征数”是【2，4，6】，故答案为：【2，4，6】；（2）解：∵函数的“特征数”是，∴这个函数是，∵图象向上平移2个单位，∴，∴这个新函数的解析式是，故答案为：；（3）解：依题意，如图所示：∴把分别代入，得，，则；∴把分别代入，得，，则；则∴四边形是平行四边形则∴以、、、四点为顶点的四边形的周长是．【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，坐标与图形，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平移的性质，新定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．5．(1)是“定点抛物线”(2)(3)【分析】（1）把点代入计算，再根据“定点抛物线”的定义判定即可求解；（2）根据“定点抛物线”的定义可得当时，，再根据抛物线与直线交点的计算，联立方程，由根与系数的关系得到，得到，由此即可求解；（3）一次函数的图象与定点抛物线有交点，联立方程可得∴，即，根据横坐标的特点得到或，根据，得到，由此即可求解．【详解】（1）解：当时，，∴二次函数的图象经过点，∴是“定点抛物线”；（2）解：∵抛物线是定点抛物线，∴当时，，∴，∵定点抛物线与直线只有一个公共点，∴，∴，∴，把代入得，，∴，解得，；（3）解：根据题意，，整理得，，∴，即，∴或，∴交点的横坐标为或，∵，∴，解得，，∴的取值范围为：．【点睛】本题主要考查一次函数，一次函数图形的性质，交点坐标的计算，求不等式的解集，掌握一次函数与二次函数交点联立方程求解，一次函数与二次函数图象的性质是解题的关键．6．(1)；(2)①；【分析】（1）待定系数法求得解析式，然后将代入，即可得出的坐标；（2）①根据（1）的表达式可得抛物线顶点坐标为，设平移后的解析式为，根据点是“平衡点”代入得出得出抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位，根据勾股定理，即可求解；②根据的坐标，可得，分或，求得点的坐标；设点，且，则平移后的抛物线解析式为，则即，进而求得的值，即可求解．【详解】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、∴，解得：，∴抛物线表达式为，∵点在抛物线上∴∴；（2）解：①依题意，，顶点坐标为，∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点，∴设平移后的解析式为∵点是“平衡点”∴解得：∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为，∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位；即点∴②∵与轴交于点当时，∴∵∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵、∴∵，∴的解析式为：，，∴∴∵与相似∴有或

设点，且，则平移后的抛物线解析式为，当时，即当时，∴，解得：；∴，解得：（负值舍去）当时，∴解得：；∴，解得：（负值舍去）综上所述，点的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；（2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论；（3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．【详解】（1）解：∵C1与y轴交点的坐标为E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式为；（2）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为，∵，∴的顶点的坐标为易得点E，过点作轴于点，连接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴点E的坐标为；（3）解：①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式为，∴当时，，当时，；当时，．根据题意可知，需要分三种情况讨论：Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为-3．∴，解得或（舍）或（舍）；当时，函数的最大值为，函数的最小值为-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去．综上，a的值为或【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．8．(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根据“迭代函数”的定义可知“迭代函数”的图象是关于的对称，故求出图象上任意两点坐标，再根据函数关于直线的“迭代函数”是关于对称，求出对称点坐标，再由待定系数法求出“迭代函数”的解析式即可；（2）先求出原抛物线当时两点坐标，根据“迭代函数”的对称性可知与其中一点对称，分两种情况求解即可；（3）①先画出函数关于直线的“迭代函数”的图象．根据三个公共点的不同情况分两种情况求解即可；②根据正方形和“迭代函数”的图象对称性可知．四个公共点的分别是第一象限两个、第三象限或第二象限两个，分别结合图象进行求解．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴则点、关于直线的对称点为，，设直线关于直线的对称直线为，则，解得，∴直线为，∴函数关于直线的”迭代函数”的解析式为；故答案为：（2），∴的顶点坐标为当时，解得：，，即与轴交点为、若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，当与是关于直线对称时，，当与是关于直线对称时，，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则或，故答案为：或．（3）①函数关于直线的“迭代函数”的图象如图所示：

∴函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有3个公共点，有两种情况：当第一象限有两个公共点时，第三个交点在第三象限，当图象上的点，，此时，当第三象限有两个公共点时，第三个公共点在第一象限，函数图象正好经过正方形的顶点，，，此时，综上所述：若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则或．②如图：

若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则第一象限一点一定有两个交点它们是、；根据正方形和“迭代函数”的图象对称性，I．当时，“迭代函数”的图象与正方形最多有3个公共点，II．当时，“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，如图所示，III．当，若第三象限由两个公共点，则第二象限无公共点，此时点关于对称点在正方形外，即：，解得：，此时点在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，即：时，“迭代函数”的图象与正方形在第三象限有两个公共点，第二象限无公共点，Ⅳ．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，此时点关于对称点在正方形内，即：，解得：，此时点不在函数关于直线的“迭代函数”的图象，即：，∴．当，若第二象限有两个公共点，则第三象限无公共点，综上所述：若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，n的取值范围为或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义”迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．9．（1）①，；②见解析；（2）①；②且；③【分析】（1）①根据题意，利用中点坐标公式求出的坐标即可；②通过描点连线，画出和的图象即可；（2）①观察图象，即可得到答案；②先求出抛物线的顶点坐标，然后分四种情况讨论即可；③根据抛物线中保持不变，利用抛物线的解析式，得到抛物线的顶点坐标和的值，进而求出抛物线的解析式，得到抛物线的顶点坐标，再利用轴对称和中心对称的性质，求出，抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线解析式中的值与抛物线中的值相同，即可求出抛物线的解析式．【详解】解：（1）①由题意可知，和点关于点中心对称，点是的中点，设，，，，，故答案为：，；②通过描点连接，和的图象如下：

（2）①由图象可知，当时，抛物线的函数值随着的增大而减小，当时，抛物线的函数值随着的增大而减小，若抛物线与它的“共点抛物线”的函数值都随着的增大而减小，的取值范围为；②抛物线，抛物线的顶点坐标为，如图1，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”没有交点，

如图2，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有两个交点，

如图3，当时，直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，

当时，直线与抛物线L、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有三个交点，

若直线与抛物线、“共线抛物线”，“共点抛物线”有且只有四个交点，的值为且；③由题意可知，抛物线中保持不变，的解析式为，的顶点坐标为，抛物线的解析式中的，将代入抛物线：，得：，抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点对称，，抛物线的顶点和抛物线的顶点关于点中心对称，抛物线的顶点坐标为，，抛物线的顶点坐标为，抛物线解析式中的值与抛物线中的值相同，抛物线的解析式为．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标特征，抛物线顶点坐标，中心对称的点的特征，中点坐标公式等知识，属于阅读型题目，理解题干中的新定义并灵活运用是解题关键．10．（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P点的坐标为（，﹣1）；当x＝1时，最大值是3，P（1，﹣2）【分析】（1）直接根据黄金抛物线的定义写一个解析式即可；（2）①根据平移的知识直接写出新抛物线的解析式；②设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E，若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，连结PP′则PE⊥CO于E，P点的横坐标为﹣1，进而解方程求出x的值；③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣x﹣2），先求出BC的直线解析式，进而设Q点的坐标为（x，x﹣2），根据S四边形OBPC=S△OBC+S△BPQ+S△CPQ列出x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P点坐标以及面积最大值．【详解】解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在点P，如图1，使四边形POP′C为菱形．设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO．连结PP′则PE⊥CO于E，∴OE＝EC＝1，∴y＝﹣1，∴x2﹣x﹣2＝﹣1解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，﹣1）；③过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，如图2设P（x，x2﹣x﹣2），易得，直线BC的解析式：y＝x﹣2则Q点的坐标为（x，x﹣2）．S四边形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ＝OB•OC+QP•OF+QP•FB＝＝﹣（x﹣1）2+3，当x＝1时，四边形OBPC的面积最大此时P点的坐标为（1，﹣2），四边形OBPC的面积最大值是3．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及黄金抛物线新定义、菱形的判定与性质、四边形面积的求法等知识，解答此题要掌握黄金抛物线的定义，解答（2）问需要掌握菱形的性质以及分割法求四边形的面积，此题难度不大．11．（1）n=3；（2）或；（3）①或；②；③m＜或≤m＜或≤m.【分析】（1）首先写出一次函数的分函数，然后将点P代入即可求出n；（2）首先写出反比例函数的分函数，然后根据反比例函数的增减性进行判定；（3）①首先写出二次函数的分函数，然后根据x的取值范围结合二次函数的性质分别求出对应的y的取值范围即可；②首先求出当时，的取值范围为，当时，，然后根据可知，求出时的值在-3和-4之间（包含-3和-4）对应的x的取值范围即可；③画出和的函数图像，求出两函数图象与y=1的交点的横坐标，然后结合函数图象分类讨论，分别求出在不同的范围内与线段MN的交点个数，即可得到符合题意的m的取值范围.【详解】解：（1）由题意得：，∵，∴把代入得，∴；（2）由题意得：，根据函数解析式可知，当或时，y随x的增大而减小；（3）①由题意得：，当时，的图象y随x的增大而减小，把代入，可得，把代入，可得；当时，的图象y随x的增大而减小，把代入，可得，把代入，可得，综上，的取值范围为或；②∵把代入，可得，把代入，可得；∴当时，的取值范围为，由①知，当时，，把y＝－3代入，解得：（负值已舍去），把y＝－4代入，解得：（负值已舍去），∴的取值范围为；③如图为和的函数图像，A、B、C、D分别是两函数图象与y=1的交点，联立，解得：，∴A点横坐标为，D点横坐标为，联立，解得：，∴B点横坐标为，C点横坐标为，结合函数图象，分类讨论：①当m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；②当≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有三个交点；③当≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；④≤m＜时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有一个交点；⑤当≤m时，关于的二次函数的分函数，与线段MN有两个交点；综上所述：m的取值范围是m＜或≤m＜或≤m.【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象和性质，正确理解“m分函数”的定义，学会构建方程组确定函数的交点坐标是解题关键，属于中考压轴题．12．（1）[，−1，−1]；（2）m1＝−1，m2＝.【分析】（1）利用“图象数”的定义求解；（2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，然后根据判别式的意义得到△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，从而解m的方程即可．【详解】解：（1）二次函数y=x2-x-1的“图象数”为[，−1，−1]；故答案为[，−1，−1]；（2）二次函数的解析式为y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，根据题意得：△＝（m＋1）2−4m（m＋1）＝0，解得：m1＝−1，m2＝．【点睛】本题考查了新定义及抛物线与x轴的交点问题，把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题关键．13．(1)①④；(2)(3)【分析】（1）根据题意画出图形，然后根据“奇妙点”的定义求解即可；（2）方法一：如图，首先得出、，设轴上存在点，根据题意得到，然后代入得到，然后利用判别式求解即可；方法一：如图，首先求出，由轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，得到在为直径的圆上，设圆心为点，然后根据切线的性质求解即可；（3）首先求出抛物线为，直线为，求出，，如图，过点作轴，交于点，在轴上作点，连接，得到，推出当、、共线时，最长，，进而求解即可．【详解】（1）如图所示，①；②；③；④由图可得，，，，∴是线段的“奇妙点”的有①④；（2）方法一：如图，∵直线上有两点、，∴、，设轴上存在点，∵为线段的“奇妙点”，∴，∴，∴，整理得，∴，∴；方法二：∵、，∴，∵轴上存在线段的“奇妙点”，设为点，∴在为直径的圆上，设圆心为点，如图，①当在轴下方且与轴相切时，，点坐标为，此时；②当在轴上方且与轴相切时，，点坐标为，此时，∴；（3）把代入得：，把代入得：，∴，即，∴抛物线为，直线为，∴，∴，∴，如图，过点作轴，交于点，则点的坐标为，∵为线段的“奇妙点”，∴，∴在以为圆心，为半径的圆弧上，在轴上作点，连接